2025年初中数学专项复习突破：三角形中的新定义问题（含答案及解析）

专题三角形中的新定义问题

【例1】.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比

值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形

中建立边角之间的联系.定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如

图，在△ABC中，AB^AC,顶角A的正对记作s以/A,这时生.容易知

腰AB

道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下

歹(J问题:

(1)sad60°=；

(2)对于0°<A<180°,NA的正对值的取值范围是；

(3)如图，已知cosA=生，其中乙4为锐角，试求sadA的值.

A变式训练

【变17工定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍

角三角形”.若AABC是“倍角三角形"，ZA=90°,BC=4,贝的面积

为.

【变1-21.定义：如果三角形的两个内角a与0满足a+2p=100°,那么我们称这样的三

角形为“奇妙三角形”.

(1)如图1,△ABC中，ZACB=80°,2。平分NABC.

求证：△A3。为“奇妙三角形”

(2)若△ABC为“奇妙三角形"，且NC=80°.求证：△ABC是直角三角形；

(3)如图2,△ABC中，2D平分/ABC,若△42。为“奇妙三角形"，且乙4=40°,

直接写出/C的度数.

图1图2

【例2].定义：如果三角形有两个内角的差为60°,那么这样的三角形叫做“准等边三角

形”.

【理解概念】

(1)顶角为120°的等腰三角形“准等边三角形”.(填“是”或“不是”)

【巩固新知】

(2)已知△ABC是“准等边三角形”，其中NA=35°,ZC>90°.求的度数.

【解决问题】

(3)如图，在中，ZACB=90°,NA=30°,BC=1+J§，点。在AC边上，

若△BC。是“准等边三角形”，求8。的长.

A变式训练

【变2-11新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△

ABC中AF、3E是中线，且垂足为P,像△ABC这样的三角形称为“中垂三

角形"，如果/A8E=30°,AB=6,那么此时AC的长为

c.

【变2-2】.【了解概念】

定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形

为半线三角形，这条中线叫这条边的半线.

【理解运用】

(1)如图1,在△A8C中，AB=AC,ZBAC=120°,试判断△ABC是否为半线三角形，

并说明理由；

【拓展提升】

(2)如图2,在△ABC中，AB^AC,。为的中点，M为△ABC外一点，连接MB,

MC,若△ABC和均为半线三角形，且和分别为这两个三角形8C边的半

线，求NAMC的度数；

(3)在(2)的条件下，若加。=旦，AM=1,直接写出的长.

实战演练

1.当三角形中一个内角B是另外一个内角a的/时，我们称此三角形为“友好三角形”，a

为友好角.如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°,那么这个“友好三角形”的

“友好角a”的度数为.

2.当三角形中一个内角a是另一个内角P的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，

其中a称为“奇妙角”.如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°,那么这个“奇妙

三角形”的另两个内角的度数为.

3.新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.根据准外心的定

义，探究如下问题：如图，在中，ZC=90°,45=10,AC=6,如果准外心尸

在BC边上，那么PC的长为.

4.定义：锐角三角形三条高的垂足形成的三角形称为垂足三角形.在锐角三角形A8C的每

条边上各取一点D,E,F,称为△A8C的内接三角形.垂足三角形的性质：在锐

角三角形ABC的所有内接三角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形.已知，在4

ABC中，点。，E,F分别为AB,BC,AC上的动点，AB=AC=5,BC=6,则△OEF

周长的最小值为.

5.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①在△ABC中，AB

=AC,顶角A的正对记作这时相心=粤•塔.容易知道一个角的大小与这个

腰AB

角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题:

(1)sad60°=.

(2)sad90°=.

(3)如图②，己知sinA=3,其中NA为锐角，试求相公的值.

5

6.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三

角形的三分线.

(1)如图①，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判

断△D4B与△EBC是否相似:(填“是”或“否”);

(2)如图②,△ABC中,AC=2,BC=3,/C=2/8,则AABC的三分线的长为

图②

7.概念学习

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形

互为”等角三角形”.

从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线

段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，

另一个与原来三角形是“等角三角形”,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.

