2025高考数学二轮复习-基本不等式最值与恒成立问题-专项训练【含解析】

2025高考数学二轮专题复习-基本不等式最值与恒成立问题-专项训练

目录

X解题知识必备♦♦

X压轴题型讲练2

...................................................................................................................2

类型一基本不等式“1”的妙用求最值...........................................................2

类型二基本不等式的恒成立问题................................................................3

类型三对勾函数求最值........................................................................4

类型四条件等式求最值........................................................................5

类型五基本不等式求积的最大值................................................................6

类型六基本不等式求和的最小值................................................................6

类型七二次与二次(或一次)的商式的最值......................................................7

类型八基本不等式最值问题的应用..............................................................8

♦♦压轴能力测评”

♦♦解题知识必备”

1.基本不等式：标W号

(1)基本不等式成立的条件：〃>0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当〃=斜时取等号.

2.几个重要的不等式

b_a'+Z?)

(1)a2+b2^2ab(a,<£R)；(2)〃+622(〃，(同号);2J2(^»Z?£R)；

a2+b2仅+6)

(4)^-J2(«,Z?eR).

3.算术平均数与几何平均数

a~\~b

设a>0,b>Q,则a,b的算术平均数为了，几何平均数为标，基本不等式可叙述为两个正数的

算术平均数大于或等于它的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>0,则

(1)如果积盯是定值p,那么当且仅当x=y时,%+y有最小值是八版(简记：积定和最小)

正、、

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当n=y时,孙有最大值是4.(简记：和定积最大)

一个技巧

运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如〃2+。222帅逆用就是abW…厂

a+b仅

丁iNy[ab(a,6>0)逆用就是仍W卜(°,b>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立

的条件等.

两个亦形

层+按伍+6)

(1)22V2伙。，b£R,当且仅当4=Z7时取等号)；

/tz2+/?2a+b2

⑵一'2^-2-1(〃>0,Z?>0,当且仅当〃=Z7时取等号).

'a+J

这两个不等式链用处很大，注意掌握它们.

三个注意

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利

用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中

“正”“定”“等”的条件.

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.

X压轴题型讲练2

类型一基本不等式“1”的妙用求最值

g❽®

“1”的代换

若题中不存在满足基本不等式的条件，则需要根据条件对式子进行恒等变形，灵活运用“1”的代换.在解题

过程中，常常将不等式乘“1”、除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替._____________

例1.(24-25高一上•湖北武汉•阶段练习)下列选项中正确的是()

4

A.若。〉0,则〃+—的最小值为4

a

B.若"<0,则?+2的最大值为—2

ba

C.若xcR,则J,2+2+j2+2的最小值为2

1i3112

D.^x>—,y>~,且-+-^=2°，则一+一的最大值为7

232x-l3y-1xy

【变式训练1］（24-25高三上•重庆渝中•阶段练习）已知a,6eR+,4a+b=l,则的最大值是

【变式训练2】（24-25高一上•河南•阶段练习）己知a＞0,b＞0.

7

（1）若/+匕=2,证明。?十"之；

4

⑵若〃+人=2,不等式士+124（加＞0）恒成立，求用的取值范围；

Q+2b

⑶若c＞0,求痴+2而-2a的最大值.

4。+b+2c

1?

【变式训练3】（24-25高一上•陕西西安•阶段练习）问题：正数4,b满足“+匕=1,求上+：的最小值.其

ab

中一种解法是：工+/=（1+^（。+刀=1+2+学+223+20,当且仅当2=羊，且0+8=1时，即4=及_1

ab\abJabab

且b=2-后时取等号.学习上述解法并解决下列问题：

⑴若正实数x,y满足孙=3x+y,求x+y的最小值；

22

⑵若正实数a,b,x,＞满足且°＞人，试比较后一廿和（x-＞）2的大小，并说明理由；

ab

⑶利用（2）的结论，求代数式M=疝E-V^工的最小值，并求出使得Af取得最小值时机的值.

类型二基本不等式的恒成立问题

U.

