2025届新高考数学培优专练专题18利用函数的极值求参数值教师版

专题18利用函数的极值求参数值一、单选题1．若函数的极值为，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】对分和两种状况探讨，分析函数的单调性，结合函数的极值为，可求得实数的值.【详解】由已知可得.当时，对随意的，，此时函数在上单调递增，函数无极值；当时，令，可得，此时函数单调递减；令，可得，此时函数单调递增.所以，函数的微小值为，令，则且，.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以，，由于，.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的极值存在的条件求参数的值，考查计算实力，属于中等题.2．已知，，若是函数的微小值点，则实数的取值范围为（）A．且 B． C．且 D．【答案】B【分析】由既是的微小值点，又是零点，且的最高次项系数为1，因此可设，这样可求得，然后求出，求得的两个零点，一个零点是，另一个零点必是极大值点，由可得的范围．【详解】因为，是函数的微小值点，结合三次函数的图象可设，又，令得，，即，，由得，，是微小值点，则是极大值点，，所以．故选：B．【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由微小值点大于极大值点可得所求范围．3．若，，且函数在处有极值，则的最大值等于（）.A．16 B．25 C．36 D．49【答案】C【分析】先对函数求导，依据题中条件，得到，再结合基本不等式，即可得出结果.【详解】因为，所以，又函数在处有极值，所以，即，因为，，所以，当且仅当时，等号成立.故选：C.4．若函数不存在极值点，则的取值范围是（）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】由已知条件得只有一个实数根或没有实数根，从而由此能求出的取值范围.【详解】，在定义域内不存在极值，只有一个实数根或没有实数根，，故选：D.【点睛】本題主要考查极值的概念，利用导数探讨函数的极值，考查发推理论证实力，转化实力，属于中档题.5．函数在处取得极值，则（）A．，且为极大值点 B．，且为微小值点C．，且为极大值点 D．，且为微小值点【答案】B【分析】先求导，再依据题意得，由此求得，再依据导数探讨函数的极值．【详解】解：∵，∴，又在处取得极值，∴，得，∴，由得，，即，∴，即，同理，由得，，∴在处旁边的左侧为负，右侧为正，∴函数在处取得微小值，故选：B．【点睛】本题主要考查利用函数的导数探讨函数的单调性与极值，属于基础题．6．已知在处取得极值，则的最小值是（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】求导，依据极值点得到，，绽开利用均值不等式计算得到答案.【详解】，故，依据题意，即，经检验在处取得极值.，当且仅当，即时，等号成立.故选：.【点睛】本题考查了依据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用实力.7．若函数在区间内有微小值，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，依据在内有微小值可得的图象性质，从而可求的取值范围.【详解】，由题意在区间上有零点，且在该零点的左侧旁边，有，右侧旁边有.则在区间上有零点，且在该零点的左侧旁边，有，右侧旁边有.当时，为开口向上的抛物线且，故，无解.当，则，舍.当，为开口向下的抛物线，其对称轴为，故，解得.故选：C.【点睛】本题考查函数的极值，留意依据极值的类型推断导数的函数图象性质，本题属于中档题.8．已知函数的极大值为4，若函数在上的微小值不大于，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和微小值的定义求解即可.【详解】∵，当时，，无极值；当时，,的递增区间是,递减区间是，在处取得极大值，则有，解得，于是，.当时，，在上不存在微小值.当时，在单调递减，在单调递增，所以在处取得微小值，依题意有，即解得.故选：A.【点睛】本小题主要考查的数学学问是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类探讨的数学思想方法.9．已知函数在处取极大值，则（）A．－2或－6 B．2或6 C．6 D．2【答案】C【分析】由题意可知，从而可求得的值，然后再验证在x＝2处是否取得极大值即可【详解】解：由，得，因为函数在处取极大值，所以，即，解得或，当时，，令，得或，令，得，所以在处取得极大值，在处取得微小值，所以不合题意，当时，，令，得或，令，得，所以在处取得极大值，在处取得微小值，所以，故选：C【点睛】此题考查由函数的极值点求参数，考查导数的应用，属于基础题10．已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求导得，令，，转化条件为要使函数、的图象有两个不同交点，由导数的几何意义、函数的图象可得；数形结合可得当时，函数单调递减，且，即可得、，即可得解.