2025高考数学专项复习：函数与导数中的新定义综合研析（含答案）

2025高考数学专项复习函数与导数中的新定义综合

研析含答案

褊救名导熬中的新定义除合研析传安版，

-------------------------------------------------------------0°----------------------------------------------------------------------

考情探究.....................................................................................2

考点梳理.....................................................................................2

题型一高斯取整函数.....................................................................2

题型二二阶行列式........................................................................4

题型三狄利克雷函数.....................................................................4

题型四sgnrc函数.........................................................................5

题型五最大值最小值函数.................................................................6

题型六欧拉函数..........................................................................6

题型七黎曼函数..........................................................................8

题型八曲率..............................................................................8

题型九极值点与拐点.....................................................................9

题型十洛必达法则.......................................................................11

题型十一不动点与复合稳定点...........................................................13

题型十二可移倒数点.....................................................................15

题型十三泰勒展开.......................................................................16

题型十四麦克劳林展开..................................................................18

题型十五拉格朗日中值定理.............................................................20

题型十六考点十六、帕德近似............................................................24

题型十七莱布尼茨.......................................................................28

题型十八函数凹凸性....................................................................31

题型十九切线问题.......................................................................33

题型二十类型函数.......................................................................37

好题冲关....................................................................................40

•••

Q（考情探究）o

在新高考数学科目的考核体系中，函数与导数部分的新定义内容占据了核心地位，它综合了新概念、新公

式、新定理、新法则及新运算等五大要素，旨在全面检验学生对函数基础概念、核心性质以及运算技巧的掌

握深度与广度。此部分内容不仅要求学生深刻理解导数概念，展现其计算能力，还强调了在多种实际应用

场景中灵活运用函数与导数知识的重要性。试题设计紧密贴合现实生活与科学实践,力求评估学生运用函

数与导数知识体系解决复杂实际问题的能力。

新定义题型以其独特性著称，通常通过引入新概念、约定新运算或构建新模型，创设出全新的问题情境。这

要求学生具备良好的阅读理解能力，能够依据题目提供的信息,结合所学知识和方法,实现信息的有效迁

移,从而达到灵活解题的目的。面对新定义问题，学生需保持耐心，细致分析新定义的特点,准确把握其性

质，并严格按照新定义的要求进行逐条分析、验证和运算，以解决问题。

对于新定义题目的解答，关键在于深入理解定义本身。这不仅是对旧知识点的延伸考查，更是对新知识获

取与理解能力的严峻挑战。因此,学生应紧扣新定义,充分利用函数的性质,深入分析新定义的特点，明确

其所述问题的本质，并将其应用于具体的解题过程中。同时，学生还应善于从试题中发掘可利用的函数性

质因素，以辅助解题。

为了更好地理解和应用新定义，学生可采取以下策略：

1.通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单应用，以加深对信息的理解。

2.用自己的语言转述新信息所表达的内容,若能清晰描述，则说明对此信息理解较为透彻。

3.发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律。

4.若新信息是课本知识的推广，则应关注其与课本中概念的不同之处，以及何时可以使用书上的概念。

此外，考生还需对基础函数的各种属性、图象特征、运算规律有深入透彻的理解，并熟练掌握导数的基本定

义、其蕴含的几何与物理意义以及多样化的计算方法。针对函数与导数在解决实际问题中的典型应用，如

求解最优化问题、分析变化率趋势、确定曲线在某点的切线方程等，考生应具备扎实的分析思路和有效的解

决策略。

-O（考点梳理）O

题型一高斯取整函数

1.(2024.山东青岛.三模)定义[x]表示不超过土的最大整数.例如：[1.2]=1,[-1,2]=—2,则()

A.[c]+[y]=[,x+y}B.Vn6Z,{x+n\=[x]+n

C./(rr)=x-[x]是偶函数D./(rr)=rr-[a?]是增函数

2.(2024•河南新乡•二模)函数/(力)=[x]被称为取整函数,也称高斯函数，其中[句表示不大于实数比的最

大整数.若VmC(0,+8),满足[句2+皿L,则力的取值范围是()

m

A.[-1,2]B.(—1⑵C.[-2,2)D.(-2,2]

3.(2024.重庆.模拟预测)高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其

名字命名的“高斯函数”定义为:对于任意实数T，记[切表示不超过出的最大整数，则g=[句称为“高斯

函数”.例如：4=[-3.5]=—4,y=[2.1]=2.

