2025高考数学复习必刷题：二项式定理

第87讲二项式定理

知识梳理

知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

(1)二项式定理

一般地，对于任意正整数”，都有：

nnrr

(°+b)"=C°a+C'^b+.•.+Cnab+…+C：b"("eN*),

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+6)"的二项展开式.

式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第厂+1项：

其中的系数C：(r=0,1,2,n)叫做二项式系数，

(2)二项式(。+力”的展开式的特点：

①项数：共有〃+1项，比二项式的次数大1；

②二项式系数：第r+1项的二项式系数为C：,最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的幕指数字母。降幕排列，次数由“到0；字母

b升用排列,次

数从0到"，每一项中，a,6次数和均为"；

④项的系数：二项式系数依次是C；,C：，C3…，G；，…，a，项的系数是。与6的系数

(包括二项式系

数).

(3)两个常用的二项展开式：

①(。-b)n=C°a"-C'a'"'b+…+(-1)'•+••・+(-：!)"•£»"(〃eN*)

②(1+x)n=1+C；x+C>2+.••+C,>r+---+x"

(4)二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：Tz=C；a"-b，(r=0,1,2,3,

公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是

②字母6的次数和组合数的上标相同；

③。与人的次数之和为

注意：①二项式（a+b）"的二项展开式的第r+l项和3+0”的二项展开式的第

什1项优是有区别的，应用二项式定理时，其中的。和6是不能随便交换位置的.

②通项是针对在（。+6）"这个标准形式下而言的，如（a-6）"的二项展开式的通项是

=（-l）'C/i〃（只需把-6看成6代入二项式定理）.

2、二项式展开式中的最值问题

（1）二项式系数的性质

①每一行两端都是1,即c：=c:;其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即

1n

_c“-1_|_c

②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C：=C厂.

③二项式系数和令0=6=1,则二项式系数的和为

C+C：+C"..+C：+...+C：=2",变形式C；+C；+…+C；+…+C,；=2=1.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令

a=lrb=—lf

贝Uc，-c：+c：-c：+…+（-i）y=（i-i），=o,

从而得到：C°+C；+C：…+C丁+…=C：+C；+…+C；向+…=g.2"=2"-'.

⑤最大值：

如果二项式的幕指数”是偶数，则中间一项7；的二项式系数存最大；

-4-1

2

n—1n+1

如果二项式的嘉指数”是奇数，则中间两项Tn+1的二项式系数G/,c3相等

————+1

22

且最大.

（2）系数的最大项

求（a+云）"展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为

IA>A

A，4,…，A用，设第r+l项系数最大，应有用一；，从而解出r来.

[A+i-4+2

知识点3、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

n22rr

(1)设(.+4"=C^a"+C^a'-'b+C^a-b+…+Cna"-b+…+C：b",

二项式定理是一个恒等式，即对。，。的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需

要灵活选取。，6的值.

①令a=b=l,可得：2"=C：+C；+…+C：

②令。=1,人=1,可得：o=《—C+C；—C：…+(—1)C",即：

c；+c；+…+c;=c；+c：+…+C；T(假设〃为偶数)，再结合①可得:

Q+第+…+C；=C；+C：+…+C『=2"-1.

(2)若/(九)=%/+%_M〃T+。〃_2工〃—之+—+。1犬+%,则

①常数项：令％=0,得4=/(0).

②各项系数和：令光=1,得/(1)=/+q+a2-\-----Fctn_x+an.

③奇数项的系数和与偶数项的系数和

(/)当〃为偶数时，奇数项的系数和为4+%+%+…=/⑴[”-D；

偶数项的系数和为卬+%+%+…=/⑴丁T).

(可简记为：〃为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配)

/⑴1)

(«)当〃为奇数时，奇数项的系数和为4+4+。4+…

2

/⑴+八-1)

偶数项的系数和为4+生+%+…

2

(可简记为：〃为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配)

nX

若/(%)=/+H----F^n_^~+J同理可得.

注意：常见的赋值为令无=0,%=1或%=-1,然后通过加减运算即可得到相应的结

果.

必考题型全归纳

题型一：求二项展开式中的参数

例1.（2024•河南郑州•统考模拟预测）（彳-、的展开式中的常数项与（尤一：+展开

式中的常数项相等，则。的值为（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】D

【解析】［Qj的展开式中的常数项为cW（*=24,

x-5+a）展开式中的常数项CW+c"2=〃一3,

所以/一3=24,即。=3,

故选：D.