【详解】因为，所以若要使函数有两个极值点，则有两个零点，令，，则要使函数、的图象有两个不同交点，易知直线恒过点，，在同始终角坐标系中作出函数、的图象，如图，当直线与函数的图象相切时，设切点为，则，所以，，所以当且仅当时，函数、的图象有两个不同交点，所以若要使函数有两个极值点，则，故A、B错误；当时，由图象可得当时，，函数单调递减，且，所以，，故C正确，D错误.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数探讨函数的切线、极值及函数与方程的综合应用，考查了运算求解实力与数形结合思想，属于中档题.二、解答题11．已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求证：函数在上恰有一个零点；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）法一：利用导数的性质进行求证即可；法二：利用函数的性质干脆推断即可求证；（2）对求导，得，构造函数，利用导数的性质求出参数的范围即可【详解】（1）法一：易得：，∴，令，∴，令，∴，∴在上单调递减，且；在上单调递增且有，，故命题获证.法二：易得：，恒成立，有唯一零点.（2）易得，令得，∴在上单调递减且；在上单调递增且有，∵函数有两个极值点，∴.【点睛】关键点睛：解题的关键在于求导得到后，构造函数，并通过对通过求导得到奇函数的极值点，进而求出的范围，难度属于中档题12．已知函数，且在处取得极值．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若当时，恒成立，求c的取值范围；（Ⅲ）对随意的，是否恒成立？假如成立，给出证明；假如不成立，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）c的取值范围是．（Ⅲ）成立，证明见解析.【分析】（Ⅰ）由题意得f（x）在x＝1处取得极值所以f′（1）＝3﹣1+b＝0所以b＝﹣2．（Ⅱ）利用导数求函数的最大值即g（x）的最大值，则有c2＞2+c，解得：c＞2或c＜﹣1．（Ⅲ）对随意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min．【详解】（Ⅰ）∵f（x）＝x3x2+bx+c，∴f′（x）＝3x2﹣x+b．∵f（x）在x＝1处取得极值，∴f′（1）＝3﹣1+b＝0．∴b＝﹣2．经检验，符合题意．（Ⅱ）f（x）＝x3x2﹣2x+c．∵f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），当x∈（﹣1，）时，f′（x）＞0当x∈（，1）时，f′（x）＜0当x∈（1，2）时，f′（x）＞0∴当x时，f（x）有极大值c．又f（2）＝2+cc，f（﹣1）cc∴x∈[﹣1，2]时，f（x）最大值为f（2）＝2+c．∴c2＞2+c．∴c＜﹣1或c＞2．（Ⅲ）对随意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立．由（Ⅱ）可知，当x＝1时，f（x）有微小值c．又f（﹣1）cc∴x∈[﹣1，2]时，f（x）最小值为c．∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，故结论成立．【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为0要检验，结论点睛：|f（x1）﹣f（x2）|≤a恒成立等价为f（x）max﹣f（x）min≤a13．设函数，其图像与轴交于，两点，且．（I）求的取值范围；（Ⅱ）证明：．【答案】（I）；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（I）先求出，易得当不符合题意；当时，当时，取得微小值，所以，得到的范围，再由，，结合零点存在定理，得到答案.（Ⅱ）由题意，，两式相减，得到，记，将转化为，再由导数求出其单调性，从而得到.【详解】（I）解：因为，所以.若，则，则函数是单调增函数，的图像与轴至多有一个交点，这与题设冲突.所以，令，则.当时，，是单调减函数；时，，是单调增函数；于是当时，取得微小值.因为函数的图像与轴交于两点，，所以，即.此时，存在，；存在，又，又在上连续，故.（Ⅱ）证明：因为，两式相减得.记，则，设，因为，所以，，当且仅当时，即，而，所以，则，所以是单调减函数，则有，而，所以.【点睛】思路点睛：已知函数的零点状况求参数的取值范围，通常通过探讨函数的单调性，进一步探讨函数的值域，再解不等式求得参数的范围；证明函数值恒小于零，通过换元法构造新函数，再探讨新函数的单调性和值域即可证明，不过这类题涉及学问点多，难度大.14．已知函数.（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）当时，，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）2；（2）.