(1)设/㈤=[x]+[/+/]-[2句，xE七求证：]是f(a)的一个周期，且/(力)=0恒成立；

(2)已知数列{册}的通项公式为“=白+T不+-^―+…+^—(neN*),设bn=

nn+1n+2n+2n

7[^]+[i+i](nG2V，)-

o

①求证：n<—<n+1；

Qn

②求14+二+・一+41的值.

L氏匕2&2024」

o[x]_1

4.(2024•全国•一模)数学上，常用[句表示不大于2的最大整数.已知函数9="二则下列正确的是(

3W+1

).

A.函数4="二1在定义域上是奇函数

B.函数二^的零点有无数个

C.函数沙=去"在定义域上的值域是(—1,1)

D.不等式夕=空二1W0解集是(一8,0]

5.(2024•河南开封•二模)(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取

整函数为/(/)==],㈤表示不超过，的最大整数，例如[―3.5]=-4,[2.1]=2.下列命题中正确的有

()

A.3xER,f(x)=x—l

B.\/xER,nEZ,f(x+n)=f(x)+n

•••

c.VJ；,y>o,/(lg^)+/(lgy)=/(lg(rry))

D.3nEN*,fQgl)+/(lg2)+/(lg3)+-+/(lgn)=92

6.（2024.全国.模拟预测）（多选）函数4=［句是取整函数，也被称为高斯函数，其中［句表示不超过力的最

大整数，例如：［3.9］=3,［—2.1］=-3.若在函数/（力）的定义域内，均满足在区间［an,an+1）上，g=

43）］是一个常数，则称｛0｝为的取整数列，称为/Q）的区间数列.下列说法正确的是

（）

A.f（N）=log2/（力＞1）的区间数列的通项时=2八

B.f（X）=log2T（T＞l）的取整数列的通项与=九一1

C./（力）=log2（33/）（力＞1）的取整数列的通项与＞九十5

71n

D.若f（6）=10826（1《力＜2）,则数列｛bn（an+1—an）｝的前九项和5九=（n—2）2+2

题型二二阶行列式

abXx—a

7.（2024.福建宁德•模拟预测）定义=ad—be,若关于x的不等式＞2在五上恒成立，则实

cd2X

数Q的取值范围为（）

-004一8(

B.C.r+coD.P+CO

abab

8.（2023・河南・三模）我们称为“二阶行列式”，规定其运算为ad-be.已知函数/（力）的定

cdcd

xf(y)

义域为（—8,0）U（0,+8）,且/（为W0,若对定义域内的任意⑨沙都有=0,则（）

yf(x)

A./(1)=1B.f（x）是偶函数C.f（x）是周期函数D.f（x）没有极值点

）称为二阶行列式,规定它的运算法则为0）=ad-bc.

9.（22-23高一下•江西萍乡•期中）把符号

caca

cos。1—/Isin^

已知函数/（。）=

2COS0

⑴若/1=*,夕6凡求/⑹的值域;

X2-1

（2）函数gQ）=］］，若对V①e［―1」］,veeA,都有。（乃―恒成立，求实数4的取值

x2+l

范围.

题型三狄利克雷的教

10.（2024•全国•模拟预测）德国数学家狄利克雷｛Dirichlet）是解析数论的创始人之一,下列关于狄利克雷函

数。㈤北;黑温的结论正确的是（）

A.。（。（2））有零点B.是单调函数C.是奇函数D.是周期函数

11.（23-24高三上•广东惠州•阶段练习）（多选）狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定

义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有

很重要的作用，其函数表达式为。Q）=（其中Q为有理数集，为无理数集），则关于狄利克

雷函数说法正确的是（）

A.O（r）（e））=lB.它是偶函数

C.它是周期函数，但不存在最小正周期D.它的值域为［0,1］

12.（2024.广东惠州.三模）（多选）德国数学家狄利克雷（Dirichlet,1805-1859）,是解析数论的创始人之一.

