2025高考数学复习必刷题：复数

第39讲复数

知识梳理

知识点一、复数的概念

(1)i叫虚数单位，满足『=-1,当一eZ时，*=1,产产短=一1,严+3=—「

(2)形如a+〃(a,6eR)的数叫复数，记作〃+友eC.

①复数z=o+砥a,beR)与复平面上的点Z(a,6)---对应，a叫z的实部，b叫z的虚

部；》=0。2€氏2点组成实轴；6w0,z叫虚数；b/0且a=0,z叫纯虚数，纯虚数对

应点组成虚轴(不包括原点).两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共辗复数.

②两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d£R)相等o(，(两复数对应同一点)

\b=d

③复数的模：复数a+初3,6cH)的模，也就是向量无的模，即有向线段反'的长

度，其计算公式为IZ1=1a+从1=&+必,显然，日=|a-M=+户,Z.』=a2+/.

知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则

1、复数运算

(1)(a+沅)±(c+di)=(a±c)+(I±d)i

(2)(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)•(a-bi)=z=a2+b2=\z|2

v(注意Z?=|z『)

z+z=2a

其中|z|=力2+方,叫z的模；W=4-4是z=a+沅的共朝复数(a*eR).

a+bi(a+bi)■(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i

(3)(C2+472^O)

c+di(c+di)■(c—di)c2+d'

实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幕运算法则)

都适用于复数.

注意：复数加、减法的几何意义

以复数4/2分别对应的向量西，亚为邻边作平行四边形OZZZ,对角线QZ表示的

向量无"就是复数4+Z?所对应的向量.Z]-Z2对应的向量是Z?Z].

2、复数的几何意义

(1)复数z=a+bi(a,beR)对应平面内的点z(a,b)；

(2)复数z=a+阳对应平面向量无；

(3)复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都

表示复数.

(4)复数z=a+bi(a,6eR)的模|z|表示复平面内的点z(a,b)到原点的距离.

3、复数的三角形式

(1)复数的三角表示式

一般地，任何一个复数z=a+bz•都可以表示成r(cos6+isine)形式，其中?•是复数z的

模；。是以x轴的非负半轴为始边，向量成所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数

z=a+6i的辐角.r(cosO+isin。)叫做复数2=。+次的三角表示式，简称三角形式.

(2)辐角的主值

任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2万的整数倍.规定在

04范围内的辐角6的值为辐角的主值.通常记作argz,即0<argz<2;r.复数的代

数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.

(3)三角形式下的两个复数相等

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

(4)复数三角形式的乘法运算

①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即

rx(cos0x+isinr2(cos02+isin02)=rg[cos(q+01)+isin(q+%)]

②复数乘法运算的三角表示的几何意义

复数4/2对应的向量为鬲，区，把向量西绕点。按逆时针方向旋转角％(如果

%<。，就要把西绕点。按顺时针方向旋转角冏|)，再把它的模变为原来的马倍，得到向

量OZ,OZ表示的复数就是积Z[Z2.

(5)复数三角形式的除法运算

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的

辐角减去除数的辐角所得的差，即'i(cosa+isinq)=二[8$(4_d)+7511©_62)]-

L

^(cos^2+zsin^2)r2

必考题型全归纳

题型一：复数的概念

例1.(2024•河南安阳•统考三模)已知(l+2i)(a+i)的实部与虚部互为相反数，则实数。

A.—B.—C.gD

332-4

【答案】A

【解析】由于(l+2i)(a+i)=a—2+(l+2a)i,

(l+2i)(a+i)的实部与虚部互为相反数，故a-2+(l+2“)=0,;.a=g,

故选：A

例2.(2024・浙江绍兴・统考二模)己知复数z满足z(若-i)=2i,其中i为虚数单位，贝心

的虚部为（）

A.BB.乌C.--D.一也

2222

【答案】A

/l\2i2i（石+i）-2+2月i16

【解析】因为z抬-i=2i,=r\lr\=-4=一不+一

''V3-i（A/3-i）（V3+i）422

所以Z的虚部为也.

2

故选：A.