将恒成立问题分离参数转化为最值问题，分离后，利用基本不等式求最值.

10

例2.（24-25高一上•江西南昌•阶段练习）设正数。，6满足一+7=1,若不等式a+Z^-Y+4x+18-机对

ab

任意实数X恒成立，则实数m的取值范围是（）

A.m>3B.m<3

C.m<6D.m>6

【变式训练1】（24-25高一上•广东汕头•阶段练习）对任意的正实数x,y,4+舟V女向7恒成立，则上

的最小值为.

22

【变式训练2］（19-20高二上・江西新余•期末）设正实数x,y满足无>；2,>>2,不等式—9x+一v^0〃恒

3y-23x-2

成立，则m的最大值为.

【变式训练3］（21-22高一上•河南•阶段练习）（1）若x>l,求5x+J二的最小值；

5x-5

（2）若龙〉La〉］#-+28〃+4〉—一5%--J一恒成立，求朋的取值范围.

44〃-55x-5

类型三对勾函数求最值

g

当%>0时，ax+—>2jax-=14ab（当且仅当。％=—，即%=］介时取等号）.

x\x%Va

当％<。时，axH—=—［（—67%）+（—）］V—2J（-ax）（—）=-2^/ctb（当且仅当一ax——,即1=——时

xXVxx\a

取等号）.

例3.（24-25高一上•黑龙江大庆•阶段练习）下列说法正确的有（）

A.函数y=J.+2+的最小值为2

4

B.已知％>1,则y=2x+——；一1的最小值为4拒+1

x-1

C.若正数满足%+2y=3孙，则2%+y的最小值为3

13Q

D.设x>0,y>0,尤+2>=2,贝—+—^的最小值为搭

2x+yx+3y5

【变式训练1］（23-24高一上•江苏无锡•阶段练习）下列结论中，正确的结论有（）

A.函数y=x+L的最小值是2

X

B.如果x>0,y>0,尤+3y+孙=9,那么W的最大值为3

2

C.函数/（元）=:〒Y+25的最小值为5:

&+42

D.如果a〉0,b>0且----1---=1那么a+〃的最小值为2

a+11+bf

【变式训练2】（23-24高•上・浙江・期中）已知正实数。、力满足〃+必皿+〃，则下列结论中正确的是

（）

A.若机=1,〃=0,贝!Ja/?216B.若m=1,n=0,贝!］々+〃之16

C.若机=0,几=1,则）+“+3216D.若机=—1,〃=1,贝!J〃+b<16

ab

【变式训练3】（24-25高一上・江苏常州•阶段练习）已知a>0,则0>2"是"元>果£”的__________条

Va+2

件.（请在“充分且不必要"、"必要且不充分"、"充要"、"既不充分又不必要”中选择一个填写）

类型四条件等式求最值

osad

要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.

33

例4.（23-24高一下•湖北•期中）已知。>0,b>0,_&tz+b+2ab=4f则a+b的取值范围是（）

A.g,2B.（孤目C.［班,2］D.（g,2

【变式训练1］（23-24高一上•河北邯郸•期中）若a>b,且。匕=2,则名二正如义的最小值为（）

a-b

A.2A/5-2B.2A/6-4C.2君-4D.2瓜-2

21

【变式训练2】（2024高二下•浙江绍兴•学业考试）已知正数a,b,c满足c<l,a+b=4,则益+反（〜）

的最小值为.

【变式训练3］（23-24高一上•浙江杭州•期中）已知实数X、，满足x（x+y）=2+2/,则7/-丁的最小值

为.