他提出了著名的狄利克雷函数㈤=［；'哼］?智，以下对03的说法正确的是（）

［出27£尢埋数

A.。（。（0）=1B.。⑸的值域为{0,1}

C.存在c是无理数，使得。0+1）=。（c）+1D.\/26人,总有。3+1）=。（—力—1）

13.（2024.重庆.一模）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数〃/）=

被称为狄利克雷函数'其中R为实数集，Q为有理数集'则以下关于狄利克雷函数〃乃的结

论中，正确的是（）

A.函数/（乃为偶函数

B.函数/（①）的值域是［0,1］

C.对于任意的cCR,都有/（/（2））=1

D.在f（x）图象上不存在不同的三个点ABC，使得△ABC为等边三角形

E.在f⑹图象存在不同的三个点ABC,使得△ABC为等边三角形

题型四8glic函数

1,力＞0

14.（2024•山东临沂•一模）已知函数sgn（c）=（o,x=0，则“sgn(e*—1)+sgn(—力+1)=。”是“力＞1”的

-1,rc＜0

)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

15.（2024•北京•模拟预测）数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的•正负号•，一般•用

x<0

sgnQ）来表示，其解析式为sgnc=<0,x=0.已知函数/（力）=2sinc・sgn（cos/），给出下列结论:

①>0

①函数/（宓）的最小正周期为兀；

②函数/⑺的单调递增区间为［―版,g+k兀］（kez）；

③函数/Q）的对称中心为（/CT,0）（Rez）；

④在［一2兀,2兀］上函数gQ）=时（力）—1的零点个数为4.

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

题型五最大值最小值函数

16.（22—23高三上•阶段练习）已知max{a,fe,c}表示a,b,c中的最大值，例如max{l,2,3}=3,若函数

/（力）=max{一/2+4,一力+2,①+3},则/（/）的最小值为（）

A.2.5B.3C.4D.5

a,b,Q—b,对于任意实数c>0,g>0,

17.（2024•广东韶关二模）定义max{a,b}=

b,a<ba,a<b

贝Umin<max<2x,3y,-^―+-^―的值是（)

[[4/29g2

A.^2B.V2D.招

18.（2024•全国•模拟预测）设max{/，佻？}为x,y,z中最大的数.已知正实数0,匕,记河=111@*<{80,26,^^卜

IVabJ

则州的最小值为（）

A.1B.V2C.2D.4

19.（2024.湖北.一模）记max{/（x）},min{/（6）}分别表示函数/（优）在［a,b］上的最大值和最小值.则

xE［a,b］x&［a,b］

minmax{|m+n—2Vn|}I=

[—3,3][0,9]J

题型六欧拉函数

20.（2023・广东广州・模拟预测）欧拉函数0（71）（"6"*）的函数值等于所有不超过正整数外且与切互素的正

整数的个数，例如，8⑴=1,8⑷=2.若？72GN*,且⑵）=13,则0（m）=（）

i=l

A.3B.4C.5D.6

21.（2024•全国•模拟预测）（多选）欧拉函数是初等数论中的重要内容.对于一个正整数日，欧拉函数少⑺）表

示小于或等于"且与打互质的正整数的数目.换句话说，矶⑶是所有不超过"且与n互素的数的总数.

如：研5)=4,p(14)=6.则以下是真命题的有()

A.W(n)的定义域为N*,其值域也是N*

B.夕⑺)在其定义域上单调递增，无极值点

C.不存在九oCN*,使得方程w(n)=为有无数解

D.—1,当且仅当71是素数时等号成立

22.(2024.湖北.模拟预测)欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n为正整数，集合X”={1,2,,欧

拉函数(p(n)的值等于集合X“中与打互质的正整数的个数;记M(x,y)表示①除以4的余数(x和y均为

正整数)，

⑴求仪6)和夕(15)；

(2)现有三个素数p,q,e(p<Q<e),n=pq,存在正整数d满足7W(de,0®))=1；已知对素数a和xG

Xa，均有M(rca-1,a)=1,证明：若力CX”,则x=M([M(a;e,n)]d,n);

(3)设"为两个未知素数的乘积，生，e2为另两个更大的已知素数，且2ei=3e2+l；又。1=河(小,九)，C2

=M(xe2,n),xEX”,试用Ci，C2和ri求出x的值.

