2024-2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质质量评估新人教A版必修第一册

第三章质量评估(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=12x-A.0,B.3C.-∞,3D.3答案:D2.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为 ()A.15B.17C.-17D.31答案:D3.已知函数y=ax和y=-bx在区间(0,+∞)上都是减函数,则f(x)=bx+a是 (A.增函数,且f(0)>0 B.增函数,且f(0)<0C.减函数,且f(0)>0 D.减函数,且f(0)<0答案:D4.若不等式x2+2x-a>0对随意x∈[1,+∞)恒成立,则a的取值范围是 ()A.(-∞,3] B.(3,+∞)C.(-∞,3) D.[3,+∞)答案:C5.若奇函数f(x)在区间[1,3]上单调递增,且有最小值0,则它在区间[-3,-1]上 ()A.单调递减,有最小值0 B.单调递增,有最小值0C.单调递减,有最大值0 D.单调递增,有最大值0答案:D6.若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则∑k=122f(k)A.-3 B.-2 C.0 D.1解析:令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x)⇒f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),消去f(x+2)和f(x+1)得到f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即f(x)周期为6.令x=1,y=0得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)⇒f(0)=2,f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2.故∑k=122f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3.即∑k=122f(k)=-答案:A7.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x15(7+3t-2tA.-1 B.0 C.1 D.-1或1答案:D8.若函数f(x)=cx2x+3x≠0,且x≠-32A.3 B.-3 C.3或-3 D.5或-3答案:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数f(x)=x,x≥A.f(f(-2))=-4 B.f(f(-2))=4C.f(f(2))=-2 D.f(f(2))=2答案:BD10.设f(x)是定义在区间[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式肯定成立的是()A.f(-1)<f(4) B.f(4)>f(3)C.f(2)>f(0) D.f(1)<f(-4)答案:AD11.偶函数y=f(x)的部分图象如图所示,依据图象所给的信息,下列结论正确的是 ()A.函数f(x)肯定有最小值B.f(-1)-f(2)=0C.f(-1)-f(2)<0D.f(-1)+f(2)>0答案:CD12.某工厂生产某产品xt所需费用为P元,而卖出的价格为每吨Q元,已知P=1000+5x+110x2,Q=a+xb,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150t时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有 (A.a=45 B.a=30 C.b=45 D.b=-30答案:AD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数f(x)=1x+1-x的定义域是(-∞,0)14.若函数f(x)=x2+axx是奇函数,则f15.如图所示,定义在区间[-1,+∞)内的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则函数f(x)的解析式为y=x+16.已知函数f(x)=|x|,x>0,-x2-2x+四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.(1)画出偶函数f(x)的大致图象,并依据图象写出函数f(x)的单调递增区间;(2)当直线y=k(k∈R)与函数y=f(x)的图象恰有4个交点时,求k的取值范围.解:(1)大致图象如图,单调递增区间为[-1,0],[1,+∞).(2)由图象可知,当-1<k<0时,直线y=k(k∈R)与函数y=f(x)的图象恰有4个交点.18.(12分)已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)(k∈Z)满意f(2)<f(3).(1)求实数k的值,并写出函数f(x)的解析式.(2)对于(1)中的函数f(x),试推断是否存在正数m,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在区间[0,1]上的最大值为5.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.解:(1)对于幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)满意f(2)<f(3),因此(2-k)(1+k)>0,解得-1<k<2,因为k∈Z,所以k=0或k=1,当k=0时,f(x)=x2,当k=1时,f(x)=x2.综上所述,k的值为0或1,f(x)=x2.(2)函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x=-mx2+(2m-1)x+1,因为m>0,所以抛物线开口向下,对称轴方程为x=2m-12m=1-12所以1-1解得m=52+6,且满意题意19.(12分)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,有f(x)=4x(1)推断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并证明;(2)求函数f(x)的解析式(写成分段函数的形式).解:(1)f(x)=4xx+4证明:设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=4x1x1+4-4x2所以x1-x2>0,x1x2≥0,x1+x2>0,所以16(x1则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)=4xx+4(2)因为当x≥0时,有f(x)=4xx+4,而当x<所以f(-x)=-4x-x+4=4xx-4=f(x),即所以f(x)=420.(12分)由于共享单车停取便利、租用价格低廉,各色共享单车受到人们的宠爱.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20000元,每生产一辆新样式单车须要增加投入100元.依据初步测算,自行车厂的销售额(单位:元)满意分段函数h(x),其中h(x)=400x是新样式单车的月产量(单位:辆),利润=销售总额-总成本.(1)试将自行车厂的利润y(单位:元)表示为月产量x(单位:辆)的函数;(2)当月产量为多少辆时,自行车厂的利润最大?最大利润是多少?解:(1)依题设,总成本为20000+100x,则y=-(2)当0<x≤400时,y=-12(x-300)2+则当x=300时,ymax=25000;当x>400时,y=60000-100x是减函数,则ymax<60000-100×400=20000,所以当月产量x=300辆时,自行车厂的利润最大,最大利润为25000元.21.(12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别为M,m.集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值;(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.解:(1)由f(0)=2,可知c=2.又A={1,2},故1,2是关于x的方程ax2+(b-1)x+2=0的两个实数根,所以1+2=1-所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2],所以f(x)min=f(1)=1,即m=1;所以f(x)max=f(-2)=10,即M=10.(2)由题意知,关于x的方程ax2+(b-1)x+c=0有两个相等的实数根,即x1=x2=1,所以1+1=1-ba,1=ca,即b=1-2a,c其对称轴方程为x=2a-12a又a≥1,故1-12a∈所以M=f(-2)=9a-2,m=f2a-12ag(a)=M+m=9a-14a-1,又g(a)在区间[1,所以当a=1时,g(a)min=g(1)=31422.(12分)记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使得f(x)=x成立,则称(x0,x0)为函数f(x)图象上的“稳定点”.(1)是否存在实数a,使函数f(x)=3x-1x(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,求证函数f(x)必有奇数个稳定点.(1)解:设函数f(x)=3x则f(x)=3x-即x2所以(解得a<1或a>5,且a≠-13因此存在a∈-∞,-13∪-13,1