2025届衡水高三年级上册期中综合素质评价数学试卷（含答案）

2025届衡水中学高三上学期期中综合素质评价数学试卷

+答案

2024-2025学年度高三年级上学期期中综合素质评价

数学学科

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

L若复数z满足士=1-3）则忖二（）

A.75B.V10C.5D.10

2.设全集U={—2,—1,0,1,2,3},集合A={-1,2},5={尤|3无=o},则导入集§）=（）

A.{1,3}B.{0,1,3}C.{-2,1}D.{-2,0,1}

3.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和

7T

2,侧棱与底面所成的角为一，则该四棱台的体积是（）

4

A.ZB.迪C.递D,迪

6632

4.已知等差数列{〃〃}的前〃项和为，若。2+。10=24,且。3=6,则S&=（）

A.60B.72C.120D.144

5.已知两条不同的直线/,m,两个不同的平面a,B，则下列条件能推出。///的是（）

A.lua,mua,且/〃夕，ml10

B./u。，mu0,且/〃加

C./J_。，m工0,QI"m

D.Illa,rn/Ip,且〃/用

6.函数〃x）=F4，“<\若/（/+]）<〃—]。。卜/⑸，则实数”的取值范围是（）

[lux,x>l

A.{-1}B.（-oo,-l]

C.[-l,+oo）D.-1,--

7.在同一平面直角坐标系内，函数y=/（x）及其导函数y=r（乃的图象如图所示，已知两图象有且仅有

第1页/共5页

一个公共点，其坐标为(0,1),则()

A.函数y=/(%)+x的最大值为1B.函数y=/—的最小值为1

/(x)

C.函数y=/(xAe”的最大值为1D.函数丁=」学的最小值为1

e

8.如图，在棱长为5的正方体A5CD—A?C7y中，M是侧面AOOA上的一个动点，点P为线段CC

上，且|尸。［=2,则以下命题正确的是()(动点的轨迹：指动点运动所形成的图形)

A.沿正方体的表面从点A到点尸的最短距离是后

B.保持尸〃与3D'垂直时，点M的轨迹长度为3夜

C.若保持|PM|=回，则M的轨迹长度为g兀

D.平面AD'P被正方体ABCD-AB'C'D'截得截面为直角梯形

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.以下是真命题的是()

A.已知5为非零向量，若卜+©〉,一耳，则a与5的夹角为锐角

B.已知彳，b,e为两两非共线向量，若2，则£，仅一。

C.在三角形ABC中，若a-cosA=6-cos5,则三角形ABC是等腰三角形

D.若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心

10.已知定义在R上的函数/(x),g(x),其导函数分别为了'(x),g'⑺，"1一九)=6—g'(l-九)，

f(l-x)-g'(l+x)=6,且g(x+2)为奇函数，则()

第项/共5页

A.g(x)的图象关于x=l对称

B.g，(x+6)=g，(x)

c.r⑹=*2)

D./(2021)+/(2023)=12

11.已知△ABC中，ABIBC,AB=BC=2,E,尸分别在线段54,CA上，且丽=/丽，

CF=ACAUe(0,1)).现将△AER沿跖折起，使二面角A—EE—C的大小为a(ae(0,〃)).以下命

题正确的是()

A.若X=a=~,则点R到平面ABC的距离为包

232

B.存在X使得四棱锥A-8CEE有外接球

C.若无=,，则棱锥歹-A期体积的最大值为3

381

D.若a=工，三棱锥A-5ER的外接球的半径取得最小值时，2=-

23

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，在正三棱柱ABC—44G中，AB=1,M=2,。为的中点，则异面直线与G。所

13.如图，圆。与x轴的正半轴的交点为A,点C,8在圆。上，且点C位于第一象限，点B的坐标为

第3页/共5页

ZAOC=a.若忸=1,则6cos?&-sin4cos4..-的值为.

22

14.曲线y=|lnx|在A(Xi，yJ,5(%2，丁2)两点处的切线分别为4，%，M14＞贝11菁%2=；若4,

12交点的横坐标为％3，则占%3+%2%3=-

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.