例2.（2024•四川成都•成都实外校考模拟预测）已知的展开式中存在常数

项，则〃的可能取值为（）

D.8

令—=0,即”=3r,由于reN,故〃必为3的倍数，即"的可能取值为6.

故选：C

例3.（2024•全国•高三专题练习）（办-2］展开式中的常数项为一160,则。=（）

A.-1B.1C.±1D.2

【答案】B

【解析】［ax-^\的展开式通项为

6r

加=C；(ox)-f-|j=(-2)76Tq<r<6,rEN),

...令6-2r=0,解得r=3,

・・・［以―的展开式的常数项为4=(-2)3^6-3。＞6-6=_160/=_160,

・•・a3=1

・・a=1

故选：B.

变式1.(2024•全国•高三专题练习)已知［x+fj的展开式中的常数项为-160,则实数

a~()

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】B

6r62rr

【解析】1+:］展开式的通项为：Tr+I=Q-X~-^J=Q-x--a,

取r=3得到常数项为Cl-a3=20a3=-160,解得a=-2.

故选：B

变式2.(2024•全国•高三专题练习)已知］«一;1的展开式中第3项是常数项，则〃=

()

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】-的展开式的通项如=(_2yC%早，

n—6

当左=2时，小心产㈠丫C”

则T=0,解得71=6.

故选：A

【解题方法总结】

在形如(a"+&f)N的展开式中求X,的系数，关键是利用通项求r,贝|厂=竺匕.

m—n

题型二：求二项展开式中的常数项

例4.（2024•重庆南岸•高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知。＞0,二项式

，+玄，的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常数项为（）

A.36B.30C.15D.10

【答案】C

【解析】令x=l,则可得所有项的系数和为（1+。『=64且。＞0,解得a=l,

：卜+3）的展开式中的通项4+1=13）=C：f-3«,左=0,1，…,6,

当％=2时，展开式中的常数项为猿=15.

故选：C

例5.（2024•山西朔州•高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）二项式，石-十］的展

开式中的常数项为（）

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

【答案】C

【解析】因为％=C；（26厂［-七］=（T）'x2~C产，

令4一r=0,得r=4,

所以二项式展开式中的常数项为工=（-1）4x24C：=1120.

故选：C.

例6.（2024•北京房山•高三统考开学考试）（1-46的展开式中的常数项是（）

X

A.240B.-240C.15D.-15

【答案】A

【解析】由题目可知M=屋（无2广［_胃=（_2）//5,笈=0,1,…,6,

令12—3左=0,解得k=4,

所以当％=4时为常数项，此时4=（-2?C：=240,

故选：A

变式3.(2024•贵州贵阳•高三贵阳一中校考开学考试)f-l+zYx2-^的展开式中的

常数项为()

A.-20B.20C.-10D.10

【答案】D

【解析】因为，+2)r一曰=*T+23T，

d—1的展开式的通项公式为Tr+l

令12-3r=3,得r=3,

令12—3厂=0,得r=4,

所以］-的展开式中的常数项为：

-^x(-l)3C^xx3+(-l)4C^xx°x2=-20+30=10.

故选：D

(]2y

变式4.(2024•全国•高三专题练习)若工+?(〃eN*)的展开式中存在常数项，则

I*)

n=()

A.2M左eN*)B.3M丘N*)C.5^(^eN*)D.7M丘N*)

【答案】C

【解析】卜/(weN*)的二项展开通式为心(〃£N*),

令"|r_〃=0=〃=(r，贝一定是5的倍数,

故选：C.

变式5.(2024•全国-高三对口高考)若)展开式中含有常数项，则n

的最小值是()

A.2B.3C.12D.10

【答案】A

【解析】小=C：（瓜）T-（-/=C：•（百尸产”，

x

令"一2左=0,得几=2k,贝!]%=1时，”取最小值2.

故选：A

【解题方法总结】

写出通项，令指数为零，确定r,代入.

题型三：求二项展开式中的有理项

例7.（2024•全国•高三专题练习）在『的展开式中，有理项的系数为（）

A.-10B.-5C.5D.10

【答案】A

【解析】（4-网s的通项为4+1=磋（«门_4y=（_i），cD，

r=0,1,2,3,4,5.当心为有理项时，r既是奇数又能被3整除，所以厂=3,

故展开式中有理项的系数为（-1）七；=-10；

故选：A.