23.(2024.湖北武汉.二模)欧拉函数？S)SGN*)的函数值等于所有不超过正整数九，且与打互质的正整数

的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数)，例如：？(3)=2,9(4)=2,则由8)=；若勾

=之三，则氏的最大值为

24.(23-24高三上•河北邢台・开学考试)欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看

到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数矶九)的函数值等于所有不超过正整数介，且与n互素(两个

数只有公约数1)的正整数的个数.例如：0⑴=1,«(4)=2.现从少⑴,©⑵,卬(3)，…,.(10)中任选两

个数，则这两个数相同的概率是.•••

题型七黎曼西数

25.（23-24高三上•河南•阶段练习）（多选）黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学

=为既约真分数，（注:分子与分母是互质

家黎曼发现并提出，其基本定义是：R（x）=

。，力=0,1或（0,1）上的无理数

数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（）

A-）=1

B.黎曼函数的定义域为[0,1]

C.黎曼函数的最大值为十

D.若fQ）是奇函数，且/（1一/）=/（劣），当ne[0,1]时,/（力）=阳劣）,则/（学）+/（V^+6）=《

26.（2024•北京石景山•一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：rcC[0,1]时，RQ）

片逃巧*为既约真分数）,若数列.『凤"1）

,nEN*,给出下列四个结论:

[0以=0,1和（0,1）内的无理数'n'

①M=工；②％+2<an+i；③文研汁1V1；④之为>In".

ni=l/i=l/

其中所有正确结论的序号是

题型八

27.（2024•广西来宾・模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标,对于曲线0=/（*），其在点（羯

/（g））处的曲率K=——侬。"3，其中广（⑼是/（⑼的导函数，尸,（乃是尸（⑼的导函数.则抛物线

{i+[/U）]2P

/2=2pg（p>0）上的各点处的曲率最大值为（）

19

A.2pB.pC.—D.—

PP

28.（2024.全国•二模）广州小蛮腰是广州市的地标性建筑，奇妙的曲线造型让建筑充满了美感，数学上用曲

率表示曲线的弯曲程度.设函数g=/Q）的导函数为（（名）,（（力）的导函数记为/〃（力，则函数g=/Q）的

图象在（gj（g））的曲率K=一『’3。"3・

2

[l+（f（T0））F

（1）求椭圆车+耳=1在（2,V2）处的曲率；

o4

⑵证明：函数gQ）=tan图象的曲率KQ）的极大值点位于区间（2个）.

29.（22-23高三上•山东•阶段练习）（多选）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动

•••

率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.曲线夕=/Q）在点）处的曲

率K（±）=[i+d）2]1.5，其中/〃（乃是/'（C）的导函数・下面说法正确的是（）

A.若函数/Q）=靖,则曲线o=/（力）在点（—a,-a3）与点（a,a3）处的弯曲程度相同

B.若/（⑼是二次函数，则曲线夕=/⑺的曲率在顶点处取得最小值

C.若函数/（rr）=sine,则函数KQ）的值域为[0,1]

D.若函数/（⑼=工3>0）,则曲线9=/（2）上任意一点的曲率的最大值为造

x2

题型九极值点与拐点

30.（2024•湖南长沙•二模）极值的广义定义如下:如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处

处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.

对于函数y=/（4），设自变量力从3变化到g+Arc,当Ac>0,lim区也上―'"°）是一个确定的

△IT。l\x

值,则称函数n=f⑸在点而处右可导；当ArV0，lim〃g+叩-A”。）是一个确定的值，则称函数y

=/（力）在点g处左可导.当函数4=/（力）在点g处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数g=

/（力）在点g处可导.

（1）请举出一个例子,说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；

（2）已知函数/（劣）=x2ea^+1—炉sine—ex2.

（i）求函数g（N）=铲斗1—xsinx—e在c=0处的切线方程；

（五）若力=0为/（力）的极小值点，求a的取值范围.

•••

31.（2024.贵州.模拟预测）定义:设广㈤是/㈤的导函数,尸3是函数:3）的导数，若方程/'3）=0有实

数解g，则称点（g,/（g））为函数0=/（⑼的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”且

“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数/（x）=炉+6/—力+a图象的对称中心为（0,1）,则下列

说法中正确的有（）

A.a=1,6=0B.函数/（⑼的极大值与极小值之和为2

c.函数/(2)有三个零点D.y=/Q）在区间（0,1）上单调递减

32.（2024・河南•三模）设函数/Q）的导函数为尸（①），尸Q）的导函数为"0）,/"3）的导函数为严O）.若

/"（g）=0,且/”（g）W0,则（T0,/（T0））为曲线y=/O）的拐点.