类型五基本不等式求积的最大值

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构

成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

例5.（24-25高一上•山西大同•阶段练习）已知机>0,〃>0,且加+〃2=1+加〃，则下列不等式恒成立的

是（）

]1?/3

A.m2+H2>2B.-H—>2C.m<----D.m3+n3<2

mn3

【变式训练1】（2024•重庆渝中•模拟预测）已知实数羽>满足炉+4/一2孙=1,则（）

A.x+2y<1B.x+2y>-2

C.x2+4/<2D.x2+4y2>1

【变式训练2】（23-24高一上•安徽安庆•阶段练习）已知，>0/>0,成+2（々+»=14,则下列正确的是（）

a3

A.而的最大值为11-6忘B.^^+无花的最小值为近

C.（a+l）b最大值为8D.2a+b的最大值为6

【变式训练3]（24-25高一上•陕西宝鸡•阶段练习）已知正实数。,瓦。,。+6=3,则疝的最大值为

华nr+与3c+一3—的最小值为

babc+1

类型六基本不等式求和的最小值

V.

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构

成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

ha

例6.（24-25高三上•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习）已知a>0,b>0,c>0,且a+3》—cN0,则一+1一的

a6b+c

最小值为（）

【变式训练1】（2024•山东淄博•二模）记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数.己知羽、均为正实数，则

maxR；x2+4y2,的最小值为（）

1

A.-B.1C.2D.4

2

【变式训练2】（24-25高一上•江苏盐城•阶段练习）若4、Z、L、Z。25均为正实数，则

%+三+旦+—++-+4的最小值为

X]石工2%次2%3,%2024X%2…%2025

【变式训练3]（23-24高一上•山东•期中）已知6克糖水中含有。克糖（b>a>。）,再添加加克糖（机>。）

（假设全部溶解），糖水变甜了.

（1）请将这一事实表示为一个不等式，并加以证明；

⑵已知=,小明同学判断添加加克糖前后的两杯糖水中的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于:，

判断是否正确，并说明理由.（含糖浓度）

类型七二次与二次（或一次）的商式的最值

1.配凑法是指根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出

定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.

2.裂项法是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离，分离为整式与“真分式”的和，再根据

分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值.

3.分离常数法对于分子和分母都是二次式的分式，可将分子按照分母的形式进行配凑，通过分拆转化为一

个常数和一个分式，再将分式的分子化为常数，然后利用基本不等式求最值.

例7.（20-21高二上•江苏淮安•期中）下列结论中，正确的结论有.

A.如果0<x<l,那么x（4-3x）取得最大值时x的值为：

B.如果x>0,y>0,x+3y+xy=9,那么x+3y的最小值为6

C.函数〃元）=j,4的最小值为2

D.如果a>0,b>0,J!L,1,+—!—=1,那么a+2Z>的最小值为2

2a+bb+l

3k3+3k

【变式训练l】（23-24高一上•上海浦东新•期中）已知实数左>0,则（3丁+]“[4.2+3）的最大值为

【变式训练2]（21-22高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）若x,yeR+,（x-y）2=（xy）3,则工+工的最小值

xy

为.

【变式训练3】（2023•安徽•模拟预测）已知正实数加，〃满足2毋+2"+6加〃=27,则的取值范围

为.

类型八基本不等式最值问题的应用

在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：

（1）先理解题意，设变量时一般把要求最值的量定为变量；（2）建立相应的代数关系式，把实际问题抽象为代

数式的最值问题；（3）确定变量的范围，利用基本不等式求出代数式的最值；（4）写出正确答案，回答实际问

题.

例8.（24-25高一上•安徽蚌埠•阶段练习）《九章算术》中有"勾股容方"问题："今有勾五步，股十二步.问：

勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:

如图1,用对角线将长和宽分别为。和。的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方

形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长

为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3,设。为斜边BC

的中点，作直角三角形A5c的内接正方形对角线AE，过点A作AF13C于点F,则下列推理正确的是（）

图I图2图3

A.由图1和图2面积相等得B.由AENAF可得」吐贵2,归亘

a+bV4V2

厅+廿、2

C.由ADNAE可得丫~D.由ADNAF可得/+/上口+万

ab

【变式训练1】（23-24高一上•江苏连云港•阶段练习）如图所示，四边形A8OC为梯形，其中AB=a,CE>=b,

。为对角线的交点.有4条线段（GH、KL、EF、MN）夹在两底之间.GH表示平行于两底且于他们等距离的

线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形4BLK与梯形KLOC相似的线段，EF表示平行与两

底且过点。的线段，MN表示平行于两底且将梯形A8ZJC分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确

的有（）

B.3a,b&^,a^b,使得KL>GH

C.MN=

D.\/a,beR,a^b,EF<GH.

