2025版新教材高中数学课时作业33直线与平面垂直的判定新人教A版必修第二册

课时作业33直线与平面垂直的判定基础强化1.已知直线a⊥平面α，直线b⊂平面α，则下列结论肯定成立的是()A．a与b相交B．a与b异面C．a⊥bD．a与b无公共点2．下列说法中可以推断直线l⊥平面α的是()A．直线l与平面α内的一条直线垂直B．直线l与平面α内的两条直线垂直C．直线l与平面α内的两条相交直线垂直D．直线l与平面α内的多数条直线垂直3．在正方体ABCD­A1B1C1D1的6个面中，与AA1垂直的平面有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°5．(多选)下列命题中正确的有()A．过直线l外一点，有且只有一个平面与l垂直B．假如三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面C．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面D．过点A且垂直于直线a的全部直线都在过点A且垂直于a的平面内6．(多选)若下列平面中的两条直线与直线a垂直，则可以保证直线a与平面垂直的是()A．四边形的两边B．正六边形的两边C．圆的两条直径D．三角形的两边7．过平面外一点P的斜线段是过这点的垂线段的eq\f(2\r(3),3)，则斜线段与平面α所成的角是________.8．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是________.9.如图，在三棱锥V­ABC中，VA＝VC，BA＝BC，K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB.10．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为AC的中点，若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝eq\f(π,2)，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值．实力提升11.如图，圆柱OO′中，AA′是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则()A．BC⊥平面A′ACB．BC⊥平面A′ABC．AC⊥平面A′BCD．AC⊥平面A′AB12.如图，假如MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．不垂直C．垂直D．相交13．在四面体P­ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影肯定是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心14．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则()A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°[答题区]题号12345611121314答案15.已知四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，则该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是________．16.如图，在四棱锥V­ABCD中，VA＝VD，BA＝BD.(1)证明：AD⊥VB.(2)在棱VC上是否存在一点P，使得VC⊥平面PAD？若存在，指出点P的位置；若不存在，说明理由．课时作业33直线与平面垂直的判定1．解析：因为直线a⊥平面α，直线b⊂平面α，依据线面垂直的定义，所以a⊥b，其他选项不肯定成立．故选C.答案：C2．解析：依据线面垂直的判定定理：直线垂直平面内两条相交直线，强调两条、相交，A、B不正确，C正确；依据线面垂直定义：直线垂直平面内的任一条直线，此时强调任一条，不是多数条，因为这多数条直线可能是平行的，D不正确．故选C.答案：C3.解析：在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体ABCD­A1B1C1D1的6个面中，与AA1垂直的平面有平面ABCD和平面A1B1C1D1，共2个．故选B.答案：B4．解析：正四棱锥P­ABCD，连接底面对角线AC，令正四棱锥边长为1，则AC＝eq\r(2)，易知△PAC为等腰直角三角形．AC中点为O，由正四棱锥知，PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求，所以侧棱和底面所成的角为45°.故选B.答案：B5．解析：过直线l外一点，有且只有一个平面与l垂直，故A正确；假如三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面，故B正确；垂直于角的两边(角两边不共线)的直线必垂直于该角所在的平面，故C错误；过点A且垂直于直线a的全部直线都在过点A且垂直于a的平面内，故D正确．故选ABD.答案：ABD6．解析：对于A，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于B，若直线a垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于C，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于D，三角形的随意两边肯定相交，故能保证线面垂直．故选CD.答案：CD7．解析：如图，连接AB，由PB⊥α，知∠PAB是线段PA与平面α所成角，在Rt△PAB中，因为PA＝eq\f(2\r(3),3)PB，所以sin∠PAB＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(\r(3),2)，∠PAB∈(0，eq\f(π,2))，所以∠PAB＝eq\f(π,3)，即线段PA与平面α所成角为eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)8．解析：∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，又BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，又AB∩BC＝B，且AB，BC⊂平面ABC，∴直线l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，故l⊥AC.答案：l⊥AC9．证明：∵VA＝VC，∴三角形VAC是等腰三角形，∵K是AC中点，∴VK⊥AC，又BA＝BC，∴BK⊥AC.∵VK与BK交于点K，∴AC⊥平面VKB.10．解析：如图，过点C作CH⊥C1D于点H，连接AC1.∵三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD.∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1.∵CH⊂平面ACC1，∴BD⊥CH.又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，∴CH⊥平面BC1D，∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角．设AB＝2a，则CD＝eq\r(2)a，C1D＝eq\r(6)a，∴sin∠CC1D＝eq\f(CD,C1D)＝eq\f(\r(2)a,\r(6)a)＝eq\f(\r(3),3).11．解析：对于A：依题意AA′⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA′⊥BC，又AB是底面圆的直径，所以BC⊥AC，AA′∩AC＝A，AA′，AC⊂平面AA′C，所以BC⊥平面AA′C，故A正确；对于B：明显BC与AB不垂直，则BC不行能垂直平面A′AB，故B错误；对于C：明显AC与A′C不垂直，则AC不行能垂直平面A′BC，故C错误；对于D：明显AC与AB不垂直，则AC不行能垂直平面A′AB，故D错误．故选A.答案：A12．解析：连接AC，因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又MC⊥菱形ABCD所在的平面，BD⊂平面ABCD，所以MC⊥BD，又MC∩AC＝C，MC，AC⊂平面MAC，所以BD⊥平面MAC，MA⊂平面MAC，所以MA⊥BD.故选C.答案：C13．解析：如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∵PA＝PB＝PC，PO为公共边，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．故选A.答案：A14．解析：如图，连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝eq\f(OC1,BC1)＝eq\f(1,2)，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，为45°，故D正确．故选ABD.答案：ABD15．解析：由题意，在四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥AB，所以△PAD，△PAB为直角三角形；又由四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC，结合PA⊥BC，PA∩AB＝A，可得BC⊥平面PAB，又因为PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，同理，△PCD也为直角三角形．所以该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是4.答案：416．解析：(1)证明：取AD中点E，连接EV，EB.因为VA＝VD，所以AD⊥VE.因为BA＝BD，所以AD⊥EB.