（1）判断曲线夕=/是否有拐点，并说明理由；

（2）已知函数/（①）=a/—5炉，若为曲线o=/（乃的一个拐点,求/⑺的单调区间与极

值.

•••

题型十洛必达法则

33.(20-21高二下•重庆江北•阶段练习)我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为心型，比如：当x

-0时，更二1的极限即为2型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在

1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.

-1

如：=lim©T)=lim^i=i,则lim^=()

cr-»0X*-001x->lXLYYX

A.0B.yC.1D.2

34.(2024.浙江・二模)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具--洛必达法则，法则中有结论:若函数

/(力),g(劣)的导函数分别为:(N)，g，(c),且甄/(力)=啊gQ)=0,则

「f⑺「f'⑸

nm-=nm---.

—Qg(x)—g'(/)

②设a>0,R是大于1的正整数,若函数/Q)满足:对任意宓6［0,a］,均有/Q)>/(%)成立，且

lim/O)=0,则称函数/(乃为区间［0,a］上的k阶无穷递降函数.

«->0

结合以上两个信息，回答下列问题：

(1)试判断/(t)=砂—32是否为区间［0,3］上的2阶无穷递降函数；

(2)计算：lim(l+名产；

rr-*0

3

⑶证明：(普)<cosx,x€（兀,-1*兀）.

•••

35.(2024•河北邢台・二模)在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式长型或工型极限的一种重

要方法，其含义为:若函数/Q)和gQ)满足下列条件：

①Hm/(x)=0且hm^(£c)=0(或=co,limg(x)=oo)；

②在点a的附近区域内两者都可导，且g'Q)W0；

③lim^-=A(A可为实数,也可为±8)，则=A.

J。£0)-。gQ)J。g'O)

(1)用洛必达法则求lim「二；

Dsince

丁2^271—1

⑵函数/⑺=1+*+了+下+…+不F(71>2,"6"*),判断并说明了(工)的零点个数;

兀7C

(3)已知g(2c)=g(c)•cosx,g(0)=1,a?C7,-2，求g(cc)的解析式.

参考公式:lim/(x)=/(HmT),ljmfc/(x)=fcljmy(x).

12

题型十一不动点与复合稳定点

36.(2024•黑龙江齐齐哈尔・三模)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定

理，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数/(⑼,存在一个点g,使得/(g)=g,那么我们称该函

数为"不动点”函数.函数/(c)=22—since+cos工有个不动点.

37.(2024.广东广州.二模)若g是方程/(gQ))=g(f⑸)的实数解，则称g是函数"=/(*)与y=g(x)的

“复合稳定点”.若函数/(4)=a\a>0且a¥1)与g⑸=2x-2有且仅有两个不同的“复合稳定点”,

则a的取值范围为()

A.(0,^^)B.(^^,1)C.(1,V2)D.(V2,+co)

38.(2024•贵州黔西.一模)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维

空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲

就是:对于满足一定条件的连续函数/(，),存在实数如，使得/(g)=应，我们就称该函数为“不动点”函

数,实数的为该函数的不动点.

(1)求函数/(*)=2x+x-3的不动点；

(2)若函数gQ)=lnrc—b有两个不动点如电,且Ci<22,若g—求实数b的取值范围.

•••

39.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）对于函数/（乃，若实数g满足/（3）=g,则g称为/（为的不动点.已知

函数/（力）=ex—2x+%（2>0）.

（1）当a=—1时,求证/（力）>0；

（2）当。=0时,求函数/（力）的不动点的个数；

（3）设4CN*,证明J+J+••-+1->ln（n+l）.

Vl2+1V22+2Vn;2+n

40.（2024・河北沧州・一模）对于函数0=/3）,461,若存在g门,使得/30）=如则称3为函数/（0的一

阶不动点；若存在gC/,使得/（/（g））=而，则称g为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函

数/（⑼的八阶不动点.其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数/（⑼的“不

动点"和"稳定点”构成的集合分别记为A和8,即A={$/（必）=3；},_B={”/（/（久））=2}.