例3.(2024.海南海口•校联考一模)若复数z="-4+(a-2)i为纯虚数，则实数。的值为

()

A.2B.2或-2C.-2D.-4

【答案】C

,,.a2—4=0

【解析】因为复数z=〃-4+(a-2)i为纯虚数，贝IJ有解得a=-2,

a-2片0

所以实数。的值为-2.

故选：C

例4.(多选题)(2024•河南安阳•安阳一中校考模拟预测)若复数z=*，则()

A.|z|=V17B.z的实部与虚部之差为3

C.z=4+iD.z在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】ACD

【解析】•一言(3-⑴(l+i)ji

0T(i+i)一

；.z的实部与虚部分别为4,-1,

22

|Z|=^4+(-1)=^7,A正确；

z的实部与虚部之差为5,B错误;

z=4+i,C正确；

z在复平面内对应的点为(4,-1),位于第四象限，D正确.

故选：ACD.

例5.(2024・辽宁•校联考一模)若z是纯虚数，|z|=l,则六的实部为.

【答案】1

【解析】Z是纯虚数，且忖=1,则有Z=±i,故4=1土i,实部为1.

故答案为：1.

【解题方法总结】

无论是复数模、共朝复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部

分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.

题型二：复数的运算

例6.(2024.黑龙江哈尔滨•哈师大附中统考三模)己知复数2=鲁，则忖-2=()

1—1

A.1+iB.1C.1-iD.i

【答案】A

【解析】依题意，z==J=i,则|z|=lE=-i,

,(l-+i[)(Rl+i)2

所以|z|-z=l+i.

故选：A

例7.(2024•河北衡水•模拟预测)若(i—l)(z—2i)=2+i,贝此=()

【答案】B

■々刀4"匚Y小口/rr/曰2+i(2+i)(l+i)1+3i..1i

【角牛析】由已矢口得z=---------1-21=----------------+21=----------1-21=-----1—，

1-i2222

>■7~11.

故选：B.

例8.(2024•陕西榆林・高三绥德中学校考阶段练习)已知复数Z满足(z-2i)i=3+i,则2=

A.1-iB.3-iC.l-5iD.-l+3i

【答案】A

【解析】因为(z—2i)i=3+i,

所以z=2±l+2i=(3+i)(-i)

+2i=l-3i+2i=l-i.

1i(-i)

故选：A.

例9.(2024•全国•模拟预测)已知复数z满足3z+i=l-4iz,则|z|=()

A.2B.C.正D.-

2555

【答案】C

【解析】解法一：由32+1=1-短得2=鼠==所以|z|=*,故选C.

解法二：由3z+i=l—4iz得(3+4i)z=l-i,所以5|z|=&,即|z|=^,

故选：C.

【解题方法总结】

zr=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),则

(1)zx±z2=a±c+(b±d)i

(2)zx-z2=ac—bd+{ad+bc)i

/_、z,ac+bdbe-ad.八、

⑶VE+E"z)

题型三：复数的几何意义

例10.(2024•河南郑州.三模)复平面内，复数上3对应的点位于()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

3-i3-i3-i（3-i）（l+i）

【解析】由题得=2+i,即复平面内对应的点为（2,1）,

1+i2023-1+i31（fQ+i）

在第一象限.

故选：A.

例11.（2024・全国•高三专题练习）已知复数Z］与z=3+i在复平面内对应的点关于实轴对

称，贝|」白=（）

2+1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】因为复数Z与z=3+i在复平面内对应的点关于实轴对称，所以z=3-i,

3-i（3-i）（2-i）5-5i

所以1712+i-（2+i）（2-i）=l-i

5

故选：B.

例12.（2024・湖北•校联考三模）如图，正方形0ABe中，点A对应的复数是3+5i,则顶

C.-l+7iD.-2+7i

【答案】A

【解析】由题意得：砺=（3,5）,不妨设C点对应的复数为〃+历（可0肉0）,则反=.⑼,

22CL——5

由方，闻阿=困，得a+b=32+52―

3a+5b=0b=3

即。点对应的复数为-5+3i,

由砺=函+玄得：B点对应复数为（3+5i）+（—5+3i）=-2+8i.

故选：A.