15.已知△A3C的面积为20省，。为边3c的中点，0A=5,OAOB=20-

(1)求5c的长；

(2)求角C的正弦值.

16.如图，三棱台ABC—4与G中，ZSABC是正三角形，AA，平面ABC,AB=2^A=2A.Q=4,

M,N分别为棱AB,g3的中点.

R

(1)证明：■平面MCN；

(2)求直线G。与平面MCN所成的角的正弦值.

17.已知数歹!j｛。“｝和也｝满足，q=2,4=1,an+1=2an(neN*)

4+；4+；4+—+工优=%|-1(〃6河)

23n'，

(D求a,与b,；

第4页/共5页

1

——，〃为奇数

bb

(2)记数列｛cj的前〃项和为7；,且C"=<",若对〃eN*，女恒成立，求上的取

为偶数

an

值范围.

18.如图，四棱锥尸—A3CD的底面A3CD为正方形，E,尸分别为PA,PC的中点，且平面平

⑵若PB=4^PD，当四棱锥尸-ABC。的体积最大时，求平面P43与平面5ER的夹角的余弦值.

19.设y=〃x)是定义域为D且图象连续不断的函数，若存在区间和「€(。力)，使得

y=/(%)在［a,5)上单调递增，在(%0，以上单调递减，则称y=/(x)为“山峰函数”，不为“峰点”，

［a,b］称为y=f(%)的一个“峰值区间”.

(1)判断g(x)=x?+cosx是否是山峰函数？若是,请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由；

(2)已知相>1,//(x)=(m+2)x—x2—*是山峰函数，且［0』是它的一个峰值区间，求机的取值范

围；

(3)设函数/(x)=［/一2〃/+(4〃—4)x］lnx—，3+_(4〃_4)x.设函数y=/(x)是山

峰函数，卜川是它的一个峰值区间，并记7-S的最大值为小).若/［卜0,且/［扑］⑴，

求d(")的最小值.(参考数据：ln^^0.4)

第5页/共5页

2024-2025学年度高三年级上学期期中综合素质评价

数学学科

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若复数z满足iz=l—3i,则忖=()

A.-75B.A/10C.5D.10

【答案】B

【详解】因为iz=l—3i,所以z=匕①=—3—i,

i

所以忖=J(—3『+(—l『=A/10-

故选：B

2.设全集U={—2,—l,0,l,2,3},集合A={-1,2},B={W3彳=0},贝氏(4^8)=()

A.{1,3}B.{0,1,3}C.{-2,1}D.{-2,0,1}

【答案】C

【详解】解：•.•3={x|x2-3x=0}={0,3},AAuB={-1,0,2,3},

又。={-2,-1,0,l,2,3},

.工(4U5)={-2,1}.

故选:C.

3.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和

7T

2,侧棱与底面所成的角为二，则该四棱台的体积是()

4

A.ZB.谨C.速D.迪

6632

【答案】B

【详解】如下图所示：分别为上下底面的中心，作GELAC于点石，

第1页/共22页

TV

根据题意可知4片=1,A3=2,侧棱与底面所成的角即为NGCE，可知NGCE=1；

因此可得GE=CE，

易知AC=2J5，AG=后，由正四棱台性质可得CE=；（AC—AG）=1；

所以该正四棱台的高为GE=CE=/,

22

因此该四棱台的体积是V=-fl2+22+V1X2）X1=XI.

3\/26

故选：B

4.已知等差数列｛。“｝的前〃项和为S“，若4+010=24,且。3=6,则§8=（）

A.60B.72C.120D.144

【答案】B

【详解】在等差数列｛。“｝中，2a6=a/aw=24,解得a6=12,

所以S.=8（。；%）=4（%+4）=4/（6+12）=72.

