2025年高考数学一轮复习：统计与概率（新高考专用）（解析版）

专题28统计与概率（七大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01数据收集随机抽样

♦题型02用样本估计总体

♦题型03线性回归

♦题型04统计案例

♦题型05随机事件的概率

♦题型06古典概率

♦题型07条件概率与全概率公式

♦题型01数据收集随机抽样

1.某中等职业学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统

计分析.下列叙述正确的是（）

A.上述调查属于全面调查B.每名学生是总体的一个个体

C.200名学生的视力是总体的一个样本D.1200名学生是总体

【答案】C

【分析】利用总体、样本、调查方法的相关概念分析选项即可.

【解析】上述调查属于抽样调查，故A项错误；

每名学生的视力是总体的一个个体，故B项错误；

200名学生的视力是总体的一个样本，故C项正确；

1200名学生的视力是总体，故D项错误.

故选：C

2.我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3:4:3,

要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（）

A.52B.48C.36D.24

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得.

3

【解析】依题意，应抽取的一年级学生的人数为7=xl20=36.

3r+4+3

故选：C

3.①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90〜100分，12人的成绩低于

90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4x100m接力赛的6支

队伍安排跑道.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（）

A.分层抽样，简单随机抽样B.简单随机抽样，简单随机抽样

C.简单随机抽样，分层抽样D.分层抽样，分层抽样

【答案】A

【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的特点判断即可.

【解析】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当;

对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当.

故选：A

♦题型02用样本估计总体

4.已知一组数据为-LL4,4,2,6,则该组数据的第50百分位数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】把这组数据按从小到大的顺序排列，根据百分位数的定义可得答案.

【解析】将数据按照从小到大顺序排序为：-1,1,2,44,6,

因为6x50%=3,所以这组数据的第50百分位数是第3、4两项的平均数，

故选：C.

5.一组样本数据为6,11,12,16,17,19,31,则错误的选项为（）

A.该组数据的极差为25

B.该组数据的75%分位数为17

C.该组数据的平均数为16

D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等

【答案】B

【分析】求出该组数据的极差、75%分位数、平均数逐项判断可得答案.

【解析】对于A,根据极差定义，该组数据的极差为31-6=25,故A正确；

对于B,因为7x0.75=5.25,所以该组数据的75%分位数为19,故B错误；

对于C,该组数据的平均数为6+11+12+叱+17+19+3,=16,故c正确；

对于D,若该组数据去掉16得到一组新数据，

则新数据6,11,12,17,19,31的平均数为6+11+12/7+19+31=]6,

6

所以这两组数据的平均数相等，故D正确.

故选：B.

6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70,方差为75,现发现在收集这些数

据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90,在对错误的数据进行

更正后，重新求得样本的平均数为又，方差为则()

A.X<70,52>75B.亍>70,s?<75

C.又=70,/<75D.又=70,$2>75

【答案】C

【分析】由平均数，方差计算公式可判断各选项正误.

【解析】设其他48个数据依次为…,％8，

贝"X=(q+出+…+48+80+70),因为80+70-60+90,

因此平均数不变，即又=70;又由方差计算公式可知：

(q-70产+(%-70)2+…+(1-70)2+(60-70>+(90-70)2=50x75,

(q-70>+Q-70)2+…+(4-70>+(80-70)2+(70-70)2=50x52,

注意至U(80-70)2+(70-70)2<(60-70)2+(90-70)2,贝U<75.

故选：C.

7.已知一组数据2%+1,2%+1,2忍+1,2%+1的平均数是3,方差为4,则数据占,9,三，%的平均数和方差

分别是()

-333

A.LIB.1,2C.—,—D.—,2

242

【答案】A

【分析】根据题意，由平均数与方差的性质列出方程，代入计算，即可求解.

【解析】设数据占,%，X3，5的平均数和方差分别是7，/，

则数据2%+1,2X2+1,2尤3+1,2.%+1的平均数是(2山1),方差是4s2,

所以(21+1)=3,解得已1，4s2=4,解得/=1,

即数据占,马,鼻,%的平均数和方差分别是1」.

故选：A

8.某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据

分成6组：[90,91),[91,92),[92,93),[93,94),[94,95),[95,96],得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件

O90919293949596长度/厘米

A.6=0.20

B.长度的平均数是93

C.长度的中位数一定落在区间[93,94)内

D.长度落在区间[93,94)内的个数为35

【答案】A

【分析】按照频率分布直方图的含义，结合相关公式即可得解.