例13.（2024•全国•校联考模拟预测）在复平面内，设复数，40对应的点分别为

Z|(0,2),Z2(l,-1),则，

B.73C.V2

【答案】C

z2i

【解析】由题意，知Z=2i,z2=l-i,所吧=±=-1+1,所以”也.

故选：C.

【解题方法总结】

复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐

标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点.

题型四：复数的相等与共物复数

例14.（2024・湖北・黄冈中学校联考模拟预测）已知2-i（i是虚数单位）是关于x的方程

f+"+C=0（"0£R）的一个根，贝!J6+c=（）

A.9B.1C.-7D.2i-5

【答案】B

【解析】已知2-i（i是虚数单位）是关于X的方程％2+乐+。=0（。,。£11）的一个根，

则（2—i）+/?（2—i）+C=0,BP4-4i-l+2Z?-Z?i+c=0,即1，

\b=-4

解得《‘，故"c=L

[c=5

故选：B.

例15.(2024・贵州贵阳•统考模拟预测)已知Z]=a+2i,Z2=2+M,(«,&eR),若

+z1)+(z2z2)i=4+13i,贝|()

A.a=2,Z?=3B.a=—2,b=—3

C.a=2,b=±3D.a=-2,b=±3

【答案】C

222

【解析】由已知可得，4+Z]=a+2i+a-2i=2。，z2z2=2+Z?=b+4,

所以（Zi+z1）+（z2^）i=++4^i=4+13i,

2〃=4a=2a=2

所以有%4=13'解得b=3或

b=—3.

故选：C.

例16.（2024・四川宜宾•统考三模）已知复数z=3+4i,且z+a）=9-4i，其中a是实数,

则（）

A.a=-2B.。=2C.a=lD.a=3

【答案】B

【解析】因为z=3+4i,所以彳=3—4i,

所以3+4i+3a-4ai=3+3a+（4-4a）i=9-4i,

所以3+3a=9,4—4a=—4,解得a=2.

故选:B.

例17.（2024・湖北•模拟预测）已知复数z满足z+|z|=2+4i,贝心的共辗复数的虚部为

（）

A.2B.-AC.4D.-2

【答案】B

【解析】设2=々+/,（a,6cR）,则|z|=扬+/,

则z+|z|=2+4i,即a+Jq2+加+历=2+4i，

::产母解得a=-3

所以

b=4

所以z=-3+4i,N=—3-4i,

所以z的共辗复数的虚部为T.

故选：B.

例18.（2024・四川宜宾•统考三模）已知复数z=3+4i,S.z+az+bi=9,其中。，b是实

数，贝U（）

A.a=—2,b=3B.a=2,b=4

C.a=1,Z?=2D.a=2,b=-4

【答案】B

【解析】因为z=3+4i,所以z=3-4i，贝I由z+“z+Z?i=9得:

3+4i+a(3-4i)+历=9,即(3+3a)+(4+&-4a)i=9,

[4+b-4a=0a=2

故13+34=9解得:

b=4

故选：B.

【解题方法总结】

复数相等：a+bi=c+dia-c^b-d(a,b,c,d^R)

共朝复数：a+bi=c+dioa=c且Z?=—d(a,b,c,dGR).

题型五：复数的模

例19.(2024•河南•统考二模)若(i+l)(z-l)=2,则|彳+1|=

【答案】M

【解析】由(i+l)(z—l)=2可得z=3+l=^^+l=2-i,

1+12

故1=2+i，贝!1|彳+l|=|3+i|=J32+12=弧,

故答案为：V10

例20.(2024・上海浦东新•统考三模)已知复数z满足|z-2|=|z|=2,则z3=.

【答案】-8

【解析】设2=。+历，则z-2=a-2+历，

a2+b2=4

所以■{‘、22'解得。=1力=±括，

"2)+62=4

当a=l,b=6时，z=l+旧i,故z?=(l+曲『=l+2"+3i2=-2+2©,

z3=(-2+2/)(1+曲)=-2+6i2=-8；

当a=l,b=一括时，z=l-6i，^z2=(1-V3i)2=l-2V3i+3i2=-2-2A/31,

z3=(-2-2后)(1-同=-2+6i2=-8

故答案为：-8

例21.(2024•辽宁铁岭校联考模拟预测)设复数句，Z?满足㈤=邑|=2,Z1+z2=V3+i,则

IZ1-z21=.

