新教材2025版高中数学本册过关检测新人教A版选择性必修第一册

本册过关检测考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若直线l的一个方向向量为(－1，eq\r(3))，则它的倾斜角为()A．30°B．120°C．60°D．150°2．已知空间向量a＝(3，5，－2)，b＝(1，λ，－1)且a与b垂直，则λ等于()A．－2B．－1C．1D．23．与向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,7)))平行，且经过点(4，－4)的直线方程为()A．y＝eq\f(2,7)x－eq\f(36,7)B．y＝－eq\f(2,7)x－eq\f(20,7)C．y＝eq\f(7,2)x－18D．y＝－eq\f(7,2)x＋104．圆x2＋y2－6y＋8＝0与圆x2＋y2－8x＝0的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．外离5．已知等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，E，F分别为AD，BC的中点，G为EF的中点，若记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AG,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,8)a＋eq\f(3,4)bB．eq\f(3,8)a＋eq\f(1,2)bC．eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)bD．eq\f(1,4)a＋eq\f(3,8)b6．如图正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长相等，D为AA1的中点，则异面直线A1B与C1D所成的角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)7．已知椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P与焦点F1的距离等于6，则△PF1F2的面积为()A．24B．36C．48D．608．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为()A.eq\f(\r(17),3)B．eq\f(\r(15),3)C．eq\f(\r(11),3)D．eq\f(\r(7),3)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列说法中，正确的是()A．直线x－y－4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8B．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)C．过点(1，1)且与直线2x＋y＋1＝0相互平行的直线方程是y＝－2x＋3D．经过点(1，2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x＋y－3＝010．下列说法正确的有()A．直线mx－y－1＝0恒过定点(0，－1)B．直线l1：mx＋2y－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝2C．圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0的公共弦长为eq\f(12\r(5),5)D．若圆x2＋y2－4x－2y＝0，则过点M(1，0)的最短弦所在直线方程为x－y－1＝011．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为BC、CC1、A1D1、C1D1的中点，则下列结论中正确的是()A．A1E⊥AC1B．BF∥平面ADD1A1C．BF⊥DGD．GE∥HF12．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，点P为C上随意一点，若点M(1，3)，下列结论正确的是()A．|PF|的最小值为2B．抛物线C关于x轴对称C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知空间向量a＝(4，－1，λ)，b＝(2，1，1)，c＝(1，2，1)，若a，b，c共面，则实数λ＝________．14．若抛物线y2＝mx的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则实数m的值为________．15．过直线3x－4y－2＝0上一动点P作圆C：(x＋2)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为________．16．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E为线段B1C1中点，F为线段BC上动点，则|AF|＋|FE|的最小值为________；点F到直线DE距离的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知圆C的圆心坐标为(2，1)，且点P(－1，－3)在圆C上．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线y＝kx＋m－2k与圆相交于A、B两点，当k改变时，线段AB的最小值为6，求m的值．18．(本小题满分12分)已知O为坐标原点，点P在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，点F为抛物线C的焦点，记P到直线x＋2＝0的距离为d，且d－|PF|＝1.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若过点(0，1)的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．19．(本小题满分12分)四棱锥P­ABCD，底面为矩形，PD⊥面ABCD，且AB＝4，BC＝PD＝2，Q点在线段AB上，且AC⊥面PQD.(1)求线段AQ的长；(2)对于(1)中的点Q，求直线PB与面PDQ所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)已知O为坐标原点，双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，点P在双曲线C上，点F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，(|PF1|－|PF2|)2＝4.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点A(－1，0)，B(1，0)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2.证明：k1k2为定值．21．(本小题满分12分)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1B，A1C1的中点．(1)求证：CE∥平面FC1D；(2)求平面FC1D与平面EDC所成的二面角的正弦值．22．(本小题满分12分)已知点A(eq\r(3)，0)，点C为圆B：(x＋eq\r(3))2＋y2＝16(B为圆心)上一动点，线段AC的垂直平分线与直线BC交于点G.(1)设点G的轨迹为曲线T，求曲线T的方程；(2)若过点P(m，0)(m>1)作圆O：x2＋y2＝1的一条切线l交(1)中的曲线T于M、N两点，求△MNO面积的最大值．本册过关检测1．解析：设直线l的倾斜角为α，因为直线l的一个方向向量为(－1，eq\r(3))，所以k＝tanα＝－eq\r(3)，因为α∈[0°，180°)，所以α＝120°.答案：B2．解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴a·b＝5＋5λ＝0，解得λ＝－1.