理解概念:

(1)如图1,在中，NACB=90°,CD±AB,请写出图中两对''等角三角形”.

概念应用：

(2)如图2,在△ABC中，CD为角平分线，ZA=40°,ZB=60°.求证：CD为△

ABC的等角分割线.

动手操作：

(3)在△ABC中，若/A=50°,C£＞是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的NACB

的度数.

8.定义：在△ABC中，若8C=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足改+“2=户则称这个三角

形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题：

(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是(填“真”或“假”)命题.

(2)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形"，AB=BC,AC>AB,请求N

A的度数.

(3)如图2所示，在△ABC中，且/O/A,求证：△A2C为“类勾股

三角形”.志明同学想到可以在上找一点。使得AO=C£>,再作CEL8。，请你帮助

志明完成证明过程.

（图1）（图2）

9.我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度.

如图1,在△ABC中，AB=AC,旭的值为△ABC的正度.

BC

已知：在△ABC中，AB=AC,若。是△ABC边上的动点(Z)与A,B,C不重合).

(1)若NA=90°,则AABC的正度为；

(2)在图1,当点。在腰A8上(。与A、8不重合)时，请用尺规作出等腰△AC。，

保留作图痕迹；若△AC。的正度是亚，求NA的度数.

2

(3)若NA是钝角，如图2,△ABC的正度为反，八旬。的周长为22,是否存在点0,

5

使△ACD具有正度？若存在，求出△AC。的正度；若不存在，说明理由.

AA

/\

BCBC

图1图2

10.定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”.

(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有(只填写序号).

①顶角是30°的等腰三角形；

②等腰直角三角形；

③有一个角是30°的直角三角形.

(2)如图1,在AABC中，AB=AC,N54C290°,将△ABC沿边AB所在的直线翻折

180°得到△42,延长DA到点E,连接BE.

①若BC=BE,求证：△ABE是“倍角三角形”；

②点尸在线段AE上，连接8P.若/C=30°,3P分△A8E所得的两三角形中，一个是

等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出NE的度数.

11.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.

探究：

(1)如图甲，已知△ABC中NC=90°,你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直

角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.

(2)一般地，''任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原

三分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边

中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）;把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次

连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去.”阶分

割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（w为正整数），设此时小三角形的面积为SN.

①若ADEF的面积为10000,当n为何值时，2<S”<3?（请用计算器进行探索，要求

至少写出三次的尝试估算过程）

②当”>1时，请写出一个反映5；〃,S〃+i之间关系的等式.（不必证明）

DD

/0\

EFEFEFEF

图乙图1（1阶）图2（2阶）图3（3阶）

K图甲

12.定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所

对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1,AABC中，点。是

BC边上一点，连接4。，若4£>2=B£）.cr»,则称点。是△ABC中BC边上的“好点”.

（1）如图2,△A8C的顶点是4X3网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描

出）边上的所有“好点”点D；

（2）△ABC中，BC=1,tanB=3,tanC=l,点。是BC边上的“好点”，求线段8。

4

的长；

（3）如图3,△ABC是。。的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交。。于点

D.若点X是△BCD中CO边上的“好点”.

①求证：0H_LA2；

②若OH〃BD,。。的半径为r,且r=308,求型的值.

DH

13.定义1：如图1,若点H在直线/上，在/的同侧有两条以H为端点的线段M”、NH,

满足/1=/2,则称和NH关于直线/满足“光学性质”；

定义2：如图2,在△ABC中，△PQR的三个顶点尸、Q、R分别在8C,AC、AB±.,若

RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关

于AB满足“光学性质”，则称△PQR为LABC的光线三角形.

阅读以上定义，并探究问题：

在△ABC中，乙4=30°,AB=AC,△£>£尸三个顶点£）、E、尸分别在2C、AC,AB±.

（1）如图3,若FE〃BC,DE和FE关于AC满足“光学性质”，求NEDC的度数；

（2）如图4,在△ABC中，作于尸，以A8为直径的圆分别交AC,BC于点E,

D.

①证明：为△ABC的光线三角形；

②证明：AABC的光线三角形是唯一的.

A

A

14.新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.