⑴若/⑺=eeQ>0）,证明:集合人=„（2；）=①}中有且仅有一个元素；

（2）若/（立）=（a+l）H—工+旦竽（a>—1）,讨论集合口的子集的个数.

xe

•••

题型十二可移倒数点

41.(2024.江苏苏州.三模)对于函数/(⑼，若存在实数多,使/(g)_fQo+/l)=模其中3W0,则称/(⑼为“可

QX力>>Q

；C，若函数/(c)恰有3个“可移1倒数

{壬，x<0

点”，则a的取值范围()

A.(2,e)B.(2,+co)C.(-1,2)D.

42.(2024•山东聊城,二模)对于函数/(⑼，若存在实数㊃，使/(&)/(而+冷=L其中4#0,则称/Q)为''可移

A倒数函数"，割为'了3)的可移4倒数点”.已知g(x)=e",%(c)=力+a(a>0).

(1)设<p(x)=。(⑼分侬),若方为“从x)的可移一2倒数点”，求函数仪⑼的单调区间；

<7(rr),x>0

(2)设s(0=i一八,若函数s(c)恰有3个“可移1倒数点”，求a的取值范围.

［砌，立<°

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题型十三泰勒展开

43.（2024.贵州贵阳.一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：修=1+t+为+今+…+与+…其中心=

2!3!n!

1X2x3X4X-X7i,e为自然对数的底数，e=2.71828…….以上公式称为泰勒公式.设/（为=

亘于二'93）=亘甘二'根据以上信息'并结合高中所学的数学知识'解决如下问题・

（1）证明：ex^l+x；

（2）设ce（0,+8）,证明：/^<gQ）；

X

（3）设尸（⑼=g（ic）-a（l+号），若t=0是斤（工）的极小值点,求实数a的取值范围.

44.（2024.贵州遵义.三模）英国数学家泰勒（B.Taylor,1685-1731）发现了：当函数/（非）在定义域内n阶

J（n）m3

可导，则有如下公式:=2r/（0）£c"=/（0）+f（O）x+■尸（0那+4rf（O）x+…+3产（0如"

n!2!3!n!

+…以上公式称为函数/⑶的泰勒展开式，简称为泰勒公式.其中，n!=1x2x3x4x…xn,严）（⑼

表示了（⑼的n阶导数，即/Q）连续求n次导数.根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下

问题：

（1）写出e”的泰勒展开式（至少有5项）；

（2）设/㈤=e，+ef—1—a*若田=0是/Q）的极小值点,求实数a的取值范围；

（3）若e8七100k,k为正整数，求k的值.

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45.(2024・安徽•一模)给出以下三个材料：

①若函数/(乃可导，我们通常把导函数/(2)的导数叫做/(工)的二阶导数，记作/〃(c).类似的，函数

f(x)的二阶导数的导数叫做函数/(功的三阶导数，记作广〃(乃，函数/(为的三阶导数的导数叫做函数

/(0的四阶导数……，一般地，函数/(1)的n-1阶导数的导数叫做函数/(为的"阶导数，记作/⑹Q)

=[尸T(t)]'，4；

②若nCN*,定义n!=nx(?i—l)x(?2—2)x…x3x2xl；

③若函数/(力)在包含新的某个开区间(a,6)上具有任意阶的导数，那么对于任意xC(a,6)有g(a?)=

/(力。)+空13-0)+华/践―&y+…+犬黄(1一闻"+…，我们将称为函数/⑺在点2

1!2!n!

=g处的泰勒展开式.

例如力(%)=e*在点力=0处的泰勒展开式为gi(rr)=1+力+士①2H十…

2n!

根据以上三段材料，完成下面的题目：

(1)求出-3)=COSN在点/=0处的泰勒展开式g(a?)；

(2)用/(2)=cos/在点x=Q处的泰勒展开式前三项计算cos0.3的值，精确到小数点后4位；

001

⑶现已知皂些1-二)(1+且)…，试求之士的值.

九兀八TVK'Mn

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题型十四麦克劳林展开

46.（24-25高三上•四川成都・开学考试）麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，/Q）的麦克劳林

展开式为：/3=/（o）+r（o）c+/，/+…+小?，"+…）入其中严）（o）表示

2!n!71=0n!