例8.（2024•全国•高考真题）二项式（戊+四）5°的展开式中系数为有理数的项共有

（）

A.6项B.7项C.8项D.9项

【答案】D

【解析】二项式的通项加=.（应严既a=2”可％尤，,

若要系数为有理数，则25-]eZ,0<r<50,且reZ,

即台Z,|eZ,易知满足条件的re{0,6,12,18,24,30,36,42,48},

故系数为有理数的项共有9项.

故选：D

例9.（2024•江西南昌•高三统考阶段练习）卜-的展开式中所有有理项的系数和

为（）

A.85B.29C.-27D.-84

【答案】C

【解析】展开式的通项为：

sr73

Tr+1=C'&x~'(―-^=)=(—I)CJx,其中r=0,1,2,345,6,7,8,

当r=0,3,6时为有理项，故有理项系数和为

(-1)°C°+(-l)3Cg+(-1)6C®=1+(-56)+28=-27,

故选：C.

24

变式6.（2024•四川泸州•高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）二项

展开式中，有理项共有（）项.

A.3B.4C.5D.7

【答案】D

【解析】二项式［五展开式中，

24-rr24-3r,3

通项为却|=c力丁”==CG不，其中，=°，1，2…24,

3

，•的取值只需满足6reZ,则r=0,4,8,12,16,20,24,

4

即有理项共有7项，

故选：D.

变式7.（2024•安徽宣城•高三统考期末）在二项式的展开式中，有理项共

有（）

A.3项B.4项C.5项D.6项

【答案】A

【解析】写出通项公式，然后代入厂的值：0~12,分别计算判断是否为有理项.

「65r

的通项公式为=C%（2«『一12r

=2-C;2x6

可知当厂=0,6,12时，6-号=6或1或T,可得有理项共有3项.

6

故选：A.

变式8.（2024•全国•高三专题练习）若（3•歼-2«）"的展开式中有且仅有三个有理

项，则正整数〃的取值为（）

A.4B.6或8C.7或8D.8

【答案】B

5n-2r5n—9r

【解析】首先写出二项展开式的通项公式由条件可知f

为整数，然后观察选项，通过列举的方法，求得正整数”的值.（3•狂-2«）"的通项公式

是*=C；.（3"厂,2对

5n-2r

=d-2）&k

—2r—

设其有理项为第r+l项，则X的乘方指数为王产，依题意f■为整数，

66

注意到OWrW",对照选择项知"=4、6、8,

逐一检验：“=4时，r=1,4,不满足条件；

〃=6时，r=0>3、6,成立；

〃=8时，r=2>5、8,成立

故选：B.

【解题方法总结】

先写出通项，再根据数的整除性确定有理项.

题型四：求二项展开式中的特定项系数

例10.（2024•四川成都•校联考模拟预测）已知（x-2y）"的展开式中第4项与第5项的

二项式系数相等，则展开式中的x5y2项的系数为（）

A.—4B.84C.—280D.560

【答案】B

【解析】因为（尤-2y）”的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以C：=C：.贝U

〃=7

lr

又因为（x-2»的展开式的通项公式为=C；x（-2yy,

令r=2,所以展开式中的项的系数为玛（-2）2=84.

故选：B.

例11.(2024•海南海口•海南华侨中学校考模拟预测)(1+止)2-x)6展开式中的系

数为()

A.270B.240C.210D.180

【答案】A

【解析】(2-x)6展开式的通项公式为CM=(-1)'26~rC^xr,

则原展开式中/的系数为(-1)2x24C^+|x(-l)4x22C：=270.

故选：A

例12.(2024•广东揭阳•高三校考阶段练习)(x-l)2(l+x『的展开式中一的系数是

()

A.20B.-20C.10D.-10

【答案】D

【解析】因为(X-1)2(1+X)6=X2(]+X)6-2X(1+X)6+(1+X)6,

展开式中一的项是/或必xF-2XC*3xl3+CXxl2,

则展开式中犬的系数是C；-2C：+C：=15-2x20+15=-10.

故选:D.