故选：B

5.已知两条不同的直线/,m,两个不同的平面a,p,则下列条件能推出夕的是（）

A.lua,maa,且/〃尸，ml//3

B./ua,mu/3,且/〃加

C.IS_a,mL/3,且/〃加

D.Illa,mlI/3,且/〃加

【答案】C

【详解】对于A,若/ua,mua,且/〃m///3,此时a,4可能相交，如下图所示:

第2页/共22页

a

当ans=〃，/,机都与“平行时，①，相交，A错误；

对于B,若Iua,mu0,且/〃加，此时a,£可能相交，如下图所示:

当［□£=〃，/,机都与“平行时，%，相交，B错误；

对于C,由/J_a,Ulm,得nzJ.a,而所以a//6，C正确;

若///a,ml113,且/〃加，此时久，可能相交，如下图所示：

当aPl£=〃，根ua,Iu/3,/,7"都与“平行时，如，相交，D错误.

故选：C.

6.函数〃x)=F—4，x<\若/(a2+i)v〃_l0a)_〃5),则实数a的取值范围是()

Inx,x>1

A.{-1}B.(-oo,-l]

【答案】A

【详解】当x<l时，/(x)=eA'+x-4,因为y=e*,y=x—4在(一e,l)上单调递增，此时/(x)单调递

增，

1

当x21时，易知/(x)=lnx单调递增，且当x=l时，e+l-4=e-3<0=lnb

第3页/共22页

则y(x)在R上单调递增,

因为/+121，则/(a2+l)+/(5)=ln(a2+i)+in5=ln5(a2+l)=/[5(a2+l)],

所以由—“5)得/[5(/+i)卜/go。)，

所以5(/+1)<一io*解得。=一1.

故选：A.

7.在同一平面直角坐标系内，函数，=/(%)及其导函数y=尸(乃的图象如图所示，已知两图象有且仅有

一个公共点，其坐标为(0,1),则()

e

A.函数y=/(%)+x的最大值为1B.函数y一的最小值为1

/(%)

D.函数y=粤的最小值为1

C.函数y=的最大值为1

e

【答案】B

【详解】由图可知，两个函数图象都在x轴上方，所以尸(x)>0,/(X)单调递增,

所以实线为7(x)的图象，虚线为尸0)的图象，/(0)=/,(0)=1,

对A,y=r(x)+l>0,y=/(x)+x单调递增，无最大值，A错误;

(切叫/(0)-r(0)]

对B,了==0,

[/W]2y'L=o[/(0)]2

由图可知，当x<0时，/(x)-/,(x)<0,当x〉o时，/(x)-/,(x)>0,

所以y=在(-8，0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

于(X)

e0

所以当X=0时，函数取得最小值丁皿=干@=1，B正确;

对c,y=[f,(x)+/(x)]eA,由图可知〃x)+r(x)>0,

所以y=/(%)•e”在R上单调递增，无最大值，C错误;

第4页/共22页

对D,y/'(x)7(x),

er

由图可知，当了<o时，y(x)-/,(x)>o,当x〉o时，y(x)-/,(x)<o,

所以函数y=等在(-”,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

当x=0时，函数取得最大值ymax=半=1,D错误.

e

故选：B

8.如图，在棱长为5的正方体ABC。—A'B'C'。'中，M是侧面ADD'A上的一个动点，点P为线段CC'

上，且|尸。'|=2,则以下命题正确的是()(动点的轨迹：指动点运动所形成的图形)

A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离是后

B.保持尸河与30垂直时，点M的轨迹长度为3夜

C.若保持|PM|=亚，则M的轨迹长度为，兀

D.平面AD'P被正方体ABCD-AB'C'。'截得截面为直角梯形

【答案】B

【详解】对于A,将正方体的下底面和侧面展开可得如图图形，

连接AP,则技尸=J25+64=屈，故A错误;

对于B,如图：

第5页/共22页

。。，平面435,AC^ABCD,所以OD'LAC,又AC工BD,

DDGBD=D,DD',BDu平面BDD',所以AC平面3。。，

又BD'u平面3。。'，所以AC，3。'，

同理可得BD'LAB',ACcAB'=A,AC,AB'u平面ACE,所以平面AC5'.