(1)如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”,AB=AC,写出NBA。，

NA4C和NA4E之间的数量关系，并证明.

(2)如图②，△ABC和△&£>£互为“兄弟三角形"，AB=AC,AD=AE,点。、点E均

在△ABC外，连接8。、CE交于点连接AM,求证：AM■平分

(3)如图③，若AB=AC,ZBAC=ZA£)C=60°,试探究NB和NC的数量关系，并

说明理由.

图①

图②图③

15.我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三

角形.

（1）定义应用

如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为；

（2）性质探索

小思同学通过从“特殊到一般”的过程，对2倍角三角形进行研究，得出结论：

如图1,在△ABC中，如果那么BC2=ACCAB+AC）.

下面是小思同学对其中一种特殊情形的证明方法.

已知：如图2,在△ABC中，ZA=90°,ZB=45°.

求证：BC2=AC（AB+AC）.

16.在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条

边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形"，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫

“和谐距离”.

(.1)已知A(2,0),B(0,4),C(1,2),D(4,1),这个点中，能与点。组成“和

谐三角形”的点是，“和谐距离”是；

(2)连接8。，点N是8。上任意两个动点(点N不重合)，点E是平面内任意

一点，△EMN是以跖V为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标f的取值范围；

(3)已知。。的半径为2,点P是上的一动点，直线y=w+b与无轴、y轴分别交

于点X、G,点。是线段HG上一点，若存在△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”

是2,直接写出6的取值范围.

17.定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和

一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形.

(1)如图1,在智慧三角形ABC中，ADLBC,为该三角形的智慧线，CD=1,AC

=遥，则2。长为,48的度数为.

(2)如图2,△A3C为等腰直角三角形，ZBAC=90°,尸是斜边延长线上一点，

连结AF,以为直角边作等腰直角三角形AFE(点A,F,E按顺时针排列)，ZEAF

=90°,AE交BC于点、力,连结EC,EB.当时，求证：EDMAEBC

的智慧线.

(3)如图3,2XABC中，AB=AC=5,BC=4、而.若△BCD是智慧三角形，且AC为

智慧线，求△8C。的面积.

AA

D

图1

18.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.

性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等.

理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACZ）和是“友好三

角形”，并且SAACD=SABCD.

应用：如图②，在矩形A8CD中，A8=4,8c=6,点E在4。上，点尸在8c上，AE

=BF,A尸与BE交于点O.

（1）求证：ZkAOB和△AOE是“友好三角形”；

（2）连接。。，若△AOE和是“友好三角形”，求四边形C。。尸的面积.

探究：在△ABC中，NA=30°,A8=8,点。在线段AB上，连接CD,△ACD和△BCD

是“友好三角形”，将△AC。沿CD所在直线翻折，得到CD,若CD与AABC

重合部分的面积等于△ABC面积的工，求出△ABC的面积.

图①图②

19.定义：如果一个三角形中有两个内角a,p满足a+20=9O°,那我们称这个三角形为

“近直角三角形”.

（1）若△ABC是“近直角三角形"，ZB>90°,NC=50°,则NA=°；

（2）如图1,在RtZxABC中，ZJBAC=90°,AB=3,AC=4.若8。是/ABC的平分

线，

①求证：△BOC是“近直角三角形”；

②在边AC上是否存在点£（异于点。），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，

请求出CE的长；若不存在，请说明理由.

（3）如图2,在RtaABC中，ZBAC=90°，点。为AC边上一点，以3。为直径的圆

交8c于点E,连结AE交8。于点R若△BC。为“近直角三角形”，且AB=5,AF=3,

求的长.

图1图2

20.爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两

条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图（1）、图（2）、图（3）中，AM,BN

是ABC的中线，AML3N于点尸，像A5C这样的三角形均为“中垂三角形”.设3C=〃，

AC=b,AB=c.

【特例探究】

(1)如图1,当NE4B=45°,。=如历时，a=,b=；如图2,当NP4B

=30°,c=2时，a2+b2=；

【归纳证明】

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想/、射、°2三者之间的关系，用等式表示出来，

并利用图3证明你的结论.