【解析】对于A,由频率和为1,得(0.1x2+6+0.35+0.15+0.05)x1=1,解得6=0.25,故A错误；

对于B,根据频率分布直方图长度的平均数为

90.5x0.1+91.5x0.1+92.5x0.25+93.5x0.35+94.5x0.15+95.5x0.05=93,故B正确；

对于D,长度落在区间[93,94)内的个数为100x0.35=35,故D正确；

对于C,[90,93)有100*(0.1+0.1+0.25)=45个数，[94,96]内有100x(0.15+0.05)=20个数，

所以长度的中位数一定落在区间[93,94)内，故C正确.

故选：A

9.由一组样本数据…得到经验回归方程£=%+那么下列说法正确的是()

A.若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱

B.若5越大，则两组变量的相关性越强

c.经验回归方程》=标+2至少经过样本数据…中的一个

D.在经验回归方程9=浪+&中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加3个单位

【答案】D

【分析】根据相关系数的含义可判断AB；根据回归直线的含义可判断CD；

【解析】对于A,若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，A错误；

对于B,若越大，则两组变量的相关性越强，另是回归直线的斜率，

它不反应两变量的相关性强弱，B错误；

对于C,经验回归方程》=几+&不一定经过样本数据(为”),(%,%),...,(%,%)中的一个，C错误；

对于D,在经验回归方程£=%+&中，当解释变量x每增加1个单位时，

若另＞0,相应的观测值y约增加另个单位；若刃＜0,相应的观测值y约增加-恸个单位；

故当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加g个单位，正确，

故选：D

10.下列说法错误的是()

A.线性相关系数N越接近1,两个变量的线性相关程度越强；

B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系；

C.在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明

这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高；

D.甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80,则模型甲的拟合效果更好.

【答案】B

【分析】利用线性相关系数、独立性检验、残差图、决定系数等相关概念，逐一判断选项即可得出结论.

【解析】对于A,根据线性相关系数的定义可判断A正确；

对于B,独立性检验是存在某种程度的错误概率的，因此可得B错误；

对于C,利用回归分析残差概念以及残差图可判断C正确；

对于D,决定系数4的值越大，说明拟合效果越好，显然0.88＞0.80,即模型甲的拟合效果更好，可得D

正确.

故选：B

11.已知由样本数据（乙,»）（i=L2,3,…,8）组成的一个样本，得到经验回归方程为/=2x+0.75,且

x=1.125,增加两个样本点（-2,5）和（1,3）后，得到新样本的经验回归方程为e=3X+9.在新的经验回归方

程下，样本（3,8.7）的残差为（）

A.1.1B.0.5C.-0.5D.-1.1

【答案】D

【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得根据经验回归方程可求得9,

由残差定义可得结果.

8a_OJ_1

【解析】••,Zx,=1.125x8=9,.•.增加两个样本点后x的平均数为三『=0.8；

«=i10

874-1-5+3

•.•^=2x1.125+0.75=3,二£»=3x8=24,.•.增加两个样本点后＞的平均数为=3.2,

.•32=3x0.8+6,解得:3=0.8，,新的经验回归方程为：9=3元+0.8,

则当x=3时，J=9.8,.•.样本（3,8.7）的残差为8.7—9.8=—1.1.

故选：D.

12.一唱片公司欲知唱片费用》（十万元）与唱片销售量y（千张）之间的关系，从其所发行的唱片中随机

1010101010

抽选了10张，得如下的资料：•=28，W＞；=303.4.2%=75,2＞；=598.5,2苞%=237,则V与x的相

i=lz=li=li=li=l

f（占-可（/-刃

关系数r的绝对值为（）（相关系数：厂=[J.）

\-亍这⑷-寸

V1=11=1

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【答案】D

【分析】运用相关系数公式进行求解即可.

1010__

【解析】因为》＞,=28,fy,=75,所以行=2.8,亍=7.5,

i=li=l

10____

|率y-10xy|1237-10x2,8x7.51

|止I=।一।=03

22

序一10用唇:一10（亍）2V303.4-10X2.8XV598.5-10X7.5，

故选：D.

♦题型04统计案例

13.某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间x分钟与

温度V（摄氏度）的关系用模型、=。卢2"（其中e为自然对数的底数）拟合.设z=lny,变换后得到一组数

据:

X22.533.54

Z4.044.013.983.963.91

由上表可得线性回归方程z=-0.06x+a，则q等于（）

-4416

A.-4B.eC.4.16D.e-

【答案】D

【分析】根据给定的数据求出样本中心点，求出即可.