所以过点P作PG//CD交CD于G,过G作GF//AC交AD于R,

由A3'〃r>C',可得尸GZ7AB',PG<Z平面ACB,AB'u平面AC5',

所以PG//平面AC3',同理可得GE//平面AC8,

又GbnPG=G,G£PGu平面GEP,则平面GBP//平面ACE.

设平面PEF交平面ADD'A'于EF,则M的运动轨迹为线段EF,

由点尸在棱CC'上，且因［=2,可得|DG|=|D尸|=|4E|=2,

ApAA'

连接AD,贝!1丝=",所以所口4。，又B'CDA'D,所以B'C口EF,

AFAD

所以|E6=||AD|=|x5行=3后，故B正确；

对于C,如图：

若|PM|=J记，则M在以尸为球心，而为半径的球面上,

过点尸作尸。，平面ADD'A,则|。'。|=2,

第6页/共22页

此时IQM1=PM|--1PQI2=J26-25=1.

所以点M在以。为圆心，1为半径的圆弧上，此时圆心角为兀.

点”的运动轨迹长度71X1=71,故C错误；

对于D,如图：

延长DC,D'P交于点H,连接交于/,连接3,

所以平面AD'P被正方体ABCD-AB'C'D'截得的截面为AIPD'.

||_|PC|_|HC|_3

LPCH-OD'DH,所以

|D'H\~\D'D\~\DH\^5

\CI\_\HC\_\IH\_3

ni/CH-DADH,所以

\DA\~\DH\~\AH5

mzIPHI\IH\\PI\3

所以/7Z7A。'且|P/罔AD'\,

|D'H||AH|\AD'\5

所以截面AIPD'为梯形，|AI|=|PD'|=J25+4=729,

所以截面A/P。'为等腰梯形，故D不正确.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.以下是真命题的是（）

A.已知力,在为非零向量，若归+@〉口—q,则力与在的夹角为锐角

B.已知％,b,e为两两非共线向量，若则£，仅一。

C.在三角形ABC中，若a-cosA=6-cos5,则三角形ABC是等腰三角形

D.若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心

【答案】BD

第7页/共22页

【详解】A：因为卜+,〉归一.，两边同时平方，得«+可2,即

a"+b2+2a-b>a2+b2-2a-b>所以〉B〉0,因此cos,,B)〉0,因为伍可武。,司，所以

(a,b)e0,'],因此a与石的夹角为锐角或零角，故A错误；

B：因为工石=73，所以。•仅一。)=0,又因为a,6，c为两两非共线向量，则所

以a_Le-c)，故B正确；

C：因为i,cosA=/?,cos5,结合余弦定理得sinA•cosA=sin5•cos8,所以sin2A=sin2B,所以

71

2A=23或2A+25="，即A=6或A+3=一,所以角形ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错

2

误；

D：

设三棱锥P-A3C的顶点尸在底面ABC的射影为。，所以P。，底面ABC,又因为A。u底面

ABC,3。u底面ABC,COu底面ABC,所以P。，AO,P。，30,P。，CO,又因为三棱锥的

三条侧棱与底面所成的角相等，所以NPAO=NPBO=NPC。，所以口瓶。出尸3。丸PC。，所以

AO=BO=CO,所以点。是△ABC的外心，故D正确；

故选：BD.

10.已知定义在R上的函数/(x),g(x),其导函数分别为了'(x),g'(x),f(l-x)=6-g'(l-x),

/(l-x)-g,(l+x)=6,且g(x+2)为奇函数，则()

A.8(%)的图象关于％=1对称

B.g,(x+6)=g,(x)

C.〃6)=(⑵

第8页/共22页

D./(2021)+/(2023)=12

【答案】ACD

【详解】由题意可得4,、，两式相减可得g'(l+x)=—g'(l—X)①，

"(I)=6+gZ(1+x)