【答案】2百

【解析】方法一：设马=〃+初,(〃£凡/?£氏)，z2=c+di,(c^R,dG/?),

Z]+Z2=a+c+(b+d)i=V3+i,

I「,又区|二区|=2,所以〃2+人2=4,c2+d2=4f

[b+d=l

「.(a+c)2+(b+d)2—a?+c?_|_片_|_d2+2(ac+bd)—4

:.ac+bd=—2

22

/.\zx—z2\=\(a—c)+(b—d)i\_^(tz—c)+(b—d)—^8—2(ac+bd^

=78+4=2A/3.

故答案为：

方法二：如图所示，设复数4*2所对应的点为乙/，而=无]+必，

由已知\OP\=5/371=2=|OZ]|=I0Z2I,

平行四边形。Z/Z?为菱形，且AOPZKAOPZ2都是正三角形，.•./ZQZ2=120。,

22222

|Z[Z21=|OZJ+|OZ21-21OZ,||OZ2|COS120°=2+2-2-2-2-(-1)=12

/.|z,—z2|=|Z1Z2|=2y/3.

Zy---------------『

【解题方法总结】

Iz|=y/a2+b1

题型六：复数的三角形式

例22.（2024・四川成都・成都七中统考模拟预测）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函

数和三角函数的关系，并写出以下公式e*=cosx+isinx（x6R,i为虚数单位），这个公式

在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，下面四个结果中

不成立的是（）

/r-\2022

A.泌+1=0B.-+—i=1

122

C.卜"+e-[v2D.-2<ex-e-ix<2.

【答案】D

【解析】对于A,当了=兀时，因为e，"=cos7t+isin7r=-l,所以产+1=0,故选项A正

确；

<]n\2022z\2022(K.)2022

对于B,—H———i=Icos—+isin—I==©674兀1=85674兀+15111674兀=1,

”2J133jJ

故选项B正确；

对于C,由=cosx+isin无，e-u=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,

所以+e士=2cosx，得出卜"+叫=|2cosx区2,故选项C正确；

对于D,由C的分析得ei'-e』=2isinx,推不出-24e丘-”42,故选项D错误.

故选：D.

例23.(2024•全国•高三专题练习)任何一个复数z=a+bi(a,》eR)都可以表示成

z=r(cos6+isin8)(rN0,eeR)的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发

现：[r(cos61+isin^)]"=rn(cosnd+isinn3)(neZ),我们称这个结论为棣莫弗定理.则

(1-公产=()

A.1B.22022C.-22022D.i

【答案】B

【解析】

222

...（1-4）2必=2?。22,竽万）+isin1一争万=2°;

故选：B.

例24.（2024.河南.统考模拟预测）欧拉公式/=cose+isin6把自然对数的底数e、虚数

单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足（S"+i）-z=l,则

Z的虚部为（）

A，—2B.—C.1D.—1

2

【答案】B

【解析】由欧拉公式知：

em=cos兀+isin兀=—1,「.（3兀+i）•z=（-1+i）-z=i,

._i_i（T—i）J—ijL

■Z--l+i-（-l+i）（-l-i）-2_52'

•t-z的虚部为.

故选：B

例25.（2024・全国•高三专题练习）棣莫弗公式（cosx+isin%）"=cosnx+isinnx（其中i为虚数

单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数

Z\2023

cos^+isin^在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由棣莫弗公式知，

023

(兀..7iV2023K..2023n

cos—+ism—=cos------1-ism-----=cos337兀+isin(337兀+弓

[66)66

/兀、../兀、y31.

=cos（兀+—）+ism（兀+—）=------1,

6622

/\2023

复数cosC+ising在复平面内所对应的点的坐标为—，位于第三象限.

Vo0722

\7

故选：C.

【解题方法总结】

一般地，任何一个复数z=a+初都可以表示成r（cose+isin。）形式，其中r是复数z

的模；。是以1轴的非负半轴为始边，向量正所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复

数Z=Q+次的辐角.r（cos^+zsinO'）叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式.

题型七：与复数有关的最值问题

例26.（2024.上海闵行.上海市七宝中学校考模拟预测）若|z+l-i|