【变式训练2］（23-24高一上•湖北黄冈•期中）小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进

行探究.已知一矩形纸片488（其中AB>A0的周长为200cm.他把ABC沿AC向ADC折叠，AB折过

去后交。C于点P.他在思索一个问题：如果改变A8的长度（周长保持不变），-ADP的面积是否存在最大值?

请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试

说明理由？

【变式训练3】（22-23高一上•福建漳州•期中）已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆

形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为CO=x,A£>=y

（单位：cm）,部件的面积是屈cn?.

⑴求，关于x的函数解析式，并求出定义域；

（2）为节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？

X压轴能力测评♦♦

1.（24-25高一上•湖南•阶段练习）已知a>0,b〉0,且。+26=2,则下列说法正确的是（）

A.ab>—B.L"

2a2b

2

c./+〃的最小值为:D.+<2bW2

2

尤24v

2.（23-24高一上•甘肃兰州・期末）对任意实数尤不等式而刁+/N1恒成立,则实数

。的最大值（）

A.2B.4C.-D.2a

2

3.（24-25高一上•浙江嘉兴•阶段练习）下列说法正确的有（）

A.>=凶的最小值为2

X

4

B.已知x>l,贝i]y=2x+——7T的最小值为4忘+1

x—1

C.函数y=I的最小值为2

VX2+4

D.若正数%。满足％+2y=3盯，则2x+y的最小值为3

4.（2011高一•全国•竞赛）定义:（i）minx表示力的最小值；（ii）[%]表示不超过x的最大整数.设b,

。为正数,)

A.0D.4

5.（23-24高一上•安徽•阶段练习）已知〃>0,b>0,且3。+。=2,则（)

A.的最大值为!

B.丁+7的最大值是2

3ab

1Q

C.的最小值是18D.+〃+6的最小值是2后—2

ab

6.（23-24高一下•安徽安庆•开学考试）已知实数。，b,。满足/+/72+。2=1,则必+税+2版的最大值为

7.（24-25高一上•广西南宁•阶段练习）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题:

12

已知。>0,/?>0,且4+〃=1,求)=—+7的最小值.

ab

李雷和韩梅梅两位同学都〃巧妙地用了々+匕=1〃，但结果并不相同.

1212121I~T

李雷的解法：由于。+匕=1,所以y=—+7+1—1=—+—+〃+/?—l=ad\-b+--l,而〃+—221a•—=2,

abababaya

5+222%2=2四.那么”2+2五-1=1+20，则最小值为1+2&.

b\b

韩梅梅的解法：由于〃+人=1,所以y=工+|*=（工+3］（〃+人）=3+2+争，而

ab\ab）ab

3+?+网之3+2三互=3+2®,则最小值为3+2及.

ab\ab

⑴你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由）

（2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决:

⑴设。，b,c都是正数，求证：-+^+—>a+^+c；

abc

48

(ii)已知a>0,b>0,且。6+2a+6=4,求M=2a+/?H-----1-----的最小值.

a+1b+2

8.（20-21高一上•江苏苏州•阶段练习）两县城A和8相距20km,现计划在县城外以AB为直径的半圆弧A8

（不含A8两点）上选择一点C建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理

厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城

B的距离的平方成反比，比例系数为K,对城市A和城市3的总影响度为城市A和城市2的影响度之和，记

C点到城市A的距离为心建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为V,统计调查表明：当垃圾处

理厂建在A8的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将，表示成x的函数；

（2）判断弧A8上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市A和城8的总信影响度最小？若存在,

求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.