所以g(l+x)=g(l-尤)+C,令尤=0,可得C=0,

所以g(l+x)=g(l—x),

所以g(x)的图象关于x=l对称，故A正确；

因为仅久+2)为奇函数，所以g(x)关于(2,0)中心对称，

所以g(尤)+g(4—尤)=0②,②式两边对龙求导可得g'(x)=g'(4-尤),

结合g'(l+x)=—g'(l—X),可得：g'(x)=-g'(2-x)

所以g'(4—x)=—g'(2—X),令4—x=/,可得：g\t)=-g\t-2),

所以g«)=g"—4)即g«)=g«+4),故B错，

因为/(x)=6-g'(x),可知/(x)也是周期为4的周期函数，

即/(x+4)=/(x),两边求导可得尸(x+4)=/'(x),所以八6)=尸(2),故C正确；

/(x)是周期为4的周期函数，所以/(2021)+/(2023)=/(1)+/(3),

因为g'(l+x)=—g'(l—x),令x=0,贝ijg")=—g'⑴，即g")=0,

又g")=—g'«—2),所以=⑴=0,又因为g(x)是周期为4的周期函数，

[y(l)=6-g,(l)=6

则gQ)=g'(—D=0,由/(x)=6—g'(x)可得[二〉

"(3)=6-g(3)=6

所以/⑴+/(3)=12,所以“2021)+“2023)=12,D正确.

故选：ACD

11.已知△ABC中，ABIBC,AB=BC=2,E,尸分别在线段54,CA上，且丽=彳丽，

CF=ACAUe(0,1)).现将△AER沿斯折起，使二面角A—EE—C的大小为a(ee(0,〃)).以下命

题正确的是()

第9页/共22页

A.若2a=~,则点R到平面ABC的距离为止

232

B.存在X使得四棱锥A-2CFE有外接球

C.若沈=工，则棱锥歹-AEB体积的最大值为3

381

712

D.若a=一,三棱锥A-3ER的外接球的半径取得最小值时，2=-

23

【答案】ACD

【详解】BE=ABA>CF=2G4(2e(0,l)),易知石/口3。，ER(Z平面ABC,BCu平面ABC,

易知EE〃面ABC

故点F到平面ABC的距离为即为点E到平面ABC的距离，

因为A5LBC,所以ABLER,所以EFLBE,EFLAE,

所以ZBEA为二面角A—EE—C的平面角，

又AE,BE为平面ABE内两条相交直线，

所以ERL平面ABE,

所以3。_1_平面48后，又5c在平面ABC内，

所以平面ABC±平面ABE,

所以E到平面ABC的距离即为E到AB,

I7T71

A选项：X=—,a=—,即3£=4£=1,48胡=—,三角形ABE等边三角形，

233

/?

可得：E到AB的距禺为lxsin60°=—，故A正确；

2

B选项：由于直角梯形不可能共圆，所以四棱锥A-BCBE无外接球，所以B错误；

C选项：由题意可知BE=2；l,AE=2-2A,EF=2-2A,smZAEB=a

VAFR=­S“ABFxEF=—AExBExsinZAEBxEF,

F36

第10页/共22页

=122（2-22）（2-22）sinZAEB,

4A+2—2A+2—2464

由基本不等式可知：42(2-22)(2-22)<

327

当且仅当42=2-22=2-22,即％=工时取得最大值，

3

所以VF-AEB=-x22（2-22）（2-22）sinZAEB<—sinNAEB,

681

所以当4=—,sin/AEB=a=—时，体积取到最大值一，故正确;

3281

D选项：由题意可知BE=24,AE=2—2A,EF=2—22,

JT

a=—，也即EREB,EA两两垂直,

2

可以依次构造长方体，长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为r,

则（2厂）2=422+2（2—22）2=1222-162+8,2e（0,l）,

所以2=2时，2r取得最小值辿，此时已=旦，所以D正确.

33mm3

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，在正三棱柱ABC—A4。中，AB=1,M=2,。为的中点，则异面直线A/与G。所

成角的余弦值为.

