福建省福州市八县市区2024-2025学年高三数学上学期期中联考试题

福建省福州市八县（市、区）2024-2025学年高三数学上学期期中联考试题完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若z＝1+i，则|iz+3|＝（）A． B． C． D．2．设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝eq\r(x2－1)}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|－1＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．D．{x|0＜x＜2}3．已知f（x）＝ex，若a＞0，b＞0，且f（a）•f（2b）＝e3，则的最小值为（）A．2B．3C． D．54．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，那么下列命题正确的是（）yP(-1,4)xA．假如α∥β，m∥α，l∥βyP(-1,4)xB．假如l∥α，m⊂α，且l，m共面，那么l∥m C．假如α⊥β，l⊥α，那么l∥β D．假如l⊥m，l⊥α，那么m∥α5．已知角θ的大小如图所示，则＝（）A．﹣B．C．﹣4D．46．2024年10月16日中国共产党其次十次全国代表大会在北京召开，这是全党全国各族人民在全面建设社会主义现代化新征程的一次盛会，其中《中国共产党党旗党徽制作和运用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5（单位：cm）成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5（单位：cm）且每种规格的党旗长与宽之比都相等．已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝（）A．160 B．128 C．96 D．647．已知向量满意＝5，＝6，＝﹣6，则cos＜，＞＝（）高三数学第1页共4页高三数学第2页共4页A．﹣ B．﹣高三数学第1页共4页高三数学第2页共4页8．已知实数满意，（其中是自然对数的底数），则（

）A． B． C． D．二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点中心对称，则（）A．f（x）在区间单调递减 B．f（x）在区间内有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴 D．函数f（x）的图像向右平移个单位长度可以到到函数g（x）＝sin（2x+）10．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）+f（x+2）＝2，若f（x）的图象关于点（1，1）对称，f（0）＝0，则（）A．f（2）＝4 B．f（x）的图象关于直线x＝2对称 C．f（x）＝f（x+4） D．f（2k）＝1211．如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有()三棱锥-的体积为定值存在点P，使得若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段ACD．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为312．已知函数f（x）＝exln（1+x），则以下推断正确的是（）A．函数y＝f（x）的零点是（0，0）B．不等式f（x）>0的解集是（0，+∞）．C．设g（x）＝f′（x），则g（x）在[0，+∞）上不是单调函数D．对随意的s，t∈（0，+∞），都有f（s+t）＞f（s）+f（t）．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设a，b∈R，写出一个使a＜b和同时成立的充分条件，可以是．14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则的最小值为．如图，在直三棱柱中，,，，，点E,F分别是AA1，AB上的动点，那么的长度最小值是，此时三棱锥外接球的表面积为.

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分10分）在等差数列中，其前项和为且满意（1）求通项公式；（2）设，的前项和为，证明：18.（本小题满分12分）在锐角△ABC中，b＝，，（1）求角B；（2）求△ABC的周长l的取值范围．①，且；②，f（B）＝;③cosB（2a﹣c）＝bcosC；在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解．（假如选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．）BBCDAP19.（本小题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．证明：BD⊥PA；（2）点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF与平面PAB所成的角的正弦值为．高三数学高三数学第3页共4页高三数学第4页共4页（本小题满分12分）记的内角的对边分别为，且，(1)求的值;(2)若边b=4，当角最大时，求的面积.（本小题满分12分）汽车智能协助驾驶已起先得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就起先报警提示，等于危急距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为打算时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且v∈(0，33.3]时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面状况而改变，k∈[1，2])