变式9.(2024•河北邢台•高三邢台市第二中学校考阶段练习)已知口2-：](〃eN*)的

展开式中各项的二项式系数之和为64,则其展开式中/的系数为()

A.-240B.240C.-160D.160

【答案】C

【解析】由展开式中各项的二项式系数之和为64,得2"=64,得〃=6.

2r

：卜-|J的展开式的通项公式为Tr+I=q(xf(-i)^|J=q?，(-)‘针-3,，

令12-3r=3,贝Ur=3,所以其展开式中V的系数为C：x2?*(_1丫=一160.

故选：C.

变式10.(2024•全国•高三专题练习)在二项式「石-2T的展开式中，含x的项的二项

式系数为（）

A.28B.56C.70D.112

【答案】A

【解析】：二项式［五-£［的展开式中，通项公式为

令4-学=1,求得厂=2,可得含x的项的二项式系数为C；=28,

故选：A.

变式11.（2024•北京•高三专题练习）在二项式的展开式中，含/项的二项式系

数为（）

A.5B.-5C.10D.-10

【答案】A

【解析】由题设，（包=G产，（_2），=（_2），弓/2，，

.•.当「=1时，7；=（-2）1C^3=-10X3.

.••含/项的二项式系数C；=5.

故选：A.

【解题方法总结】

写出通项，确定r,代入.

题型五：求三项展开式中的指定项

例13.（2024•全国•高三专题练习）在11+尤-,］的展开式中，f的系数为.

【答案】66

【解析】由题意，（1+x-+）表示12个因式"+X-的乘积，

故当2个因式取无，其余10个因式取1时，可得展开式中含V的项，

故f的系数为C；xC：；=66.

故答案为：66.

例14.（2024•山东•高三沂源县第一中学校联考开学考试）（x-2y+l）5展开式中含移3项

的系数为.

【答案】-160

【解析】(x-2y+l)5变形为[(尤-2同+4，

故通项公式得加=G(x-2y广,

其中的通项公式为CL/,*(-2y)”,

(0<k<5—r

故通项公式为C£、x5-T(_2y『，其中八二二.，太reN,

令k=3,5—r—k=\,解得左=3/=1,

故C；C%(—2y)3=-160孙3.

故答案为：-160

例15.(2024•辽宁•大连二十四中校联考模拟预测)(x+2y-3z)6的展开式中孙2z3的系

数为(用数字作答).

【答案】-6480

【解析】因为(x+2y-3z)6=[(X+2y)-3z『，

设其展开式的通项公式为：加=晨(x+2y厂,(-3z)r=晨(x+2y)〜x(-3)r-z\0<r<6,reN,

令r=3,

得(x+2y了的通项公式为C^x3-m•(2yf=Cfx2加/加.丈,。(根<3,根£N,

令m=2,

所以(x+2y+3Z)6的展开式中，xy3z2的系数为C：*(-3)3xx22=-6480,

故答案为：-6480

变式12.(2024•福建三明•高三统考期末)工+2)展开式中常数项是.(答案

用数字作答)

【答案】-68

【解析】(x-:+21=2+卜-的展开式的通项为

5krkrrr5kk2r

=2-C^Ckx-(-l)=(-l)2-C^C'kx-,0<r<k<5,k,reN,

令Z-2r=0,贝!|，=。，左=0或r=l,k=2,或r=2,Z=4,

所以常数项为(-1)°25cg+(-l)i23CfC*+(-1)2=32-160+60=-68,

故答案为：-68

变式13.(2024•江苏•金陵中学校联考三模)p+展开式中的常数项为.

【答案】—Z6.5625

16

【解析】P+/+—可看作7个尤4+V+J一相乘，要求出常数项，

(-2xy)2孙

只需提供一项尤，提供4项上，提供2项y"相乘即可求出常数项，

2xy

4

即BC［；［(力2=限

(2孙J16

故答案为：

16

变式14.(2024•湖南岳阳•统考模拟预测)(Y+x+yp的展开式中，丁产的系数

为.

【答案】30

【解析】(x2+x+y)5表示5个因式—+x+y的乘积，在这5个因式中，有2个因式选

》,其余的3个因式中有一个选x,剩下的两个因式选V,即可得到含丁产的项，即可

算出答案.

(x2+x+y)5表示5个因式Y+x+y的乘积，

在这5个因式中，有2个因式选y,其余的3个因式中有一个选无，剩下的两个因式选

X2,即可得到含X、y2的项，故含了5丁的项系数是c；.c；.C；=30.

