新教材2025版高中数学章末复习课2第二章导数及其应用学案北师大版选择性必修第二册

章末复习课考点一导数几何意义的应用1．利用导数的几何意义可以求出曲线上随意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．2．通过对求切线方程的考查，提升学生的数学抽象、数学运算素养．例1已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．跟踪训练1设函数f(x)＝13x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y(1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．考点二利用导数探讨函数的单调性1．借助导数探讨函数的单调性，尤其是探讨含有lnx，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；常常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类探讨、数形结合于一体．2．通过对函数单调性的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．例2设函数f(x)＝alnx＋x-1x+1，a为常数，探讨函数f跟踪训练2已知a∈R，求函数f(x)＝2x2eax的单调区间．考点三利用导数探讨函数的极值和最值1．函数的极值反映的是函数在某一点旁边的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上全部函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的全部函数值中的最小值．2．利用导数求极值和最值主要有两类题型：一类是给出详细的函数，干脆利用求极值或最值的步骤进行求解；另一类是已知极值或最值，求参数的值．3．通过对函数极值和最值的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养．例3设a>0且a≠1，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋alnx(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率；(2)求函数f(x)的极值点．跟踪训练3已知函数f(x)＝lnx－mx(m∈R(1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值．考点四利用导数探讨方程、不等式等综合问题1．用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式、比较大小、证明不等式等；用导数探讨方程问题，主要是指依据方程构造函数，然后利用导数，探讨得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数图象来探讨方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一，也是高考的重点和热点内容．2．通过对以上学问的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．例4设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．跟踪训练4已知函数f(x)＝ex＋1x-a，a∈R，试探讨函数f章末复习课考点聚集·分类突破例1解析：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3∴直线l的方程为y＝3x02+1(x－x0又∵直线l过点(0，0)，∴0＝3x02+1(－x0)＋整理得，x∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝y0-0又∵k＝f′(x0)＝3∴x03解得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．跟踪训练1解析：(1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，f′(x)min＝－a2－9，由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或a＝－1(舍去)．故a＝1.(2)由(1)得a＝1，∴f′(x)＝x2＋2x－9，则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.例2解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax+2当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－12f′(x)＝-12x-1②当a<－12时，Δ<0，g(xf′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－12<a设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点．则x1＝-a+1x2＝-a+1由x1＝a+1-2a+1-所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－12时，函数f(x当－12<a<0时，函数f(x)在0在(-a+1+2a+1跟踪训练2解析：函数f(x)的定义域为R，函数的导数f′(x)＝4xeax＋2ax2eax＝2(2x＋ax2)eax.(1)当a＝0时，若x<0，则f′(x)<0；若x>0，则f′(x)>0.所以当a＝0时，函数y＝f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．(2)当a>0时，由2x＋ax2>0，解得x<－2a或x>0；由2x＋ax2<0，解得－2a<所以当a>0时，函数y＝f(x)在区间-∞，-2a上为增函数，在区间(3)当a<0时，由ax2＋2x>0，解得0<x<－2a由2x＋ax2<0，解得x<0或x>－2a所以当a<0时，函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间0，-2例3解析：(1)由已知得x>0.当a＝2时，f′(x)＝x－3＋2x，f′(3)＝2所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为23(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ax＝x2-由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①当0<a<1时，当x∈(0，a)时，f′(x)>0，函数f(x)是递增的；当x∈(a，1)时，f′(x)<0，函数f(x)是递减的；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)是递增的．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的微小值点．②当a>1时，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，函数f(x)是递增的；当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)是递减的；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)是递增的．此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的微小值点．综上，当0<a<1时，x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的微小值点；当a>1时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的微小值点．跟踪训练3解析：(1)当m＝－2时，f(x)＝lnx＋2x(x则f′(x)＝x-当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，微小值为f(2)＝ln2＋1，无极大值．(2)f′(x)＝x+mx①当m≥－1时，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，解得m＝－4，不满意m≥－1，故舍去．②当－e<m<－1时，x∈(1，－m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(－m，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不满意－e<m<－1，故舍去．③当m≤－e时，f′(x)≤0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝1－me解得m＝－3e，满意m≤－e.综上m＝－3e.例4解析：(1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)∪▒(2当x∈(－2，2)时，f′(x因此x1＝－2，x2＝2分别为f(x)的极大值点、微小值点．(2)由(1)可知y＝f(x)的图象的大致形态及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同的交点，需5－42＝f(2)＜a＜f(－2)＝5＋42.则方程f(x)＝a有3个不同的实根时，所求实数a的取值范围为(5－42，5＋42)．(3)方法一f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是单调递增，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值范围为(－∞，－3].方法二直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f(1)＝0，曲线f(x)在点(1，0)处的切线斜率f′(1)＝－3，由(2)中草图知，要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，需k≤－3.故实数k的取值范围为(－∞，－3].跟踪训练4解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠a}．(1)当x＞a时，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，即f(x)在(a，＋∞)上无零点．(2)当x＜a时，f(x)＝ex令g(x)＝ex(x－a)＋1，则g′(x