答案：B3．解析：依题意可知，所求直线的斜率为eq\f(2,7)，所以所求直线方程为y＋4＝eq\f(2,7)(x－4)，即y＝eq\f(2,7)x－eq\f(36,7).答案：A4．解析：圆x2＋y2－6y＋8＝0的标准方程为x2＋(y－3)2＝1，圆心(0，3)，半径为1，圆x2＋y2－8x＝0的标准方程为(x－4)2＋y2＝16，圆心(4，0)，半径为4，两圆的圆心距为eq\r(42＋32)＝5＝1＋4，即圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切．答案：C5．解析：因为等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，E，F分别为AD，BC的中点，G为EF的中点，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(AB,\s\up6(→))，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(3,8)a.答案：B6.解析：以C1为原点，构建如图所示的空间直角坐标系，令正三棱柱ABC­A1B1C1的棱长为2，则C1(0，0，0)，D(2，0，1)，A1(2，0，0)，B(1，eq\r(3)，2)，所以C1D＝(2，0，1)，A1B＝(－1，eq\r(3)，2)，则C1D·A1B＝0，即异面直线A1B与C1D所成的角为eq\f(π,2).答案：D7．解析：由题意知|PF1|＝6，a＝7，c2＝49－24＝25⇒c＝5，|F1F2|＝10.依据椭圆定义可知|PF2|＝2a－|PF1|＝8，∴△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×6×8＝24.答案：A8.解析：设双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，H为AB的中点，可得FH⊥AB，由F(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为FH＝d＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以BH＝eq\r(a2－b2)，又eq\o(OA,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))，所以OH＝3BH＝3eq\r(a2－b2)，因为OH＝eq\r(OF2－HF2)＝eq\r(c2－b2)，所以3eq\r(a2－b2)＝eq\r(c2－b2)，整理可得：9a2－c2＝8b2，即9a2－c2＝8c2－8a2，所以17a2＝9c2，可得e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(17,9)，所以e＝eq\f(\r(17),3)，所以双曲线C的离心率为eq\f(\r(17),3).答案：A9．解析：对A，直线x－y－4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是eq\f(1,2)×4×4＝8，故A正确；对B，当x2＝x1或y2＝y1时，式子eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)无意义，故B不正确；对C，与直线2x＋y＋1＝0平行，所求直线设为2x＋y＋C＝0，将点(1，1)代入得C＝－3，所以所求直线为2x＋y－3＝0，即y＝－2x＋3，故C正确；对D，经过点(1，2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x＋y－3＝0或y＝2x，故D错误．答案：AC10．解析：对于A选项，当x＝0时，y＝－1，所以直线过定点(0，－1)，故A选项正确；对于B选项，若l1⊥l2，则m×(m－1)＋2×(－1)＝0，解得m＝2或m＝－1，故B选项错误；对于C选项，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝9,x2＋y2－4x＋2y－3＝0))，两式相减并化简得2x－y－3＝0,x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，到直线的距离d＝eq\f(|2×0－0－3|,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，公共弦长为2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)))\s\up12(2))＝eq\f(12\r(5),5)，故C正确；对于D选项，记圆x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，则kCM＝eq\f(1－0,2－1)＝1，过点M(1，0)的最短弦所在直线方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，故D选项错误．答案：AC11.解析：以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(2，0，0)、A1(2，0，2)、B(2，2，0)、D(0，0，0)、C1(0，2，2)、E(1，2，0)、F(0，2，1)、G(1，0，2)、H(0，1，2).对于A选项，A1E＝(－1，2，－2)，AC1＝(－2，2，2)，则A1E·AC1＝2＋4－4≠0，A错；对于B选项，易知平面ADD1A1的一个法向量为n＝(0，1，0)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－2，0，1)，∵n·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，则n⊥eq\o(BF,\s\up6(→))，又因为BF⊄平面ADD1A1，因此，BF∥平面ADD1A1，B对；对于C选项，eq\o(DG,\s\up6(→))＝(1，0，2)，则eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(DG,\s\up6(→))＝－2＋2＝0，C对；对于D选项，eq\o(GE,\s\up6(→))＝(0，2，－2)，eq\o(HF,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，故eq\o(GE,\s\up6(→))＝2eq\o(HF,\s\up6(→))，又因为GE、HF不重合，所以，GE∥HF，D对．答案：BCD12．解析：设P(x0，y0)，则xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝4y0，y0≥0，又抛物线的焦点为F(0，1)，所以|PF|＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋（y0－1）2)＝eq\r(4y0＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－2y0＋1)＝|y0＋1|＝y0＋1≥1，y0＝0时，等号成立．所以|PF|的最小值是1，A错；抛物线的焦点在y轴上，抛物线关于y轴对称，B错；易知点M在抛物线的内部(含有焦点的部分)，因此过M与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；记抛物线的准线为l，准线方程为y＝－1，过P作PH⊥l于H，过M作MN⊥l于N，则|PF|＝|PH|，|PM|＋|PF|＝|MP|＋|PH|，所以当M，P，H三点共线，即H与N重合时，|PM|＋|PF|最小，最小值为3＋1＝4.D正确．答案：CD13．解析：因为a，b，c共面且c，b不共线，所以可设xb＋yc＝a，所以(2x＋y，x＋2y，x＋y)＝(4，－1，λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝4,x＋2y＝－1,x＋y＝λ))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－2))，所以λ＝x＋y＝3－2＝1.