故答案为：30

变式15.(2024•广东汕头•统考三模)+2+1］展开式中尤5的系数是.

【答案】560

【解析】因为卜+彳+1；是7个—+：+1)相乘，

卜：2+。+1)的展开式中x5项可以由4个f项、3个1项和0个常数项，或3个V项、1个

2

一项和3个常数项相乘，

x

所以12+彳+1]展开式中『的系数是C)C"+C〉C>2=560.

故答案为：560.

【解题方法总结】

三项式(〃+b+c)"(〃£N)的展开式：

(a+b+c)n=[(a+b)+c]n=・.•+禺(〃+勾〃一'd+…

一..+C：(・•・+*〃〃+%4+・・・)/+・・・

=...+CC""c「+...

若令n—r_q=p,便得到三项式(〃+8+。)"(〃£")展开式通项公式：

pqr

C[C^_rabc{p,q,reN,p+q+r=n),

其中0nqi-=----------5一:叫三项式系数.

r\(n—r)\q\(n—r—q)\p\q\r\

题型六：求几个二(多)项式的和(积)的展开式中条件项系数

例16.(2024•广西百色•高三贵港市高级中学校联考阶段练习)(1-2x)(1+3x)5的展开式

中%3的系数为.

【答案】90

【解析】(1+34的通项心=3匕-，，

令r=3,则心=33C；/3=270/；

令r=2,则4=32C，/=90尤2,

故(1-2x)(1+3x)5的展开式中苫3的系数为270+(-2)x90=90.

故答案为：90.

例17.（2024•河北保定•高三校联考开学考试）的展开式中含尤项的

系数是.

【答案】-90

【解析】二项式［4-彳］展开式的通项公式为cjx1•（-2/）'=（-2>

令之（=-2,解得r=3；令三2=1,解得厂=1.

所以（丁+1）［4-2）的展开式中含x的项为（_2丫.c；.一+1.（一2y.e2V=-90尤，

所以展开式中含x项的系数是-90.

故答案为：-90

例18.（2024•江西南昌•高三统考开学考试）（1-尤+f）（l+x）6展开式中"的系数

是.

【答案】5

【解析】由题意知-x,N项和（1+4展开式中的炉,/相乘出现/项,

(1+以的通项公式为心=C1,r=0,1,2,…,6,

分别令r=5,6可得W项的系数为C：=6,C：=1,

故答案为：5

变式16.（2024•江苏苏州•高三统考开学考试）（x+J+l}x+l）6的展开式常数项

是.（用数字作答）

【答案】7

【解析】（x+以展开式第厂+1项&|=C"61

所以（x+J+l］（x+l）6展开式中常数项是:』xC*+1、*=6+1=7,

X

所以（x+J+"（x+l）6的展开式常数项是7.

故答案为：7

变式17.（2024•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知多项式

（X+2）3（X_1）4—a[（％+]）7+?（X+1）6+...+%（彳+1）+/，则％=.

【答案】16

【解析】令f=x+l,则（r+l）"f—2）4=印7+aj6H--Fa7t+as,

3r

因为。+1）3的展开式的通项为Tr+1=C'3t-,r=0,1,2,3,

所以令r=2可得0+1）3的展开式中一次项为C）=3f,令r=3可得（f+Ip的展开式的常数

项为1,

又因为（—2）4的展开式的通项为7M=C%”“_2y,左=0,1,2,3,4,

所以令发=3可得（"2）4的展开式中一次项为C；（-2*=-32/,令％=4可得（7-2）4的展开式

的常数项为C：（-2）4=16,

所以%=16x3+（-32）x1=16.

故答案为：16.

变式18.（2024•陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）（x+y）（x-2y）6的展开式中含xV

项的系数为.（用数字作答）

【答案】-100

【解析】•・•（x-2y）6展开式通项为：加=&尸（_2»=（-2）'《产了，

3

，令r=3可得-2y『展开式中含项的系数为：（_2）^=-160；

令厂=2可得y（x-2y）6展开式中含x"项的系数为：（_2）2篌=60；

（尤+y）（尤—2y）展开式中含x4y3项的系数为—160+60=—100.

故答案为：-100.

变式19.（2024•河北唐山•高三开滦第二中学校考阶段练习）设（1-烟）展开式

中的常数项为80,则实数机的值为.

