2025届高中数学一轮复习专练：数列

数列

一、选择题

1.若数列｛凡｝的前〃项和为SnSn=-an则510=（）

A555110511「1023

21..—an.---.----J_X.---------

25125121024

2.已知2、x、8成等比数列，则x的值为（）

A.4B.TC.+4D.5

3.数列｛叫满足%+i=a“一4_］（«22＞若4=1,%=2,则%=（）

A.,iB.2C.lD.2

4.在等差数列｛4｝中，已知q=-9,%+%=—9=9,则〃=（）

A.7B.8C.9D.10

5.设5“是数列｛4｝的前〃项和，且％=1,S"=（2S,,+l）S，+i，则黑=（）

123

A.--B.-£C.-2D.-2

234

6.已知等比数列｛a“｝满足a1=1,%.%=4（%-11则%的值为（）

9

A.2B.4C.-D.6

2

7.设等差数列｛。“｝的前〃项和为S“，且生+。11-。5=4,则S"=（）

A.58B.68C.116D.136

8.若两个等比数列｛4｝,也｝的公比相等，且伪=4,g=2%,则也｝的前6项和为（）

A.—B.—C.124D.252

88

二、多项选择题

9.已知两个等差数列｛%｝、也｝的前〃项和分别为S,和小且|=包可，则使得

学为整数的左的取值可以是（）

bk

A.4B.3C.2D.1

10.记等比数列｛4｝的前〃项积为&且a5,4eN*,若品=65,则%+小的可能取值为（）

A.-7B.5C.6D.7

11.已知正项等比数列｛%｝满足q=2,a4=2a2+a3,若设其公比为q,前〃项和为

%则（）

A.q=2B.4=2"C.%=2047D.4+an+1<an+2

三、填空题

12.在等差数列｛4｝中，S“是其前〃项和，已知邑=4,士=9,则Sg=.

13.有〃个编号分别为1,2,…，冏的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子

中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒

子中任取一球放入第3个盒子，…，依次进行.则从第n个盒子中取到红球的概率为

14.已知数列｛a“｝满足q=2,%=1，a?=—3,且区什？=+。用，则%=.

四,解答题

15.记S,为等差数列｛4｝的前〃项和，已知%=11,%=40.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛㈤｝的前〃项和却

4+1_〃+1

16.已知数列仇｝满足q=2,

n

⑴求数列｛4｝的通项公式;

4

（2）设a,求数歹叫〃｝的前项和S“.

an,an+2

2

17.设等差数列｛%｝的公差为力且』>1.令〃=匕匕记S"，T”分别为数歹U｛%｝,

an

｛2｝的前几项和.

⑴若3a2—3al+a3>S3+T3=21,

（i）求｛4｝的通项公式；

（ii）若g篙数列上｝的前〃项和为力求盘.

女,“为偶数

(2)若也｝为等差数列，且罪-几=⑼求d.

18.如图，已知正方体ABCD-A4GA顶点处有一质点。，点Q每次会随机地沿一条

棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动

到相邻顶点称为移动一次，若质点。的初始位置位于点A处，记点。移动”次后仍在

底面ABCD上的概率为

(1)求鸟;

(2)求£(记).

Z=1

19.将正整数L2,…,100填入10x10方格表中，每个小方格恰好填1个数,要求每行从左

到右10个数依次递减，记第，行的10个数之和为S«=L2,…,10).设〃G｛1,2,…,10｝满足:

存在一种填法，使得就，邑，…,小均大于第〃列上的10个数之和，求n的最小值.

参考答案

1.答案：D

解析：当“=1时,q=S]=-q+1,可得q=g,

当〃之2时，由S〃=-an+1可得S._]=+1,

上述两个等式作差可得为=-4+,可得4=；,

所以，数列｛为｝是首项为:，公比也为;的等比数列，则既

1023

因止匕,£0=_即）+1=1-----

101010241024

故选:D.

2.答案：C

解析：因为2、X、8成等比数列，

所以X2=2X8,解得X=±4；

故选：C.

3.答案：C

解析：因为4=1,%=2,a“+]=a”一a“T（八》2）,

贝16Z3=a2一q=1,—a2=一],

%=〃4—〃3=—2,%=%—〃4=-]，

%=4—〃5=1，

故选:C.

4.答案：A

解析：由生+生=一9，=-9可得4=一9,公差d=Q,

故—q+（2〃-2）d=9,解得n=1,

故选:A

5.答案：B

解析：•.•Sfl=（2S"+l）S/pq=l，

二.S=S[+2S♦S+"---±.1=1=1

rlrl~rlH〃十1Q

SnS]q

.•・＜，是以1为首项，公差为2的等差数列,

TT=2〃-1,S=---，S,.=—>

n11

Sn2n-l21

7--63

^=-lx21=_t

故选：B

6.答案：B

解析：根据等比数列的性质可得=d二d=4(%-)

即(%—2)2=0,解得%=2,

又；=a4=4,故可得%=4,

故选：B.

7.答案：B

解析：因为。3+。11-。5=4,所以q+8a=4,即“9=4,

17x(%+%7)

所以S"==17〃9=17x4=68.

2

故选：B.

8.答案：B

解析：由生=2%,得｛4｝的公比4=4=［所以也｝的公比为工

a?22

则使)的前6项和为［12川=63

1-1飞

2

故选：B.

9.答案：ACD

解析：由等差中项以及等差数列求和公式可得

（24+。2*-1）

a

k_+。2*-1_2________$21_5（2>-1）+13=5+±eZ,

4瓦+%-i（2左-1）,+砥-1）T'lk-v2kk

2

又因为左eN*，•,"e{l,2,4}.