2+2.5+3+3.5+44.04+4.01+3.98+3.96+3.91

【解析】由表格中数据，得元==3,z=----------------------------------------=3o.9no,

55

贝Ij3.98=-0.06x3+a,解得〃=4.16,因止匕z=-0.06x+4.16,

由＞两边取对数，得lny=C2%+lnq,又z=lny,

416

所以％=-0.06,InC1=4.16,即02=-0.06,q=e

故选：D

14.为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下2x2列联表:

未治愈治愈合计

服用药物104050

未服用药物203050

合计3070100

则下列说法一定正确的是（）

n(ad-be)1

附：/二(其中〃=〃+b+c+d).

(q+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

临界值表:

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为"小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关"

B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为"小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关"

C.在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为"小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关"

D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为"小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关"

【答案】A

【分析】根据表中数据求出/的值，即可得答案.

【解析】解：由列联表中数据，计算/=l00x（3°°-=叽4.762,

30x70x50x5021

JL3.841<4.762<5.024,

所以有95%的把握认为"小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关"

所以在犯错误的概率不超过0Q5的前提下，认为"小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关

故选：A.

15.某兴趣小组为研究语文学习与数学、英语、政治、历史四科之间的关系，随机调查部分高二学生，统

计数据如下表，则语文对数学、英语、政治、历史学习具有影响的可能性最大的是（）

数学成绩数学成绩英语成绩英语成绩政治成绩政治成绩历史成绩历史成绩

优异一般优异一般优异一般优异一般

语文成绩

515416614814

优异

语文成绩

72510221121624

一般

A.数学B.英语C.政治D.历史

【答案】D

【分析】分别计算每一项的卡方并比较大小即可得解.

［解析］数学：K2=52x(5x25-7x15)2

x0.068，

20x32x12x40

片=52x(4x22-1OX16)JO.792,

英语:

20x32x14x38

s52x(6x21-11x14)2

政治:K=------------------«0.107,

20x32x17x35

办52x(8x24-14x6)2「门

历史:K=--------------------------------«1./Z/，

22x30x14x38

所以语文对数学、英语、政治、历史学习具有影响的可能性最大的是历史.

故选：D.

16.近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适

当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度,

所得数据统计如下表所示：

喜欢增加体育运动时间不喜欢增加体育运动时间

初中生16040

高中生14060

附：>2=______M-bcf______

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

尸（力』）0.100.050.01

k2.7063.8416.635

以下结论中错误的是（）

A.有95%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关

B.没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关

C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关

D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关

【答案】D

【分析】首先完善列联表，并计算并根据选项和3.841和6.635比较大小，判断选项.

【解析】完善列联表如下:

喜欢增加体育运动时间不喜欢增加体育运动时间总计

初中生16040200

高中生14060200

总计300100400

零假设不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，则

400x(160x60-140x40)216

z2----------------------------L»5.333<6.635,

200x200x300x1003

没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关.

因为，5.333>3.841,所以有95%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关.

在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关.

故选：D

17.学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、

女1生各〃人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则()

S9

SS

O.S.7

S.6口不曷•欢

S.54

3口喜欢

O.S2

J

O.O

与生女生

参考公式及数据：鬻潦其中…+"，+"•

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

A.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多

B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多

C.若“=50,依据tz=0.01的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关

D.若〃=100,依据。=0.01的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关

【答案】D

【分析】根据等高堆积条形图即可判断A,B选项，计算出力的值即可判断C,D选项.

【解析】对于A,由等高堆积条形图可知，参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数

少，故A错误；

对于B,全校学生中男生和女生人数比不确定，故不能确定全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳

运动的女生人数多，故B错误；

对于C,结合等高堆积条形图可得：

游泳

性别合计

喜欢不喜欢

男生0.6n0.4〃n

女生0.4〃0.6〃n

合计nn2n

2〃(0.6〃x0.6〃-0.4〃x0.4«)-

故/=0.08〃,

“4

若九=50,则/②=o.o8〃=4<6.635,

故依据a=0.01的独立性检验，不可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故C错误；

对于D,若〃=100,贝ij=0.08"=8>6.635,

依据a=0.01的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故D正确.

故选:D

18.已知两个分类变量X,y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是（）

Y

合计

X

Y=0Y=1

x=o100ad

X=1200be

合计300cn

A.b=2aB.2c=3bC.a=1bD.e=2d

【答案】C

【分析】根据题意，同一个样本中，|血-叫越大，说明两个变量的关系越强，然后分别计算各选项，即可

得到结果.