【详解】以4为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，A&为z轴，建立空

间直角坐标系A-孙z,如图所示：

第11页/共22页

则A（0,。,2）,B,0,G（0,1,2）,D-^-，―,1

—fV311

所以43=^-,-,-2QD=

\7

5

所以卜。，港,电卜丝片e

114心。V5XV24

则直线A,5与CQ所成角的余弦值为巫,

4

故答案为：巫

4

13.如图，圆。与x轴的正半轴的交点为A,点C,8在圆。上，且点C位于第一象限，点8的坐标为

ZA0C=a.若怛C|=1,则&cos2^-sin-cos---的值为

2222

【详解】\OB\=1,.•.圆0的半径为1.

又忸C|=l,为等边三角形.

第12页/共22页

jr

ZAOB=——。，且。为锐角.

3

a.aay[3r-1+cosa1.V3

cos2---sin—cos-------=A/3x------------sina-----

2222222

V31.

二——cosa——sma=siny-erj=sin/AOB.

22

3

由三角函数的定义可得，sinZAOB=~.

，一、3

故答案为：—

14.曲线y=在A（%1，M）,6（%2，，2）两点处的切线分别为4，，2,且4呼2,则玉入2=,；若乙,

，2交点的横坐标为％3，则%%3+%2%3=

【答案】①.1②.2

—,X>1

Inx,x>1

【详解】由y=\inx\=<ny，=<X

-Inx,0<x<1

—,0<%<1

X

不妨设再<%2，切线4，4的斜率分别为K，左2,

71,1,71

当时，则有左1二一,k2=一,此时左水2=---->。，显然上#2。一1,

国X2石工2一

因此不成立，不符合题意；

,1,1,,1

当。〈玉<W<1时，则有尢=---,k,=----,此时左/2=-----〉0，

%x2石龙2

显然上#2片-1，因此/1，，2不成立，不符合题意；

,1,1,,1

当0<%<1三々时，则有尢=,k,=—,此时左A，=<0,

%％2%了2

由《J_$可得上隹=一1nXjX2=1,

此时切线/r4的切线方程分别为：y+lny-ln%2=—（x-x2）,

第13页/共22页

y+In石—---(x-%)

x22

两个方程联立，得《\

=x=--------=>x3

玉+々%+%2

y-\wx2=-(x-x2)

因此石入3+%2%3=X3(X1+%2)=---------(玉+%2)=2,

X]H-%2

故答案为：1；2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.

15.已知AABC的面积为20百，。为边BC的中点，。4=5,OA.OB=20-

(1)求BC的长；

(2)求角C的正弦值.

【答案】(1)16(2)整1

86

【解析】

【小问1详解】

由已知。为边5c的中点，

所以与ABC=2S口40B=2・J0A"sinZAOB=2073,

即|OA|-|OB|sinZAOB=2073,

又砺.砺=|。4|0叶cosNA03=20,

则tanZAOB=，

71

即NA05二一，

3

又侬=5

则||。国=20,

即|0同=8,忸C|=2|OB|=16；

【小问2详解】

由⑴^ZAOB=y,\OC\=\OB\=8,

则NAOC=@，

3

第14页/共22页

在4Aoe中，由余弦定理可知\ACf=|0A|2+|OC|2-2|OA|-|OC|-COSZAOC,

91

即|AC「=25+64+2x5x8xg=129,

则|AC|=VI药，

又由正弦定理可知,

sinZCsinZAOC

5

则•0A|-sinZAOC'T_.5V43.

sinZC二

V129—86

16.如图，三棱台ABC—中，ZSABC是正三角形，AA1.平面ABC,AB=2^A=2^^=4,

M,N分别为棱A3,3田的中点.

R

（1）证明：BiB_L平面MCN；

（2）求直线G。与平面MCN所成的角的正弦值.

3

【答案】（1）证明见解析（2）-

4

【解析】

【小问1详解】

因为AABC是正三角形，M为中点，所以CMLA8,

因为AA，平面ABC,CMu平面ABC,所以CM，AA,

又AAnA3=A,aAA3u平面AiABB],

所以CM,平面AA35],

又因为313u平面AABB],所以

连接AB】，易得AB]=B]3=2j5,

所以A3?=AB；+BF,所以A用1B{B,

第15页/共22页

又因为AB】//MN,所以MN_L331,

因为MNnCM=M,加,。“匚平面7^^7^,

所以平面MCN.