【拓展证明】

(3)如图4,在EL4BC。中，E、尸分别是A。、BC的三等分点，MAD=3AE,BC=3BF,

连接AF、BE、CE,且3E_LCE于E,Ab与BE相交点G,AD=3岳,AB=3,求AF

21.定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”.

(1)若Rt^ABC为半角三角形，ZA=90°,则其余两个角的度数为.

(2)如图1,在回ABC。中，NC=72°,点E在边CD上，以BE为折痕，将△8CE向

上翻折，点E恰好落在边上的点R若2厂，A。，求证：△££)尸为半角三角形；

(3)如图2,以△ABC的边A3为直径画圆，与边AC交于与边BC交于N,已知△

ABC的面积是面积的4倍.

①求证：ZC—6Q°.

②若△ABC是半角三角形，直接写出的度数.

图1图2

22.定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那

么这两个三角形称为邻等三角形.

例如：如图1,△ABC中，AD=AD,AB^AC,NB=NC,则△42。与△AC。是邻等

三角形.

(1)如图2,O。中，点。是黄的中点，那么请判断△42。与△AC。是否为邻等三角

形，并说明理由.

(2)如图3,以点4(2,2)为圆心，OA为半径的。A交了轴于点8(4,0),AOBC

是OA的内接三角形，ZCOB=30°.

①求/C的度数和OC的长；

②点尸在OA上，若△OCP与△OBC是邻等三角形时，请直接写出点P的坐标.

23.定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△A2C为中垂三角形，并且把

+以2叫做△MC的方周长，记作Lgp£=AB2+BC2+CA2.

(1)如图1,已知△ABC是中垂三角形，BD,AE分别是AC,8C边上的中线，若AC

=BC,求证：△AOB是等腰直角三角形；

(2)如图2,在中垂三角形ABC中，AE,8。分别是边BC,AC上的中线，且AE_LB。

于点。，试探究△ABC的方周长L与4炉之间的数量关系，并加以证明；

(3)如图3,已知抛物线y=j-ax2」ax-2a与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交

164

于点B,经过点B的直线与该抛物线相交于点C,与x轴负半轴相交于点且BD=CD,

连接AC交y轴于点E.

①求证：△ABC是中垂三角形；

②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值.

例题精讲

【例1】.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比

值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形

中建立边角之间的联系.定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如

图，在△ABC中，AB^AC,顶角A的正对记作s以/A,这时生.容易知

腰AB

道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下

歹(J问题:

(1)sad60°=1；

(2)对于0°<A<180°,NA的正对值sadA的取值范围是0<s〃dAV2；

(3)如图，已知cosA=^,其中乙4为锐角，试求sadA的值.

5

解：(1)根据正对定义，

当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°,

则三角形为等边三角形，

则sad60°=—=1.

1

故答案为：1.

(2)当NA接近0°时，sadA接近0,

当/A接近180。时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2.

于是sadA的取值范围是OVs4dA<2.

故答案为OVs以/AV2.

(3)如图，过5作3O_LAC于D

在RtZ\AB£）中，cosA=包.=段.

AB5

设4。=4公AB=5k,则80=3%,

.\DC=5k-4k=k.

在RtZ\BDC中，2。=心口202=百54,

【变17].定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍

角三角形”.若△ABC是“倍角三角形"，NA=90°,BC=4,则AABC的面积为4

或2y.

解：「△ABC是“倍角三角形”，

分四种情况：

当/A=2/B=90°时，

.\ZB=45O,

/.AABC是等腰直角三角形，

VBC=4,

AB=AC=尊=£=2五，

V2V2

AABC的面积=AAB-AC=-1X2V2X2V2=4；

22

当NA=2NC=90°时，同理可得：/XABC的面积为4；

当/B=2/C时，

VZA=90°,

.\ZB+ZC=90°,

VZB=2ZC,

AZC=30°,ZB=60°,

VBC=4,

.•.AB=ABC=2,AC=«AB=2我，

△ABC的面积=AAB«AC=Jx2><2百=2«；

当NC=2NB时，

VZA=90°,

：.ZB+ZC=90°,

VZC=2ZB,

.\ZB=30°,ZC=60°,

"：BC=4,

：.AC=-^BC=2,AB=MAC=2M，

2

△ABC的面积=^AB'AC=AX2A/3X2=2M；

22

综上所述：△ABC的面积为4或2«,

故答案为：4或2«.