【分析】（1）由解析式得到导函数，结合是函数的一个极值点，即可求的值；（2）由题设分析知，在内有，结合已知，探讨、、、分别求的范围，然后求并集即可.【详解】解：（1）由函数解析式知：，由题意，得，故.经检验，满意题意.（2）由已知，当时，只需，..①当时，在单减，在单增.所以，而，，故.所以，解得（舍去）.②当时，在单增，在单减，在单增.由于，所以只需，即，所以.③当时，，在单增，所以，满意题意.④当时，在单增，在单减，在单增.由于，所以只需，即，所以.综上，知：.【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般应用极值点处的导数为0列方程；函数在闭区间内随意两个函数值的差小于定值转化为最值间的距离小于该定值，（1）当有极值则，即可得有关参数的方程；（2），恒成立转化为，；15．已知函数，且（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，令，求的单调区间；【答案】（1）；（2）的单调递减区间为，单调递增区间为.【分析】（1）求出导函数，由，可解得，得函数解析式；（2）求出，然后求出的解，确定的正负，得单调区间．【详解】（1）函数的定义域为由已知可得：解得，经检验：符合题意（2）的定义域为由于满意故：在上单增，故：当时，恒成立故单调递减单调递增故：的单调递减区间为，单调递增区间为【点睛】本题考查用导数探讨函数的极值，求单调区间，解题基础是驾驭导数的运算法则，求出导函数．再依据导数与极值、单调性的关系求解．16．设函数（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（2）设，若当时，函数的两个极值点，满意，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先由题中条件，得出函数定义域，由题意，得到在上有两个零点，即在上有两个不等实根，设，，得到函数与直线在上有两个不同交点，对函数求导，判定其单调性，得出最值，进而可得出结果；（2）对函数求导，依据题中条件，由韦达定理，得到，求出得到，，设，对其求导，用导数的方法求出最值，即可得出结果.【详解】（1）由已知，可知函数的定义域为，在上有两个零点，即方程在上有两个不等实根，设，，因此函数与直线在上有两个不同交点，又，由得；由得；则函数在上单调递增，在上单调递减；则；又当时，，当时，；为使函数与直线在上有两个不同交点，只需，解得，即实数的取值范围是.（2）证明：因为，∴，由的两根为，，故可得，因为，所以，又，所以，解得，∴，∴，，设，，则，当，，是增函数；所以；因此.【点睛】本题主要考查由函数极值点个数求参数，考查由导数的方法证明不等式，属于常考题型.17．已知函数在处取得极值．（1）求实数a的值．（2）当时，求函数的最小值．【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）在处取得极值，则可求出的值；（2）求出函数在上的单调区间，从而得出函数的最小值；【详解】解：（1）由，∵函数在处取得极值，∴，解得，当时，，令，得或，令，得，∴函数在，上单调递增，在上单调递减，∴极大值，微小值∴符合题意．（2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减；极大值，微小值，且，∴当时，求函数的最小值为：．【点睛】本题考查利用导数探讨函数的极值与最值，属于中档题.18．设函数．（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得微小值，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用导数的几何意义可得，即可得答案；（2）利用极值的定义对分、、三种状况进行探讨；【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴．（2）．①当时，令，得，、随改变如下表：10极大值∴在处取得极大值（舍去）．②当时，令得，．（ⅰ）当，即时，在上单调增，∴无极值（舍）．（ⅱ）当，即时，，随改变如下表：100极大值微小值∴在处取极大值（舍）．（ⅲ）当，即时，，随改变如下表：100极大值微小值∴在处取微小值即成立．③当时，令得，．100微小值极大值∴在处取极大值（舍）．综上所述：的取值范围为．【点睛】本题考查导数的几何意义、极值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类探讨思想，考查逻辑推理实力、运算求解实力.19．已知函数.（1）当时，求证：恰有1个零点；（2）若存在极大值，且极大值小于0，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先求导，依据导数和函数最值得关系求出最值，即可推断；（2）先求导，再分类探讨，依据导数和函数极值的关系即可求出a的取值范围.