阶段打算人的反应系统反应制动时间t0t1=0.8秒t2=0.2秒t3距离d0=10米d1d2

(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式d(v)，并求当k＝2，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未实行任何制动措施，仍以此速度行驶的状况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面状况下行驶(其中系数k随地面湿滑程度等路面状况而改变，k∈[1，2])，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？（本小题满分12分）已知函数，（1）求函数y＝f（x）在处的切线方程；（2）若函数y＝f（x）在区间内有唯一极值点，解答以下问题：（I）求实数的取值范围；(II)证明：在区间内有唯一零点，且2024-2025学年度第一学期八县（市）一中期中试卷中学三年数学科试卷评分细则一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）14:DBBB58:CBDA二、选择题题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.AD10.BC11.ACD12.BD12题D选项证明设g（x）＝，，设m（x）＝ex，n（x）＝ln（x+1）+，则g（x）＝m（x）•n（x），由指数函数的性质得m（x）＝ex上（0，+∞）上是增函数，且m（x）＝ex＞0，n′（x）＝＝，当x∈（0，+∞）时，n′（x）＞0，n（x）单调递增，且当x∈（0，+∞）时，n（x）＝ln（x+1）+＞0，∴g（x）在[0，+∞）单调递增．又g（0）＝1，故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）单调递增，设w（x）＝f（x+t）﹣f（x），w′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又因为x+t＞x，所以f′（x+t）＞f′（x），故w（x）单调递增，又因为s＞0，故w（s）＞w（0），即：f（s+t）﹣f（s）＞f（t）﹣f（0），又因为函数f（0）＝0，故f（s+t）＞f（s）+f（t），得证．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.a＝﹣1，b＝1，（不唯一，满意a＜0＜b的均可）14.3915.16.44四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分10分）解：(1)设等差数列的公差为，，所以，可得，…………2分两式相减可得：，所以，……………3分所以，可得：；……5分（2）由(1)知：，所以，……6分…………8分，………9分，原命题得证．………10分18．（本小题满分12分）解：（1）选①，∵，且，∴，即cosB＝，∵，∴B＝．……6分(没有注明角的范围的扣1分)选②，∵cosB（2a﹣c）＝bcosC，∴由正弦定理可得，cosB（2sinA﹣sinC）＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，∵sinA＞0，∴2cosB＝1，即cosB＝，∵，∴B＝．……………6分(没有注明角的范围的扣1分)选③，＝＝＝＝＝，∵f（B）＝，∴，∵，∴B＝．…………6分(没有注明角的范围的扣1分)（2）由正弦定理可得，，…………………7分则△ABC的周长l＝a+c+b＝4sinA+4sinC+2＝＝＝，…………………9分∵，解得，………10分∴，∴，∴＜≤3，………11分故△ABC的周长l的取值范围为（3+，3]．……12分19．（本小题满分12分）证明：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PD⊥BD，…………1分取AB中点E，连接DE，∵AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∴∠DAB＝60°，又∵AE＝AB＝AD＝1，∴DE＝1，∴DE＝，………3分∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边，∴BD⊥AD，………………4分又PD∩AD＝D，PD⊂面PAD，AD⊂面PAD，∴BD⊥面PAD，又PA⊂面PAD，∴BD⊥PA；………………6分（2）由（1）知，PD，AD，BD两两相互垂直，分别以DA,DB,DP为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，，则，……………………8分设平面PAB的一个法向量为，则，则可取，…………9分设点F的坐标是，则BF的坐标是设BF与平面PAB所成的角为θ，则解得……………………11分点F在线段PD上，则，即点F在PD的中点处满意题意……12分若有其他解法，可酌情给分！20．（本小题满分12分）解：（1）∵，由正弦定理得：，………………1分∵，∴，∴，………………4分方程两边同时除以得：∴，………………6分（2）方法一：∵当且仅当，即时等号成立，此时A取到最大值.………………9分∵，∴，则，由正弦定理得：，即，解得，………………11分当角A最大时，………………12分方法二：∵，∴，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，此时A取到最大值为，………………10分∵，∴，∴当A最大时，………………12分若有其他解法，可酌情给分！21．（本小题满分12分）解：(1)由题意得d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3，所以d(v)＝10＋0.8v＋0.2v＋eq\f(v2,20k)＝10＋v＋eq\f(v2,20k)……2分当k＝2时，d(v)＝10＋v＋，……3分t(v)＝eq\f(10,v)＋＋1≥1＋2＝1＋1＝2(秒)．……5分即此种状况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒．………………6分(2)依据题意要求对于随意k∈[1，2]，d(v)<50恒成立．即对于随意k∈[1，2]，10＋v＋eq\f(v2,20k)<50，即eq\f(1,20k)<eq\f(40,v2)－eq\f(1,v)恒成立．……8分由k∈[1，2]，得eq\f(1,20k)∈[eq\f(1,40)，eq\f(1,20)]．所以eq\f(1,20)<eq\f(40,v2)－eq\f(1,v)，即v2＋20v－800<0，解得－40<v<20.………………10分所以0<v<20，20×eq\f(3600,1000)＝72(千米/小时)．…………11分即汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/小时以下．……12分（本小题满分12分）解：(1)切线方程：即………………2分(2)，当时，，，（I）①当时，，在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；②当时，明显在上递增，又因为，，所以在上有唯一零点，所以，；，，所