【变1-2].定义：如果三角形的两个内角a与0满足a+2B=100。，那么我们称这样的三

角形为“奇妙三角形”.

(1)如图1,△ABC中，ZACB=80°,平分NABC.

求证：△A3。为“奇妙三角形”

(2)若△ABC为“奇妙三角形"，且/C=80°.求证：△ABC是直角三角形；

(3)如图2,ZXABC中，8。平分NABC,若△A3。为“奇妙三角形"，且NA=40°,

直接写出NC的度数.

图1图2

(1)证明：：8。平分/ABC,

NABC=2NABD.

在△ABC中，VZACB=80°,

ZA+ZABC=180°-ZACB=180°-80°=100°,

即NA+2/ABr>=100°,

：.△ABD为“奇妙三角形

(2)证明：在△A8C中，VZC=80°,AZA+ZB=100°,

:△ABC为“奇妙三角形”，.\ZC+2ZB=100°或/C+2/A=100°,

.,.ZB=10°或/A=10°,

当/B=10°时，ZA=90°,AABC是直角三角形.

当/A=10°时，ZB=90°,ZiABC是直角三角形.

由此证得，△ABC是直角三角形.

(3)解：：2。平分NARC,

NABC=2NABD,

•：AABD为“奇妙三角形”，

AZA+2ZABD=100°或2/A+/ABO=100°,

①当NA+2NABO=100°时，ZABD=(100°-40°)4-2=30°,

/.ZABC=2ZABD=60°,

AZC=80°；

②当2NA+NABZ)=100°时，ZABD=100°-2ZA=20°,

AZABC=2ZABD=40°,

AZC=100°；

综上得出：/C的度数为80°或100°.

【例21定义：如果三角形有两个内角的差为60°,那么这样的三角形叫做“准等边三角

形”.

【理解概念】

(1)顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”.(填“是”或“不是”)

【巩固新知】

(2)已知△ABC是“准等边三角形”，其中NA=35°,ZC>90°.求的度数.

【解决问题】

(3)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=1+愿，点D在AC边上，

若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长.

解：(1)二•等腰三角形的顶角为120°,

等腰三角形的两个底角度数分别为30°,30°,

顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；

(2):△ABC是“准等边三角形"，ZA=35°,ZC>90°,

；•分两种情况：

当/C-/A=60°时，

.\ZC=ZA+60°=95°,

.,.ZB=180°-ZC-ZA=50°；

当/。-/2=60°时，

VZA=35°,

/.ZC+ZB=180°-ZA=145°,

；.2/B=85°,

AZB=42.5°；

综上所述：NB的度数为50°或42.5°；

(3)VZACB=90°,ZA=30°,BC=1+E，

90°-ZA=60°,AB=2BC=2+2y[j,

'：ABCD是“准等边三角形”，

分两种情况：

当/C-NCB£>=60°时，

：.ZCBD=ZC-60°=30°,

J.BD^ICD,

'：CD1+BC2=BD2,

：.CD2+(1+V3)2=(2CD)2,

解得：cr>=«+3或C£>=-F+3(舍去),

33

:.BD=2CD=2a+6；

3

当NBDC-NCBD=60°时，

过点。作DELAB,垂足为E,

VZC=90°,

：.ZBDC+ZCBD^90°,

.•.2ZBDC=150°,

：.ZBDC=15°,

：.ZABD=ZBDC-ZA=45°,

/.LBDE是等腰直角三角形，

：.BE=DE,BD=^2DE,

设DE=BE=x,

在RtZXADE中，NA=30°,

：.AE=yj3DE=y[3x,

\'BE+AE^AB,

x+"\j~^x=2.+2yj~3,

解得：x=2,

：・BE=DE=2,

:.BD=®DE=2瓜

[变2-1],新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△

A3C中AF、BE是中线，且APLBE,垂足为P,像△ABC这样的三角形称为“中垂三

角形"，如果/A8E=30°,AB=6,那么此时AC的长为3夜.