【解析】同一个样本中，加越小，说明两个变量的关系越弱,

|改?一加越大，说明两个变量的关系越强，

对于A,当6=2。时，|1006—200同=0,

对于B,当2c=36时，可得6=2。，贝山006—200。|=0,

对于C,当a=2Z>时，|100b—200同=100<7|,

对于D,当e=2d时，200+6=200+2。，即6=2。，止匕时|1006—200a|=。，

由以上分析可知，选项C能说明X与F有关联.

故选：C

♦题型05随机事件的概率

19.对于随机事件48有P(A)=!，P(AB)=2P(A+B)=1,P(B)=______.

462

【答案】：

【分析】由P(A+8)=尸0)+P®_尸(AB)即可求解.

【解析】P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),

所以P(8)=P(A+B)-P(A)+P(A8)=；-；+：=1

故答案为：—

12

20.设A,8为两个随机事件，以下命题正确的为()

A.若A,3是对立事件，则P(AB)=1

B.若A,B是互斥事件,尸(A)=)尸(8)=《,则P(4+B)=，

326

—1-11

C.若尸(A)=1PGB)=Q,且尸(AB)=§,则A,B是独立事件

D.若A,8是独立事件，P(A)=-,P(B)=-,则P(AB)=；

【答案】C

【分析】根据对立事件的概念判断A,根据互斥事件的概率加法公式判断B,根据独立事件的定义及概率公

式判断C、D.

【解析】对于A,若A,8是对立事件，则尸(AB)=0,A错误；

对于B,若A,8是互斥事件，尸(A)=[尸(2)=1,则P(A+B)=P(A)+P(B)=[,B错误；

326

—1—1—?-1

对于C,P(A)=w，PCB)=],则P(A)=1-尸(A)=jP(B)=1-P(B)=~,

又P(AB)=：=&&)•P(B),则A,B是独立事件，C正确；

___12

对于D,若AB是独立事件，则A,3是独立事件，而P(A)=1P(3)=§,

.....——2

则P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)].[1-P(B)]=-,D错误.

故选：c

21.本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%,下雨的概率为30%,吹南风或

下雨的概率为35%,则既吹南风又下雨的概率为（）

A.30%B.15%C.10%D.6%

【答案】B

【分析】根据概率的加法公式即可求解.

【解析】记吹风为事件A,下雨为事件8,

因为尸（Ac3）=尸（A）+尸（3）—P（Au3）=20%+30%-35%=15%,

所以既吹南风又下雨的概率为15%,

故选：B.

22.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别为;,p,g,该同学站在三个不同的

位置各投篮一次，至少投中一次的概率为之，则。的值是.

0

2

【答案】j

【分析】由该同学在三个不同的位置至少投中一次的概率与全不中的概率和为1,结合概率的乘法公式求解

即可.

【解析】由题意，|+-g1x（1-0）=1,解得p=g.

2

故答案为：-

23.在甲、乙、丙、丁四人踢毯子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一

人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毯子是由乙踢出的概率为;第〃次踢出后，建子恰好踢给乙

的概率为.

【答案】1/0.5-+

24121

【分析】根据条件概率公式之积可得第二次毯子由乙踢出的概率，再由若第〃次踢出后，建子恰好踢给乙,

则第〃-1次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即可得概率的递推公式，进而可得概率.

【解析】由已知接到前两次踢出的毯子的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），

（丙，丁），（丁，甲），（T）乙），（T，丙），共9种，

设事件A：第二次的毯子由丙接到，事件第二次的建子由乙踢出，丙接到，

71

则P(A)=§，尸(AB)="

1

则尸(刎=常44

9

设第〃次踢出后，建子恰好踢给乙的概率为匕，

易知若第〃次踢出后，建子恰好踢给乙，则第〃-1次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙,

即。-匕.3n>2,且6=g，

贝|么「)，

即{七一m是以<-;='为首项，-;为公比的等比数列，

即

“412

【点睛】关键点点睛：根据题意结合概率知识可得递推公式勺=：(1-勺-J,进而分析求解.

♦题型06古典概率

24.从1,2,3,4,5,7这6个数中任取2个数，则这2个数均为质数的概率为.

2

【答案】j/0.4

【分析】利用列举法求解，先列出从6个数任取2个数的所有情况，再列出这2个数为质数的情况，然后

利用古典概型的概率公式求解即可.

