指、对函数的切线不等式的应用 教学设计

第第页指、对函数的切线不等式的应用教学设计一、教材分析人教A版《普通高中教科书数学》选择性必修第二册第94页练习第2题证明不等式，第99页习题第12题，要求利用函数单调性证明不等式，并通过函数图象直观验证。这两个不等式的实质是曲线和它的切线之间的关系，不妨称之为“切线不等式”，可以实现以直代曲，将超越函数化为一次函数，体现了转化与化归的思想，其在解决函数与导数问题中有着广泛应用。二、学生学情分析1.学生已具备的能力：掌握指数函数，对数函数的图象和性质，会利用导数解决简单的函数问题，具备一定分析、转化问题的能力。2.学生面临的困难：指数、对数切线放缩及变形解题是近几年高考命题的热点问题，此类问题涉及超越不等式，难度较大，学生经常无从下手。三、教学目标分析1.通过观察图象从“形”的角度认识指、对函数的切线不等式，并且能从“数”的角度证明这两个切线不等式；2.能通过典型例题，依据函数知识的内在联系进行切线不等式的代数变形和放缩，提高思维能力和解题能力，发展数学抽象、逻辑推理素养；3.借助“切线不等式”可以实现以直代曲，将超越函数化为一次函数，体现了转化与化归的思想，进一步体会其在解决函数与导数问题中的广泛应用。四、教学重点与难点1.教学重点：切线不等式的应用。2.教学难点：切线不等式的代数变形和放缩技巧。五、教学过程设计（一）创设情境，引入主题如图1，曲线在点处的切线是直线，由此得到指数函数的切线不等式．如图2，曲线在点处的切线是直线，由此得到对数函数的切线不等式．图1图2我们由图象可以得到指、对函数的切线不等式，那能否利用函数的单调性，证明这两个切线不等式？（1）指数函数的切线不等式：，当且仅当时，等号成立．证明设，定义域为，则，由，得，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以．（2）对数函数的切线不等式：，当且仅当时，等号成立．证明设，定义域为，则，由，得，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以．【设计意图】从“形”的角度认识指、对函数的切线不等式，并且从“数”的角度证明这两个切线不等式。理解切线不等式中涉及的函数的几何意义是曲线与其切线的位置关系。类比探究，思维拓展如图3，曲线过点处的切线是直线，切点为，由此得到不等式．如图4，曲线过点处的切线是直线，切点为，由此得到不等式．图3图4对于指数函数的切线不等式：，用替换得到，即，用替换得到对数函数的切线不等式；对于对数函数的切线不等式：，用替换得到，用替换得到指数函数的切线不等式；通过代数变形，可以实现对，的灵活缩放。【设计意图】探究过程的本质是等量替换之后不等式的不变性。学生通过不同的变换探索、发现不等式，感悟其中的变化规律，并且要数形结合地记忆。突出用数学探究培养学生的思维，渗透研究问题的基本思想和基本方法，能够让学生体会到数学运算是发现数学规律的一种有效方法。（三）实际应用，典例精讲例1已知，，，则它们的大小关系正确的是（

C）A．B．C． D．解析：由切线不等式，当且仅当x＝0时取等号，

可以得到，而，所以．由切线不等式，当且仅当x＝1时取等号，可以得到，所以．

【设计意图】利用指数函数的切线不等式放缩比较出，利用对数函数的切线不等式放缩比较出，应用切线放缩进行指数式、对数式比较大小可以减少运算量。例2已知函数．证明：当时，．分析：先用进行放缩去掉参数，原不等式的证明转化为证明，即证明．作出函数和函数的图象都与直线相切（如图5），从而联想到切线不等式和即可解决。图5证明：当时，，故只需证成立．设，则，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以．设，则，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以．综上所述，，，故原不等式成立．【设计意图】此题连续使用三次放缩，第一次使用参数放缩法，把参数放缩成，第二次使用放缩，第三次使用不等式放缩。要熟练掌握切线不等式的推导和变形，这样应用时才能够游刃有余。例3已知函数．若，求实数的取值范围．分析：要证，即证，即证，即证．函数和函数的图象都与直线相切（如图6），从而联想到切线不等式和．图6证明：要证，即证，即证，即证．由切线不等式，当且仅当时取等号，变形得，当且仅当时取等号．由切线不等式，当且仅当时取等号，变形得，当且仅当时取等号．故原不等式成立．当且仅当，时取等号，此时．【设计意图】例3要对证明的不等式等价变形，把含有指数式化为含有指数式和对数式的同构式，再利用切线不等式放缩。帮助学生积累一定的分析、求解题目的经验，在证明含有，的不等式时能够联想到切线不等式及其拓展，提升数学运算素养。例4已知函数．若，求实数的取值范围．分析：不等式恒成立，移项变形为，左边指数式，右边含有对数式，联想切线不等式，用一次函数替换超越函数，左边，右边．解：即为，移项得①，由得，由题可知，所以，由得，当时，，而，所以①式恒成立，当时，，不符合题意，综上所述，的取值范围是．【设计意图】例4要对不等式等价变形为①式，①式左边为指数型函数，①式右边含有对数式，再分别利用切线不等式进行放缩，转化为一次函数。帮助学生积累一定的分析、求解题目的经验，在遇到含有，的不等式时能够联想到切线不等式及其拓展。例5已知函数．（1）若，求实数的值；（2）设为整数，且对任意正整数，，求的最小值．分析：，这个式子之积不好求，可以通过两边同时取对数，转化为个对数之和，达到降幂的作用。解：（1）若，即，即，由切线不等式得．（2）由切线不等式，则有，所以．由①，变形得②，由切线不等式，当且仅当时取等号，可以得到，，……，，所以，，所以，又因为，因为为整数，所以的最小值为3．【设计意图】善于观察和联想，利用对数函数的切线不等式连续对原不等式进行放缩，将超越函数化为一次函数解决，有效地降低了解题难度。（四）回顾总结，归纳提升1.知识小结：（1）数形结合地理解指、对函数的切线不等式及其变式；（2）灵活应用