【答案】-1

5

【解析】的展开式通项为

,5-—k

4=c；eW)：2(左=01,2,…,5),

5

mx

%N,不合乎题意;

3

r&=0,1,2,・・・,5)，

(—2)4=-80〃?=80,解得加=-L.

故答案为：-1.

变式20.（2024•安徽亳州•安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）（尤+l）6（/+2x+l）展

开式中Y的系数为.

【答案】56

【解析】（x+l）6（x2+2x+l）展开式中含/的项为：眨“/+C：*2-（22+盘丁-1=56/.

故答案为：56.

【解题方法总结】

分配系数法

题型七：求二项式系数最值

例19.（2024•山东青岛•统考三模）若1f+五J展开式的所有项的二项式系数和为

256,则展开式中系数最大的项的二项式系数为.（用数字作答）

【答案】28

【解析】因为展开式的所有项的二项式系数和为2"=256,解得〃=8,

贝！1（4+展开式为=壑4》2，厂=。』,2,…,8,

r

可得第r+1项的系数为。』=昔c"=0,12…,8,

f-^r「r+1

J〉5

令六:%,即3~37；,解得厂=6,

[ar+l>ar

o8-r-o9-r

所以展开式中第7项系数最大，其二项式系数为C；=28.

故答案为：28.

例20.（2024•全国•高三专题练习）二项式，+彳］的展开式中，只有第6项的二项式系

数最大，则含尤$的项是

【答案】180/

【解析】因为二项式仆+2］的展开式中只有第6项的二项式系数最大,

X

所以展开式中共有11项，：.w=10,

10

故（x+2|展开式的通项为&LCkrrrl02r

Xi°一「•2-x~=2-Cf0-x~

X

令10-2r=6,解得r=2,故展开式中含F的项是天•亡（/=180x6.

故答案为：180f.

例21.（2024•人大附中校考三模）已知二项式（2x-a）”的展开式中只有第4项的二项式系

数最大，且展开式中V项的系数为20,则实数。的值为.

【答案】-:/-0$

【解析】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以”=6,二项式的通项

为小=黑（2》广'（_*，令6-r=3,解得r=3,所以展开式中/项为

C式2x）3（-a）3=-160/尤3,-160^3=20,解得。=-1.

故答案为：

变式21.（2024•浙江绍兴•统考模拟预测）二项式的展开式中当且仅当第4

项的二项式系数最大，贝壮=,展开式中含V的项的系数为.

【答案】6-160

【解析】第4项的二项式系数为C；且最大，根据组合数的性质得"=6,

*1=晨（2》）6-[一9]=（一1）'26-（"6寸，令6_：r=2nr=3,所以

7；=（-1）3C12V=-160X2,则展开式中含/的项的系数为-160.

故答案为：6；-160.

变式22.（2024•陕西西安•西安中学校考模拟预测）已知（1+x）"的展开式中第4项与第

8项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为.

【答案】252X5

【解析】由题意得C：=C：,得〃=10,

所以展开式中二项式系数最大的项为第6项，

所以£=C；ox5=252/,

故答案为：252/.

变式23.（2024•湖北•校联考模拟预测）在（近的二项展开式中，只有第5项的二

项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于

【答案】252

【解析】（孤-的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，〃=8,

8—4r8_4rQ_Ay

通项公式为（+1=q.（-3）'=（-3）y.x-,令三一一°，求得r=2,

可得二项展开式常数项等于9xC；=252,

故答案为：252.

【解题方法总结】

利用二项式系数性质中的最大值求解即可.

题型八：求项的系数最值

例22.（2024•海南海口•海南华侨中学校考一模）在（x+l『（y+z）6的展开式中，系数最

大的项为.

【答案】120/VZ3

【解析】因为(x+l)4的通项为C)j,(y+z)6的通项为C.y6-，z"

•••(x+球展开式系数最大的项为C%2=6一,

(y+z)6展开式系数最大的项为C：y3z3=20/z3,

.•.在(x+l)4(y+z『的展开式中，系数最大的项为120/e3.

故答案为：120x2y3z3.