【小问2详解】

取AC中点O,连接BO，G。，易知三条直线两两垂直，

以O为坐标原点，。氏。。,。。1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系,

则4(6,-1,2),8(26,0,0),2(0,2,0),q(0,0,2),

由(1)知平面MCN的一个法向量为瓦元=(百』,—2),又京=(0,2,—2),

।——।帚63

所以cosB.B,CjC=।—।—=—『----j==—,

112V2-2V24

3

所以直线QC与平面MCN所成的角的正弦值为一.

4

17.已知数歹！J{%}和也}满足，q=2,b{=l,an+1=2an{nGN*),

向++；&+…+工2=2+i—1(〃eN)

23n'，

(1)求《，与勿；

——,〃为奇数

,、bbq

(2)记数列{qj的前几项和为7；,且c"={""+2,若对〃eN*，之左恒成立，求上的取

-为偶数

值范围.

【答案】(1)%=2",bn=n-(2)左＜4.

【解析】

【小问1详解】

第16页/共22页

an+l=2an,%=2,｛4｝是等比数列，公比为2,所以〃“=2",

••地+3+,+…+3=%-1，

•**b\+~b2+"+…%="〃T，

23n-1

Ihhhh

两式相减得勿+i—2=—2,・・・"；二」，从而｛字｝是常数列，」=1,

n〃+1nn1

b

所以」=1,即a=n-

n

【小问2详解】

1111

由已知，”为奇数时，c=——),

n她+2n(n+2)2n〃+2

11111

q+c+---+c_=-[r(z11-j)+(---)+---+(z^_-------)]=-------

32nl212n+l2n+l

11

〃为偶数时，3=-----

an2n

iii”一J11

则。2+。4+…+=4-)2-(-)4—--(-)2n=~

3x4"

1----

4

n1]_

n"=(q+C3。2"-1)+(。2+04C2n)=2n+l+3x4"一,

3

1____

T_T»+11______n______1_________1_________1_

25+1)-2〃-2〃+33义4"+1-2"+1-3义4"一(2〃+1)(2〃+3)一尸'

[9

4向=(l+3)”=l+C；+/3+C—32+…N1+C：J3+C3-32=1+3(〃+1)+Q〃(〃+1)

99159191

=-n-\----n+4>4n+8n+4(V—n>—n),

2222

4"+i>4/+8/7+3=(2〃+1)(2〃+3),T2(n+1)-T2n>0,

•-T2(n+l)>T2n,即｛&｝是递增数列，

所以亿户中最小值为7；

'312312

对“eN*，1“之左恒成立，则左<，.

12

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面A5CD为正方形，E,E分别为尸A,PC的中点，且平面平

面5ER.

第17页/共22页

El

/\\、

—>>C

///

AB

(1)证明：PA=PC；

(2)若PB=5PD，当四棱锥P-ABC。的体积最大时，求平面PAB与平面5ER的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)2殛

66

【解析】

【小问1详解】

连接AC交3。于点0,连接0P交EE于点Q,过点。作DHL3Q于点反，

因为平面P3D1平面5ER,平面PBDn平面3ER=3Q,。“匚平面形。,

所以。"，平面5ER,

因为ERu平面5ER,

所以。H_LE产，

因为瓦尸分别为P4,PC的中点，

所以EE〃AC,DHLAC,

因为四边形A3CD为正方形，

所以AC工3。，。为AC中点，

因为。“口3。=。，DH,BDu平面PBD,

所以AC,平面PB。，

因为POu平面，

所以ACLPO,

第18页/共22页

因为。为AC中点,

所以PA=PC.

【小问2详解】

设AB=叵,以。为原点，0A所在直线为工轴，所在直线为丁轴，建立空间直角坐标系，如图,

则2(1,0,0),B(0,1,0),