的八阶导数在0处的取值,我们称T=/平

n/九为了（名）麦克劳林展开式的第八+1项.例如：e，=1+

n!

2!+3!4!+•••.

（1）请写出f（x）=sinx的麦克劳林展开式中的第2项与第4项；

⑵数学竞赛小组发现Ml+0的麦克劳林展开式为皿1+为=2—亨+（—亨+…，这意味眷当

力>0时，ln（l+为>H-亨，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？

⑶当rr>1时，若e，+Inc+>誓+小2，求整数m•的最大值.

26

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47.(2024.河南周口•模拟预测)已知函数/(c)=(re—l)ln(l—x)-x-cosx.

(1)求函数/Q)在区间(0,1)上的极值点的个数.

(2)“X”是一个求和符号，例如=1+2+…+n,'(2疗)=2x+2x2+…+2科等等.英国数学家布

i=li=l

3(_］尸•子2-2

鲁克・泰勒发现，当n-+8时，cos①=一1/1:，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经

i=i(24—2)!

典应用.

"(_［丫+1.丁2升3

证明：⑴当时，对\/2>0,都有fv2一L>°；

i=i(21+3)!

<lnn(nCN*,n,2).

题型十五拉格朗日中值定理

48.(2024.全国.模拟预测)已知函数/⑸=(x—a)e~x+Ji—26,g(力)=xe~x—e37-1--^-x3+ax1—f(x)，

/o

且/(%)在/=0处取得极大值.

⑴求a的值与/(c)的单调区间.

(2)如图,若函数g=/(切的图像在［a,b］连续，试猜想拉格朗日中值定理，即一定存在cG(Q,6),使得

『(c)=nz,求?n的表达式〔用含a,b,f(a),f(b)的式子表示).

(3)利用这条性质证明：函数g(乃图像上任意两点的连线斜率不大于年-平・

49.（2024.山西.三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工

具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下：

如果函数/（⑼在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）可导，导数为尸（⑼,那么在开区间（a,b）内至少存

在一点c,使得/⑹=吗FG，其中c叫做/（c）在［a,b］上的“拉格朗日中值点”.已知函数/（t）=

（a［l）L］n,+_4诂。。一卷炉+）/,

（1）若a=-l,b=0,求函数/（c）在［1,7］上的“拉格朗日中值点”T0;

（2）若a=-l,b=1,求证:函数/（⑼在区间（0,+8）图象上任意两点A,B连线的斜率不大于18-

（3）若a=l,b=—l,X1,X2,X3E（；,1）,且伤＜工2＜，3，求证："’2）一/（"1）〉/（g）—/（g）.

一、4＞x2—xix3—x2

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50.（23—24高二下•江西九江•阶段练习）已知函数/（*）=x2—3x+alnx,aER.

⑴当a=l时,求函数/（c）的在点（1J（1））处的切线；

（2）若函数/Q）在区间［1,2］上单调递减，求a的取值范围；

⑶若函数g⑺的图象上存在两点3，纺），且使得9,0产）=叱三|亨_,则

称夕=g⑸为“拉格朗日中值函数”，并称线段AB的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断

函数/（力）是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数/Q）的“拉格朗日平均值点”的个数;若不是，说

明理由.

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51.(2024•广东•二模)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,其内容为:如果函数/(乃在闭区间[a,b]

上的图象连续不断，在开区间(a,b)内的导数为尸(£),那么在区间(a,6)内存在点以使得/(b)—/(a)=

尸(c)(b—a)成立.设/Q)=e。+c—4,其中e为自然对数的底数，e^2.71828.易知，/(为在实数集R

上有唯一零点r,且rC(1,1■卜

(1)证明：当力e｝,7+、■)时，0<1；

(2)从图形上看，函数/(尤)=^+力-4的零点就是函数/(为的图象与T轴交点的横坐标.直接求解

f(x)=e0+t—4的零点r■是困难的，运用牛顿法，我们可以得到了(①)零点的近似解:先用二分法，可在

(l,y)中选定一个g作为r的初始近似值，使得0</(g)(],然后在点(XO,/(TO))处作曲线0=/(必)

的切线，切线与力轴