例23.(2024•江西吉安•江西省万安中学校考一模)已知(l+3x)"的展开式中，末三项的

二项式系数的和等于121,则展开式中系数最大的项为.(不用计算，写出表达式即

可)

【答案】C：；3"W和d3叮2

【解析】由题意可得，C：+C丁+C/=121,所以“+l+g”(l)=⑵，解得”15,

(1+3%)15的展开式的通项为4包=3七；5，

京小3解得皿”

由于reN*,所以r=ll或12,

1212

r=11时，％=3"C：*u；厂=12时，7]3=3O,

所以展开式中系数最大的项为C：；3"婢和C；灯2/.

故答案为:C：；3"产和C；，92

例24.(2024•广西南宁•南宁三中校考模拟预测)(x+琰的二项式展开中，系数最大的

项为.

【答案】70小

【解析】由题意知：(x+球的二项式展开中，各项的系数和二项式系数相等，

因为展开式的通项为所以厂=4时，系数最大，该项为C"8-4=70x4,

故答案为：70x4.

变式24.(2024•全国•高三专题练习)已知(1-3x)"的展开式中各项系数之和为64,则该

展开式中系数最大的项为.

【答案】1215/

【解析】令x=l,则(1-3尤)"的展开式各项系数之和为(-2)"=64=26,则〃=6；

由(l-3x)"的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项,

设二项展开式中第厂+1项的系数最大,

[6(-3)“+2(_3产(r+2)(r+1)>(6-r)(5-r)x9

化简可得:

AJlQ(-3y>Q-2(-3)r-2(8-r)(7-r)x9>r(r-l)

经验证可得厂=4,

则该展开式中系数最大的项为公=*(-3)。4=1215/.

故答案为：1215尤、

变式25.(2024•全国•高三专题练习)若(«+,)〃展开式中前三项的系数和为163,

则展开式中系数最大的项为.

【答案】5376

【解析】展开式的通项公式为0*丁，由题意可得，2°《+2C：+22d=163,解

得忆=9,

18—3k_,,I,fz^'Co>2MCo+1

lx展开式中,+J=2*C；x4项的系数取大，则[2忆/>21o1

解得,qwg,

又：keN,k=6,

故展开式中系数最大的项为心=26cM=5376.

故答案为：5376.

变式26.(2024•全国•高三专题练习)[«+)](〃eN*)展开式中只有第6项系数最

大，则其常数项为.

【答案】210

2〃

【解析】由已知neN）展开式中只有第6项系数为C：,最大，所以展开式有

11项,

所以2〃=10,即〃=5,又展开式的通项为加二《4石严仁上宁）=，/「二，

45-jr=0,解得厂=6,所以展开式的常数项为=210.

6

故答案为：210.

变式27.（2024•安徽蚌埠•高三统考开学考试）若二项式（x+g］展开式中第4项的系数

最大，贝U”的所有可能取值的个数为.

【答案】4

【解析】因为二项式上+；］展开式的通项公式为j=c;、［尤"一

什226

由题意可得34,即八「故8W”Wll,又因为〃为正整数，所以

〃=8或9或10或11,故〃的所有可能取值的个数为4个，

故答案为：4.

【解题方法总结】

有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值

问题；如无关系，则转化为解不等式组：［I"?八，注意：系数比较大小.

In

题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和

例25.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）己知

202322023

（1-2x）=a0+a1x+a2xH■…+^2023x,则下列结论正确的是（）

A.展开式中所有项的二项式系数的和为22期

§20231

B.展开式中所有奇次项的系数的和为」±1

2

120231

C.展开式中所有偶次项的系数的和为—■—

D.&+W+M+...+第=-1

2223203

【答案】ACD

【解析】对于A,（1-2%）2°23的展开式中所有项的二项式系数的和为22。23,故A正确;

对于B,令/（X）=（1-2%）2023,则4+q+出+/+L+/023==,

4—6+/―%+L—%023=f（_1）=32期，

所以展开式中所有奇次项的系数的和为了（）一/（T）=一二±1,

22

展开式中所有偶次项的系数的和为了（）+/（一0=整二，故B错误，C正确；

22

对于D,g=/（o）=l,A||'+||+L+||器■==-1,故D正确.

故选：ACD.

例26.（多选题）（2024•重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知

617

（x-l）（x+2）=a0+axx+a2x-----1-a^x,则（）

A.%=-64B.%=63

C.a。+q+,,,+%=0D.q+/+%+%=1

【答案】ACD

【解析】对于A,令x=0,得至I]%=-1x2,=-64,