【解析】由1,2,3,4,5,7这6个数中任取2个数构成的样本空间为：

Q={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7),(5,7)},

所以样本空间。共15个样本点，

记2个数均为质数为事件A,

则A={(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)},事件A共包含6个样本点，

/、n(A]62

所以这2个数均为质数为事件A的概率为尸(A)=一悬=-=

矶22113J

2

故答案为：w.

25.若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是

3

【答案】1/0.6

【分析】根据古典概型，先求出基本事件的总数，再运用插空法，先安排好语文，英语，物理，再插入数

学和体育，求出事件A的个数，即可求解.

【解析】上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，共有A；=120种方法，

记事件A：上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，且数学和体育不连排，

则事件A共有A；A：=72种排法，所以数学和体育不连排的概率是P=卡=:，

A51/UD

,3

故答案为：—.

26.已知盒中有5个黑球和2个白球，每次从盒中不放回的随机摸取1个球，直到盒中剩下的球颜色相同

就停止摸球，则摸球三次后就停止摸球的概率为.

【答案】A2

【分析】先算出基本事件的总数，再计算出随机事件中的基本事件的个数，根据古典概型的概率公式可求

概率.

【解析】设A为"摸球三次后就停止摸球”，则基本事件的总数为A；

若摸球三次后就停止摸球，则第三次摸出白球，余4个黑球，

前两次摸出一黑一白，故A含有的基本事件的个数为A；C；C；,

2x5x2_2

7x6x5-21

2

故答案为：—

♦题型07条件概率与全概率公式

27.紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置.根据某机

构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有70%后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传

送器；而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器.则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器

飞机的比例为(填写百分数)，现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪,则它被找到的概率为

14

【答案】45%

15

【分析】空1：根据全概率公式即可得到答案；空2：设事件，再利用条件概率

Pv（A1忸）="A｝黑？（।、即可得到答案.

）尸（A）尸但A）+P（4）P（B|4）

［解析】根据全概率公式得装有紧急定位传送器飞机的比例为：

70%*60%+（1-70%）x（l-90%）=45%；

设事件A="失踪的飞机后来被找到"，

事件&="失踪的飞机后来未被找到"，事件3="安装有紧急定位传送器"，则P（A）=O.7,

P（4）=o.3,P（3|a）=0.6,P（B|4）=l-0.9=0.1,

安装有紧急定位传送器的飞机失踪，

它被找到的概率为：

尸（⑻=P（4）尸（B|A）=07x0.6=14

If'尸（4）尸（叫A）+尸（4）尸（叫4）0.7X0.6+0.3X0.115）

,14

故答案为：45%；—.

28.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动.顾客需投掷一

枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖

机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6,12或18,则该顾客获得该健身房的免费团操

券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，

已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.

奖品一个健身背包一盒蛋白粉

2

概率1

44

则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为

【分析】事件4="顾客有两次终极抽奖机会"，事件4="顾客有一次终极抽奖机会"，求出尸（4）=：,

O

尸（4）=1,利用全概率公式得到答案.

【解析】记事件A="顾客有两次终极抽奖机会"，事件4="顾客有一次终极抽奖机会"，事件3="获得蛋

白粉"，

则尸（4）=5=>P（B|A）=I-（1）2=^尸（同4）=；，

事件4包括的事件是:"3次投掷的点数之和为6","3次投掷的点数之和为12","3次投掷的点数之和为18",

①若"3次投掷的点数之和为6”,则有“1,1,4"、"1,2,3"、"2,2,2”三种情形，故共有C；C；+A；+1=1。种；

②若"3次投掷的点数之和为12",则有"1,5,6"、"2,5,5"、"2,4,6"、"3,4,5"、"3,3,6"、"4,4,4”六种情形,

故共有A；+C©+A；+A；+C；C：+1=25种；

③若"3次投掷的点数之和为18",则只有“6,6,6〃一种情形，

1711Q7

所以尸⑻=尸（旬尸修⑷+尸但）尸国4）=丁布+不丁菊.

37

故答案为：砺

【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件8的概率问题，把事件8分拆成两个互斥事件43与初的

和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.

29.在秋冬季节，疾病2的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病&的发病率为5%,病人中18%

表现出症状S,疾病。3的发病率为0.5%,病人中60%表现出症状S.则任意一位病人有症状S的概率为

病人有症状S时患疾病2的概率为（症状S只在患有疾病2，D2,2时出现）

1Q

【答案】0.02/—0.45/—

【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.