C

：.ZAPB=ZAPE=90°,

在RtA4BP中，VZABP=30°,

.•.AP=JLAB=3,

2

BP=MAP=3M，

,：AF.BE是中线，

：.AE^CE,点P为4ABC的重心,

；.PE=LBP=373

2~T~

2-3A/7

在RtZXAPE中，AE=

2

：.AC=2AE=3-f7.

故答案为377.

c.

【变2-2】.【了解概念】

定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形

为半线三角形，这条中线叫这条边的半线.

【理解运用】

(1)如图1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,试判断△ABC是否为半线三角形，

并说明理由；

【拓展提升】

(2)如图2,在△ABC中，AB=AC,。为的中点，M为△ABC外一点，连接M8,

MC,若△ABC和均为半线三角形，且和KD分别为这两个三角形8c边的半

线，求NAMC的度数；

(3)在(2)的条件下，若反，AM=1,直接写出8W的长.

2

解：(1)AABC是半线三角形，理由如下:

取BC得中点连接线＞,

C.ADLBC,

'：AB=AC,ZBAC=12Q°,

.•.ZB=ZC=30°,

在RtZXAB。中，ZB=30°,

：.AD=—AB,

2

AABC是半线三角形.

(2)过点A作AAaAM交MC于点N,如图,

;MD为△MBC的BC边的半线，

；.MD=—BC=BD=CD,

2

ZDBM=ZDMB,ZDMC=ZDCM,

：.ZBMC=9Q°,

同理NBAC=90°,

又•：NMOB=/AOC,

：.ZMBA=ZMCA,

•.,/AMN=NBAC=90°,

NMAB=NNAC.

'：AB=AC,

：./\MAB^/\NAC(ASA),

：.AM=AN,

又：NM4V=90°,

/.ZAMC=ZANM^45°.

(3)由题意可知，BC=2MD=3,

由(2)知△M48名/XNAC(ASA),

：.MB=NC,AM=AN=1,

：.MN=42,

在RtzXMBC中，由勾股定理可得，MB2+MC1=BC2,

：.MB2+(近+MB)2=32,

解得，MB=2-叵(负值舍去).

2

故M2的值为2-亚.

2

实战演练

1.当三角形中一个内角0是另外一个内角a的/时，我们称此三角形为“友好三角形”，a

为友好角.如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°,那么这个“友好三角形”的

“友好角a”的度数为42°或84°或92°.

解：①42°角是a,则友好角度数为42°；

②42°角是0,则a=20=84°,

.•.友好角a=84°；

③42°角既不是a也不是仇

则a+0+42°=180°,

所以，a+—a+42°=180°,

2

解得a=92°,

综上所述，友好角度数为42°或84°或92°.

故答案为：42°或84°或92°♦

2.当三角形中一个内角a是另一个内角0的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，

其中«称为“奇妙角”.如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°,那么这个“奇妙

三角形”的另两个内角的度数为3三，90°或40°,80°.

解：由题意得：

①当60°的角为“奇妙角”时，

有另一个角为30°,

第三个内角为180°-60°-30°=90°；

②当60°的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为Nl,Z2,且N1=2N2,

有/1+/2+60。=180°,

BP2Z2+Z2=120°,

解得：N2=40°,

故/1=80°.

综上所述：这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30°,90°或40°,80°.

故答案为：30°,90°或40°,80°.

3.新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.根据准外心的定

义，探究如下问题：如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=6,如果准外心P

在边上，那么PC的长为4或1.

B,

解：在RtZXABC中，

VC=90°,AB=10,AC=6f

BC=VAB2-AC2=V102-62=8'

若尸连接RI,

设尸C=尤，贝I]24=尸3=8-尤，

在Rt△以C中，

VB42=CP2+AC2,

/.(8-x)2=X2+62,

即产。=工，

44

若PB=PC,贝！JPC=4,

若以=PC,由图知，在Rt△朋C中，不可能,

故PC的长为：4或工.

4

故答案是：4或1.