【详解】（1）当时，函数的定义域为,可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值，所以函数恰有1个零点.（2）由函数，其中，可得，①当时，令，解的，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，解得，所以.②当时，令，解的或，若时，即时，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；即函数在区间上单调递增，在单调递减，当时，函数取得极大值，极大值为，解得，所以；若时，即时，可得，函数在单调递增，函数无极值；若时，即时，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；即函数在区间上单调递增，在单调递减，当时，函数取得极大值，极大值为恒成立，所以.综上所述，函数存在极大值，且极大值小于0，则a的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用导数探讨函数的单调性与极值的综合应用，其中解答中熟记导数与函数间的关系，着重考查导数的应用，以及分类探讨思想，属于中档试题.20．已知函数，是的导函数.（1）若，当时，函数在内有唯一的微小值，求的取值范围；（2）若，，试探讨的零点个数.【答案】（1）；（2）有3个零点.【分析】（1）先求导得，求出，再由和两种状况探讨求得的取值范围；（2）分析可知，只需探讨时零点的个数状况，再分两种情形探讨即可.【详解】解：（1）当时，，，在是增函数，，，当时，在是减函数，无极值；当时，，使得，从而在单调递减，在单调递增，为唯一的微小值点，所以（2）当时，，，可知，（i）时，，无零点；所以只需探讨，，（ii）时，，可知单调递减，，，存在唯一的，；（iii）当，是减函数，且，则，，在是增函数，是减函数，并且，，，所以，；，，且知在减，在增，在减，又因为，，，，，，，综上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有3个零点.【点睛】本题主要考查利用导数探讨函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.21．设函数，其中.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上有极大值，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）求导得，令，则，则可证明在上恒成立，则在递减，即在上单调递减，若函数在上有极大值，则只需即可.【详解】（Ⅰ）由题意，求导得.所以，.所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ），令，则.因为对于，恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，因为在上有极大值，所以在上存在“左正右负”变号零点.由零点存在性定理：只需，即所以.所以函数在上有极大值时，的取值范围为.【点睛】本题考查曲线的切线方程求解，考查依据函数的极值点求参数的取值范围问题，难度较大.解答时分析清晰函数的单调性是核心.22．已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若不等式对随意的都成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)先利用导数求切线的斜率,再求切线方程;(2)依据题意可得对随意的，都成立，当时,明显成立;当时,设，问题即转化为恒成立,只须要即可,因为(当且仅当时取等号)，即满意即有对恒成立,构造,通过求导推断函数的单调性求最小值,即可求得的取值范围.【详解】（1）设，则，当时，，，∴函数在处的切线方程为，即.（2）依据题意可得对随意的，都成立，当时，不等式即为，明显成立；当时，设，则不等式恒成立，即为不等式恒成立，∵(当且仅当时取等号)，∴由题意可得，即有对恒成立，令，则，令，即有，令，则，当时，，在上单调递增，又，有且仅有一个根，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取得最小值，为，∴．∴实数的取值范围【点睛】本题考查导数的几何意义,考查利用导数探讨函数恒成立问题求解参数范围,考查转化与化归思想,考查计算实力,综合性较强,难度困难.23．已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)若函数在上有极值，求的取值范围．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】（1）由题意，因为，，利用点斜式方程即可求解切线的方程；（Ⅱ）由，分和探讨，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数的取值范围．【详解】函数的定义域为，．（Ⅰ）因为，，所以曲线在点处的切线方程为：，即．