故选：ACD.

10.答案：BD

55

解析：•••Zo=（%-a6）=6,%•。6=6.

又：%,%eN*,%+4=5或7.

故选：BD.

11.答案：ABD

解析：由题意q〉0且2/=4q+2q2,得q?-q-2=0,解得q=2（负值舍去），选项

2x（1—2'）

,+x

A正确；a“=2x2"T=2",选项B正确；Sn=—-----=T-2,所以品）=2046,

1—2

选项C错误；。“+。“+1=3。“，而。”+2=44〉3。“，所以*<4+2，选项D正确.故

选ABD.

12.答案：15

解析：在等差数列｛。"｝中，S”是其前九项和，S3=4,$6=9,

3x2,“

3<7]+---d=4

2，解得a,=-»d=工，

6x5,八199

6al+---a=9

2

=9xU+”XL15

929

故答案为：15.

13.答案—+*囚”

22

解析：设事件4表示“从第，个盒子中取到红球”㈠=1,2,3,…，

则当心2时,

「（4）=网和"（41&）+「（瓦）「（4工）=尹（和）+；［1_尸（和）］=¥（4.+；

所以p（4）m（和）T

J.为首项」为公比的等比数列,

63

M-1

所以

故答案为:已丫.

14.答案：答案：1

解析：当〃=1得%=X%+%，

又4=2,。2=L〃3=-3得—3=22+1，

解得丸=_2.

a

贝un+2=-2a〃+an+19

以%=—2g+“3=—2x1—3——5,.

%——2^+%=—2x(-3)-5—1

故答案为：1

15.答案：(1)an=15-2n

14n-n2,n<7,

⑵小

98-14n+n2,n>8

=%+d=11,

解析：（1）设｛风｝的公差为力贝八

S10=lOq+45d=40,

a=13,

解得x

d——2.

所以｛%｝的通项公式为%=13+(〃-1>(-2)=15-2〃.

15-2n,n<7,

(2)由(1)得㈤=<

2n-15,n>8.

当三7时，7；=13,+*；l)x(—2)=14“一/,

当“28时，7；=7；+1+3+5+…+(2〃—15)=7；+1+3+5+…+[2(〃—7)—1]

=14x7—72+3匕阳—=98-2.

2

,小,小fl4/z-n2,n<7,

综上，北=,

[9S-14n+n~,n>8.

16.答案:(l)an=2n

⑵'=g____2"+3

{J"~42(n+l)(n+2)

解析：（1）由题意知：当〃22时,2=」

%a3a2〃32

..an=——.......----ax=-----x…x—x—x2=2n;

an_x12aln-121

当〃=1时,q=2满足q=2n；

综上所述：an=2n.

411]

(2)由(1)知:b=--—

"。"。+22〃.2(〃+2)〃(〃+2)n+2)

单一—□---L_J___—―/2：：3

2^32435n-1n+1nn+2J2(2n+1n+2J42(n+l)(n+2)

17.答案：(1)(i)a“=3n；(ii)蜃=340

(2)J=—

10

解析：(1)(i)由312=341+/,得3d=q+2d,解得q=d,

。A1。Q

贝US3=3%=3(q+d)=6d,又与=4+%+4=——।-----1二一，

d2d3dd

有S3+4=6d+2=21，即2d2—7d+3=0,解得d=3或(舍去),

d2

所以%=4+(〃—l)，d=3〃.

/、cmrr,n2+n/+〃n+1

(u)a=3n,贝加=----二-----=----,

na3n3

贝U-^20=囚+%+/+%+•,•++a0=(4+。3+•,•+q9)+(02+d+•,•+^o)

/_r八、3+5+7+・・・+21

=3(1+3+5-1----F19)H--------------二340•

(2)若低｝为等差数列，则有羽=4+&,即1上2=上2+1上2，

a~2ciy

得6—......-=^=_L,即一3〃/+2d2=0,角窣得a1=d或4=2d,

由2>1，则a”〉0，

又耳9-0=19,,由等差数列性质知，19%)-19瓯=19,

即aw_4（；=］,得----=1,

。10

即端一《0-110=0,解得％°=11或&=-10（舍去），

当q=2d时，［o=q+9d=lld=11,解得［=1，与d>l矛盾，无解;

当％=d时，I。=q+9d=10d=11,解得♦=/

—七时’3件“*工符合题意'

所以等差数列｛q｝的公差"二元.

18.答案：（1）-；

9

（2）。.出义?丫+Z

88⑶4

解析：（1）由题意可得每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面,

所以当Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为2,

3

在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为L

3

因为q=g,

22115

所以鸟=—x——1-—X—

33339

（2）由题意可知匕M=|5+$1—5）=<匕+；,

所以以「；=共+/。=*-1=;(匕3)，

因为片号，所以6-「I」j_

6

所以数列12-g是以;为公比,工为首项的等比数列,

6

1，所以m1

所以巴_-|-----9

22

.1

令q=i，Sa=q+4+%+…+«„-1+«„>

3

则S.=lx；+2x[)+3x[)+.••+(〃一咱+《J，

所以为ix(y+2x(y+3x(1+…+(…小g

3〃

1

所以2s=-+

3"3

32n+3

44

因为4如2+3+…+〃)$—=.

所以2一等x如中

19.答案：5

解析：将第/列10个数之和记为7；(/=1,2,…,10).考虑下表填法,

此时有Ho〉'>…>S]=415>4=330,即九=5满足题意.

100999897654321

96959493121110987

92919089181716151413

88878685242322212019

84838281302928272625

80797877363534333231

76757473424140393837

7271706