4.定义：锐角三角形三条高的垂足形成的三角形称为垂足三角形.在锐角三角形A8C的每

条边上各取一点。，E,F,△。跖称为△ABC的内接三角形.垂足三角形的性质：在锐

角三角形ABC的所有内接三角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形.已知，在4

ABC中，点、D,E,尸分别为A3,BC,AC上的动点，AB=AC=5,BC=6,则△£>£1/

周长的最小值为盘.

—25―

解：'：AB=AC=5,BC=6,

：・BE=CE=3,

AA£=VAB2-BE2=4,

'JCDLAB,BF±AC

：.DE=EF=^BC=3,

2

'：SAABC=~AC'BF=—BC'AE,

22

.•.2尸=建，

5

ACF=VBC2-BF2=^'

工，

5

AADF^AABC,

.AF=DF

"ACBC"

二.。尸二丝，

25

.♦.△DEN的周长的最小值=3+3+丝■=&■

2525

故答案为：理

5.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①在△ABC中，AB

=AC,顶角A的正对记作附公，这时相以=粤•塔.容易知道一个角的大小与这个

腰AB

角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题:

(1)sad60°=1.

(2)sad90°=_V2_.

(3)如图②，已知sinA=旦，其中NA为锐角，试求saMl的值.

5

(2)W90°=&；

(3)设4B=5a,BC=3a,则AC=4a,

在AB上取AD=AC=4a,作£>E_LAC于点E,如图所示:

则£)E=AO・sinA=44・3=_l^_AE=AO・cosA=4〃•里

55a55a

CE=4a--^-=—,

aaCD=7CE2+DE2=J2+(a)2a,

5a5a春)卷

：.sadA=^-^~^.

6.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三

角形的三分线.

（1）如图①，AABC是顶角为36。的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判

断与△班C是否相似：是（填“是”或“否”）；

（2）如图②，△ABC中，AC=2,BC=3,NC=2/B,则△ABC的三分线的长为工

一5

5

A

解：(1)是，

故答案为：是；

(2)如图3所示，CD、4E就是所求的三分线.

B8-----------aA

图33

设NB=a,则/£)CB=/£)CA=NEAC=a,NADE=NAED=2a,

此时△AECs/^J5£>C,AACD^AABC,

设AE=A£>=x,BD=CD=y,

'：△AECs^BDC,

.,.x：y=2：3,

"CDs△ABC,

A2：x=(%+y)：2,

(v.v=2-3

所以联立得方程组I-y,,

2：x=(x+y)：2

x=4V10

解得，Q，

y^pflO

即三分线长分别是2折和3W3.

55

故答案为：2国和旦J而.

55

7.概念学习

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形

互为”等角三角形”.

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线

段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，

另一个与原来三角形是“等角三角形”,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.

理解概念：

(1)如图1,在中，ZACB=90°,CD±AB,请写出图中两对“等角三角形”.

概念应用：

(2)如图2,在△ABC中，CZ)为角平分线，ZA=40°,ZB=60°.求证：CD为丁

ABC的等角分割线.

动手操作：

(3)在△ABC中，若NA=50°,C£)是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的NACB

的度数.

解：(1)/XABC与△AC。，△ABC与△BCD,△AC。与△BCD是“等角三角形”；

(2)在△ABC中，ZA=40°,ZB=60°

AZACB=180°-ZA-ZB=80°

为角平分线，

ZACD=ZDCB=^ZACB=40°,

2

：.ZACD=ZA,ZDCB=ZA,

:.CD=DA,

在△■D2C中，NDCB=40°,ZB=60°,

：.ZBDC=180°-ZDCB-ZB=80°,

/BDC=ZACB,

,:CD=DA,ZBDC=ZACB,ZDCB=ZA,ZB=ZB,

CD为AABC的等角分割线；

(3)当△ACD是等腰三角形，如图2,D4=DC时，ZACD=ZA=50°,

AZACB=ZBDC=500+50°=100°,

当△ACD是等腰三角形，如图3,D4=AC时，ZACD=ZADC=65°,ZBCD=ZA=

50°,

AZACB=500+65°=115°,

当△ACO是等腰三角形，C