（Ⅱ）．（ⅰ）当时，对于随意，都有，所以函数在上为增函数，没有极值，不合题意．（ⅱ）当时，令，则．所以在上单调递增，即在上单调递增，所以函数在上有极值，等价于所以所以．所以的取值范围是．24．已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在处取得极大值，求实数m的取值范围.【答案】（Ⅰ）的增区间为，减区间为；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）定义域为，求出函数的导数，利用导函数的符号推断函数的单调性求解单调区间即可.（Ⅱ）求出函数的导数，通过探讨①当时，②，③当时，推断函数的单调性求解函数的极值即可.【详解】解：（Ⅰ）定义域为，当时，，令得，令得.所以的增区间为，减区间为.（Ⅱ），①时，在递减，在递增，函数在处取得微小值，不合题意；②当时，若，则.此时，函数在处不行能取得极大值.③当m<-e时，ln（-m）>1.函数在处取得极大值.综上可知，m的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查已知函数的极值求参数，考查学生的计算实力以及转化实力，属于中档题.25．已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）求导.由已知得，解得.再验证，可得答案.（2）由已知得，求导得单调性.分，，三种状况分别求函数在上的最大值.【详解】（1）因为，所以函数的定义域为.所以.因为在处取得极值，即，解得.当时，在上，在上，此时是函数的微小值点，所以.（2）因为，所以，.因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减.①当时，在上单调递增，所以；②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以；③当，即时，在上单调递减，所以.综上所述，当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是.【点睛】本题考查运用导函数探讨函数的极值，函数的单调性，以及函数的最值，关键在于分析导函数取得正负的区间，属于较难题.26．已知函数（）.（1）若是函数的极值点，求a的值及函数的极值；（2）探讨函数的单调性.【答案】（1）；极大值为，微小值为；（2）答案见解析.【分析】（1）由极值点处导数值为0即可求a的值，进而得到的解析式，利用其导函数探讨单调区间，求的极值；（2）利用的导函数，结合分类探讨确定各种状况下的单调性；【详解】（1）∵，∴，由题意知：，解得，此时，有，当和时，，是增函数，当时，，是减函数，∴函数在和处分别取得极大值和微小值，的极大值为，的微小值为.（2）由（1）知，①当，即时，则：当时，，单调递减；当时，，单调递增．②当，即时，则：当和时，，单调递增；当时，，单调递减．③当，即时，则当和时，，单调递增；当时，，单调递减．④当，即时，，在定义域上单调递增．综上：①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；②当时，在定义域上单调递增；③当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；④当时在区间上单调递减，在区间上单调递增．【点睛】本题考查了利用导函数探讨函数的性质，由极值点与导数的关系求参数，进而求函数的极值，结合分类探讨的方法说明参数在不同范围内函数的单调区间；27．已知函数（1）若，函数的极大值为，求a的值；（2）若对随意的，在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先对函数求导，得到，分别探讨，两种状况，依据导数的方法判定函数单调性，得出极值，依据题中条件，即可得出结果；（2）令，依据题中条件，将不等式恒成立问题转化为对恒成立，等价于，对恒成立，先探讨时，求得，不满意题意；再探讨时，，，对其求导，得到，令，，再分别探讨，两种状况，依据导数的方法，即可得出结果.【详解】（1）由题意，.（i）当时，，令，得；，得，所以在单调递增，单调递减，因此的极大值为，不合题意；（ii）当时，，令，得；，得或，所以在单调递增，在，在单调递减.所以的极大值为，得.综上所述；（2）令，，当时，，则对恒成立等价于，即，对恒成立.（i）当时，，，，此时，不合题意.（ii）当时，令，，则，其中，令，，则在区间上单调递增，①时，，所以对，，从而在上单调递增，所以对随意，，即不等式在上恒成立.②时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，.从而时，，所以在区间上单调递减，则时，，即，不符合题意.综上所述，.【点睛】本题主要考查由函数的极大值求参数，考查导数的方法探讨不等式恒成立的问题，属于常考题型，难度较大.28．已知函数在处取得极值为2，（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；（3