【解析】由题意可知：P（D1）=0.02,P（D2）=0.05,P（A）=0.005,

「($闯=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,

由全概率公式可知：

P(S)=P(SB)P(2)+P(S|2)P(3)+P(S|Q)P(2)

=0.02x0.4+0.05x0.18+0.005x0.6=0.02,

即任意一位病人有症状s的概率为0.02,

由贝叶斯公式可知:

P(£>2)P(5|P2)0.05X0.18

尸（邓”=0.45,

P(S)-—0.02

即病人有症状S时患疾病2的概率为045.

故答案为：0.02,0.45.

30.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一

枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖

机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9,则该顾客获得该健身房的免费团操券5

张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知

每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.

奖品一个健身背包一盒蛋白粉

2£

概率

44

则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为.

95

【答案】

576

【分析】记事件4="顾客有两次终极抽奖机会"，事件&="顾客有一次终极抽奖机会"，事件3="获得蛋

白粉"，求出尸（4），尸（4），利用全概率公式即可求解.

【解析】记事件A="顾客有两次终极抽奖机会"，

事件A="顾客有一次终极抽奖机会"，事件3="获得蛋白粉”，

3213p网&）=；,

尸(4)=至="P(BIA)=i-I4

两次投掷的数字之和是5的情况有："1,4","4,1","2,3","3,2”,

两次投掷的数字之和是9的情况有："6,3","3,6","4,5","5,4”,

QO

所以尸(4)=1=§,

172195

P(B)=P(Ai)P(B\Al)+P(A2)P(B\A2)=-x—+-x-=~.

95

故答案为：——.

02模拟精练

一、单选题

1.（2024•湖南衡阳•一模）某城市随机选取“个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该

活动有人生肖相同的概率大于50%,则至少需要选取（）个人.

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

［分析］利用分步计数原理及排列，先求得选取〃个人中生肖均不相同概率P（n）=需，再求出P（n）<50%,

即可求解.

【解析】已知12个生肖，按先后顺序选择〃个人，每次选中的人有12种等概率可能，由分步乘法原理共有12"

种情况,

若选取〃个人中生肖均不相同，有A：2（〃W12）种可能，故选取〃个人中生肖均不相同概率尸（"）=22,

要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于50%，即P5）<50%,

P12,

由于片=百一>1，即匕随"随，的增大而减小,

£+112-«

5

12.1110-9P(5)=^All=5—595—S<50%,故至少要选5个人,

尸(4)=「=—>50%,

12412-12-12-1296125963144

故选：C.

2.（2024・四川南充•一模）甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103,106,113,119,123,118,134,

118,125,121,则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（）

A.118B.121C.122D.123

【答案】D

【分析】根据百分位数的定义计算.

【解析】已知数据按从小到大排列为：103,106,113,118,118,119,121,123,125,134,

75%x10=7.5,因此第75百分位数是第8个数123.

故选：D.

3.（2022・陕西榆林•模拟预测）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线

辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.在杂交水稻试验田中

随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中

的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法垂误的是（）

B.这100株水稻的稻穗数的平均值在区间［280,300）中

C.这100株水稻的稻穗数的平均值在区间［240,260）中

D.这100株水稻的稻穗数的中位数在区间［240,260）中

【答案】B

【分析】由频率和为1可计算出利用各区间中点值估计出平均值，由频率0.5对应的数值为中位数，这

样可判断各选项得结论.

【解析】对A,根据频率分布直方图知组距为20,

所以a=-0.0025-0.005-0.0175-2x0.0075=0.01,故A正确；

20

对B,这100株水稻的稻穗数平均值

x=20x（0.005x210+0.0075x230+0.0175x250+0.01x270+0.0075x290+0.0025x310）=256

可知这100株水稻的稻穗数平均值在区间［240,260）中，故B错误；

对C,由B选项可知这100株水稻的稻穗数平均值在区间［240,260）中，故C正确；

对D,前两个矩形的面积是0.25<0.5,前三个矩形的面积是0.6>0.5,

所以中位数在第三组数据中，即这100株水稻的稻穗数的中位数在区间中［240,260）,故D正确.

故选：B

4.（2024•江苏扬州•模拟预测）将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为国,％，不，则不《尤2V无3的概率

为（）

57-57

A.—B.—C.—D.—

54542727

【答案】D

【分析】取定再,3,W中的一个值，考查另外两次抛掷骰子的样本点数，利用分类加法计数原理和古典概型

概率公式计算即得.

【解析】考虑取定毛的值，分类统计事件"不＜%所含的样本点数，将%,当对应的值作为一个数组，

列表如下：

Z'尤3123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)