2025高考数学二轮专题复习-基本不等式最值与恒成立问题-专项训练(解析版)

目录

”解题知识必备”

♦♦压轴题型讲练2

...................................................................................................................2

类型一基本不等式“1”的妙用求最值...........................................................2

类型二基本不等式的恒成立问题................................................................3

类型三对勾函数求最值........................................................................4

类型四条件等式求最值........................................................................5

类型五基本不等式求积的最大值................................................................6

类型六基本不等式求和的最小值................................................................6

类型七二次与二次(或一次)的商式的最值......................................................7

类型八基本不等式最值问题的应用..............................................................8

”压轴能力测评”

♦♦解题知识必备”

1.基本不等式：屈W号

(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.

2.几个重要的不等式

ba

(l)a2+/>2^2iz/?(a,6GR)；(2)a+b22(a,6同号)；(3)a6W(2)2(o,bGR)；

a2+b2(a+6)

(4)^~bGR).

3.算术平均数与几何平均数

a+6_

设a>0,>>0,则a,b的算术平均数为H，几何平均数为由，基本不等式可叙述为两个正数的

算术平均数大于或等于它的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>Q,则

(1)如果积犯是定值P，那么当且仅当x=y时,尤+y有最小值是2⑷.(简记：积定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是4.(简记：和定积最大)

一个技巧

a~+b~

运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如层+评22a6逆用就是abW2-…

a-\-b仅+

丁"N4ab(a,6>0)逆用就是abW1丁72(。，b>o)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立

的条件等.

两个与形

〃2+62伍+人)

(1)22\-2~「2ab(a,Z?£R,当且仅当〃=b时取等号)；

/。2士b?a+b2

(2)7-2-2-2血^三］［(。>0,6>0,当且仅当<3=6时取等号).

这两个不等式链用处很大，注意掌握它们.

三个注意

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利

用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中

“正”“定”“等”的条件.

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.

♦♦压轴题型讲练”

类型一基本不等式“1”的妙用求最值

“1”的代换

若题中不存在满足基本不等式的条件，则需要根据条件对式子进行恒等变形，灵活运用“1”的代换.在解题

过程中，常常将不等式乘“1”、除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替.

例L(24-25高一上•湖北武汉•阶段练习)下列选项中正确的是()

4

A.若。>0,则4H—的最小值为4

a

B.若"<0,则［+2的最大值为一2

ba

C.若xcR,则，<+2+J2+2的最小值为2

113112

D.若且丁1+丁］=20,则一+一的最大值为7

232x-l3y-lxy

【答案】ABD

【分析】A选项，直接使用基本不等式即可；B选项，变形后使用基本不等式；C选项，使用基本不等式，

但不满足等号成立的条件，C错误；D选项，设=不'=/>°，则L=；皂，,=工，s+£=20,

2x-l3y-lx3+syt+1

从而得到-+-=8-6f-^-+^-l利用基本不等式"1"的妙用求出?一+—二的最小值，从而得到'+2的

Xy13+st+lj3+st+1Xy

最大值.

4

【详解】A选项，若。>0,则。>0,—>0,

a

由基本不等式得a+i>214=4,

a\a

4

当且仅当〃=—,即〃=2时，等号成立，故A正确；

a

ah

B选项，若ab<0,则7<0,—<0,

ba

故，+”-

ba

nh

当且仅当-：=-9,即a=-6时，等号成立，B正确;

ba

C选项，由基本不等式得+2+=—=22=2.

+2lhi

当且仅当=时，等号成立，

，尤2+2

但犷石=7^无解，故最小值取不到，C错误；

yjx+2

D选项，设-=5>0,--=>0,则-=~~7，s+，=20,

2x-l3）7-1x3+syZ+l

则雪2=二+里=2（3+s）-6.6（,+1）-

xy3+st+13+st+1（3+st+1）

bi、i3+st+11

因为s+%=20,所以=

2424

…II_（IIY3+5i+l）_1r+l3+s

八中直7十万厂房7+^^+五）一田24（3+5）+24（+1）

、1cI1+13+51

>——+2-------------------------=-

12、24（3+s）24«+1）6

r+13+s

当且仅当24（3+S）即s=9j=ll时，等号成立,

24(z+l)