答案：114．解析：由椭圆方程eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1可知，a2＝6，b2＝2，则c2＝a2－b2＝4，即椭圆的右焦点的坐标为(2，0)，抛物线y2＝mx的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)，0))，∵抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，∴eq\f(m,4)＝2，即m＝8.答案：815．解析：依据题意可知：当圆心(－2，0)与点P的距离最小时，切线长PA，PB最小，则四边形PACB的面积最小，此时CP是点C到已知直线的垂线段.∵圆心到直线的距离为d＝eq\f(|3×（－2）－4×0－2|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(8,5)，∴|PA|＝|PB|＝eq\r(d2－r2)＝eq\f(\r(39),5)，∴四边形PACB面积的最小值为SPACB＝2×eq\f(1,2)×|PA|×r＝eq\f(\r(39),5).答案：eq\f(\r(39),5)16．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(2，0，0)，E(1，2，2)，D(0，0，0)，F(x，2，0).空一：|AF|＋|FE|＝eq\r(（x－2）2＋4)＋eq\r(（x－1）2＋4)，代数式eq\r(（x－2）2＋4)＋eq\r(（x－1）2＋4)表示横轴上一点M(x，0)到点N(2，2)和点P(1，2)的距离之和，如下图所示：设N(2，2)关于横轴的对称点为Q(2，－2)，当线段PQ与横轴的交点为M点时，|AF|＋|FE|有最小值，最小值为|PQ|＝eq\r(（2－1）2＋（－2－2）2)＝eq\r(17)；空二：设FO⊥DE，O为垂足，则有O(λ，2λ，2λ)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，2，2)，eq\o(FO,\s\up6(→))＝(λ－x，2λ－2，2λ)，因为eq\o(FO,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\o(FO,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝0⇒λ－x＋2(2λ－2)＋2·2λ＝0⇒x＝9λ－4，因此|eq\o(FO,\s\up6(→))|＝eq\r(（λ－x）2＋（2λ－2）2＋（2λ）2)＝eq\r(（λ－9λ＋4）2＋（2λ－2）2＋（2λ）2)，化简得：|eq\o(FO,\s\up6(→))|＝eq\r(2（6λ－3）2＋2)，当6λ－3＝0时，即λ＝eq\f(1,2)时，此时x＝eq\f(1,2)，|eq\o(FO,\s\up6(→))|有最小值，即最小值为eq\r(2)答案：eq\r(17)eq\r(2)17．解析：(1)由题意得r＝|CP|＝eq\r(（2＋1）2＋（1＋3）2)＝5，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.(2)若|AB|＝6，可知圆心到直线的距离为4，而圆心到直线的距离d＝eq\f(|m－1|,\r(1＋k2))，当k＝0时，线段AB的最小值为6，此时d＝|m－1|＝4，∴m＝5或m＝－3.18．解析：(1)因为d－|PF|＝1，所以P到直线x＝－1的距离等于|PF|，所以抛物线C的准线为x＝－1，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x；(2)当直线l的斜率不存在时，方程为x＝0，此时直线l恰与抛物线C相切，当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋1，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,y2＝4x))，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，若k＝0，明显不合题意；若k≠0，则Δ＝(2k－4)2－4k2＝16－16k＝0，解得k＝1，此时直线l的方程为y＝x＋1，综上，直线l与抛物线C相切时，l的方程为x＝0或y＝x＋1.19．解析：(1)∵AC⊥平面PQD，QD⊂平面PQD，∴AC⊥QD，在矩形ABCD中，易得：△ADQ∽△DCA，∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(AQ,DA)，∴AQ＝eq\f(AD2,DC)＝eq\f(BC2,AB)＝eq\f(4,4)＝1；(2)如图建立空间直角坐标系：则D(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2，4，－2).由题意可知：eq\o(AC,\s\up6(→))为平面PDQ的一个法向量，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，4，0)，∴cos〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－4＋16,\r(20)·\r(24))＝eq\f(12,2\r(5)×2\r(6))＝eq\f(3,\r(30))＝eq\f(\r(30),10)，直线PB与面PDQ所成角的正弦值为eq\f(\r(30),10).20．解析：(1)由题知：||PF1|－|PF2||＝2，由双曲线的定义知：2a＝2，a＝1，又因为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，所以b2＝c2－a2＝2，所以双曲线C的标准方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.(2)设P(x0，y0)，则xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),2)＝1，因为A(－1，0)，B(1，0)，所以k1＝eq\f(y0,x0＋1)，k2＝eq\f(y0,x0－1)，所以k1k2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0－1)))＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1)＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),2)))－1)＝2，为定值．21．解析：(1)证明：如图，连接A1D，CD1，DC1∩CD1＝G，连接A1G，∵BC∥A1D1且BC＝A1D1，∴四边形BA1D1C是平行四边形，∴A1B∥CD1且A1B＝CD1，∵E是A1B中点，G是CD1中点，∴A1E∥CG且A1E＝CG，∴四边形A1ECG是平行四边形，∴A1G∥CE，∵A1G⊂平面FC1D，CE⊄平面FC1D，∴CE∥平面FC1D；(2)如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，C1(0，2，2)，F(1，1，2)，C(0，2，0)，E(2，1，1)，则eq\o(DF,\s\up6(→))＝(1，1，2)，DC1＝(0，2，2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2，1，1)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(2，－1，1)，设平面FC1D的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋y1＋2z1＝0,y1＋z1＝0))，取m＝(1，1，－1)；设平面EDC的法向量为n