《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计

《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计一、教材分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数原理问题的最基本、最重要的方法.它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章是奠基性的知识.从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题将是将一个复杂问题解决过程分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；运用分步乘法计数原理解决问题将是将一个复杂问题解决过程分解为若干“步骤”，先对每个步骤进行细致分析，再整合为一个完整过程。由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此理解和掌握两个计数原理，是学好本章的关键.教学目标设置1.通过实例归纳总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣；2.掌握两个计数原理，能说明它们的不同之处，能根据具体问题特征、选择恰当的原理解决实际问题；3.通过对实际问题的分析，把实际问题数学化，即把实际问题转化为数学问题，以此培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养，提高学生分析和解决实际问题的能力.学生学情分析1.认知基础：计数问题学生在不同学段都有接触，特别是在高中学习“古典概型”时，学生又学会了用树状图、列举法解决最简单的计数问题；同时在学习和生活中，学生已经不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题.2.能力基础：高二学生有较强的观察能力和一定的数学抽象概括能力.3.可能面临的问题：一是应用原理意识较弱；二是不能根据问题特征，正确选择原理解决问题.四、教学重点与难点重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用他们解决简单的实际问题；难点：正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确的区分“分类”或“分步”.五、教学过程设计（一）问题引入计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.比如汽车牌照是由26个英文字母和10个阿拉伯数字按照一定的顺序编排而成，那么有多少个牌照呢？能否设计巧妙的数法以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.【设计意图】：通过生活中汽车号排问题引入，让学生体会计数问题在生活中的广泛应用，激发学生对于本堂课内容的浓厚兴趣.探究新知问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？探究：你能说说这个问题的特征吗？计数的基本环节是什么？1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.分类加法计数原理推广：如果完成一件事有3类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法,在第3类办法中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3种不同的方法.如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.分类加法计数原理使用前提：各类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情.【设计意图】：通过具体问题，引发学生思考，通过分析、比较、归纳形成对分类加法计数原理的认识.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：要完成的事情是“选一个专业”.方案1：从A大学选，有5种；方案2：从B大学选，有4种.解：根据分类加法计数原理，共有5+4=9种.思考：在上题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有6+4=10种.这种算法对吗？应用分类加法计数原理时应注意：1.两类不同方案中的具体方法，互不相同，即分类不重；2.完成一件事情的任何一种方法，都属于某一类,即分类不漏.分类加法计数原理要求做到“不重不漏”.【设计意图】：通过典型例题分析，让学生应用分类加法计数原理解决问题，并且得出应用分类加法计数原理时应注意“不重不漏”.问题2：用前6个大写英文字母和1—9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教师里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？探究：你能说说这个问题的特征吗？计数的基本环节是什么？2.分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.分步乘法计数原理推广：如果完成一件事需要3个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3种不同的方法.如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.分步乘法计数原理使用前提：任何一步都不能独立完成这件事情.【设计意图】：通过具体问题，引发学生思考，通过分析、比较、归纳形成对分步乘法计数原理的认识.例2某班有男生30名、女生24名，现要从中选出男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：要完成的事情是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生.解：根据分步乘法计数计数原理，共有30×24=720种选法.【设计意图】：通过典型例题分析，让学生应用分步乘法计数原理解决问题.3.原理剖析（三）原理应用例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？分析：1、完成什么事情？2、分类还是分步？【设计意图】：通过两个计数原理的比较应用，让学生分析应用计数原理解决问题的一般思维过程.小结：解答计数问题的一般过程1.明确完成一件什么事情；2.根据如何完成这件事，确定是方法的分类还是过程的分步；3.分类用加法原理（不重不漏），分步用乘法原理（步骤完整）.例4计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图6.1一4，它是一个具有许多执行路径的程序模块．它有多少条执行路径？分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束.而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何1个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.解：整个模块的执行路径条数共为91×81=7371.另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成是一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3×2=6.这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178.思考：你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？【设计意图】：本题是两个计数原理综合应用.通过这个问题的解决，可以使学生了解两个计数原理的实际意义，即通过比较不同测试方法所需要的测试次数差异，使学生感受改进测试方法重要性.例5通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图6.1-5所示.其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？分析：按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为3类：没有字母，有1个字母，有2个字母.以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为5个子类，将有2个字母的序号分为10个子类.【设计意图】：本题的背景是真实的，其目的一方面是理解两个计数原理，另一方面是引出下一节排列.本题的解法比较繁琐，之所以如此不厌其烦地把步骤一一列出