^1-=8-6|^―+—|<8-6xl=7,

+D正确.

xy13+st+lj6

故选：ABD

【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比

如凑项法，"1"的妙用，消元法，多次使用基本不等式等

【变式训练1】（24-25高三上•重庆渝中•阶段练习）已知a,6eR+,4a+b=l,则々的最大值是______.

a+b

【答案】I

II/1

【分析】先求出上+;的最小值，再将4化为口，即可求得答案.

aba+b一十7

ab

【详解】因为〃,b£R+,4a+〃=l,

,,11（11.z\,b4。、厂,[b4a八

故—I—=—I—\（4a+b）=5H----1--->5+2J—•——=9,

ab^<2b7ab\ab

h

当且仅当^=:，结合4a+b=l,即。11时等号成立，

ab63

ab=1

所以二工一口一6,即卫的最大值是:，

—+ya+b9

ab

故答案为：—

【变式训练2]（24-25高一上•河南•阶段练习）已知a>0,b>0.

7

（l）^1a2+b—2f证明。

4

（2）若。+6=2,不等式」不+?24（加>0）恒成立，求加的取值范围;

⑶若c>0,求，石+2痴-2”的最大值.

4a+b+2c

【答案】（1）证明见解析

(2)[4,+oo)

【分析】（1）减少变量化为4+k/片—斗+二丁即可证明;

I2）44

(2)构造得9(a+2)+句=1,再利用乘"1"法即可得到答案;

(3)利用族Va+2,2疝W2〃+£即可得到答案.

42

【详解】(1)由/+/=2得，b=2-aL,

所以1+62=6+(2一/)2=/一31+4=[2一£|+Z>Z,

31

当且仅当/=:/=:时，取得等号.

22

(2)由Q+〃=2得，(。+2)+/?=4,

即，[(〃+2)+切=1,

4

4m14m1.m(a+2)4b

所以石+厂产+2)+力4+m+-----+----

〃+2b4ba+2

4+T+2J"(??)=l+^-m+Vm,当且仅当V^(Q+2)=2A时等号成立,

由题意可知，1+，根

4

整理得加+4，菊-12>0,

解得22或W-6(舍去)，所以加24,

故实数根的取值范围为[4,+GO).

(3)因为々>0,〃>。,c>0,以VabW—|2aH—]=。H—,

2(2)4

2y[ac<2a+~,

2

故«K+2G2a<"3+即j-2。=a+"」，

4q+b+2c4a+b+2c4a+b+2c4

当且仅当4a=6=c时，取得等号，故疝+2疝-2a的最大值为9.

4〃+Z?+2c4

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用乘"1"法得至也+!能+标24,最后解出即可.

4

19

【变式训练3】(24-25高一上•陕西西安•阶段练习)问题：正数〃，匕满足a+b=l,求一+7的最小值.其

ab

中一种解法是：工+£=(1+1](4+6)=1+2+与+223+20,当且仅当2=孕，且〃+人=]时，即〃=&_1

ab\abJabab

且b=2-后时取等号.学习上述解法并解决下列问题:

⑴若正实数x,y满足冷=3x+y,求1+y的最小值；

22

(2)若正实数a,b,x,y满足且a>b,试比较片一/和。一»的大小，并说明理由；

ab

⑶利用(2)的结论，求代数式/=后口-而受的最小值，并求出使得M取得最小值时机的值.

【答案】⑴4+26

⑵/一^<(x-y)2,理由见解析.

13

【分析】(1)把冲=3x+y转化为一+―=1,利用题设给出的方法求和的最小值.

xy

(2)借助"1"的代换，禾U用-b2

和(x-y)2的大小.

(3)取x=J3加-5,y=y/m-2,构造--3/=1,利用(2)的结论，可求M的最小值，再分析"="成

立的条件，可得加的值.

13

【详解】(1)由q=3x+y(x>0,y>0)可得：一+—=1(x>0,y>0),

xy

口二期

/\T13、.y