2024-2025学年高二数学上学期期中+期末高效复习课第三章圆锥曲线的方程章节综合检测新高考题型基错含解析

Page1第三章圆锥曲线的方程章节综合检测（新高考版基础卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2024·北京·高三开学考试）抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】由题意得：，准线方程为，设点P的横坐标为，，由抛物线的定义可知：则，解得：或（舍去），从而点P的横坐标为1故选：A2．（2024·全国·高二课时练习）已知双曲线（，）的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知可得，，可得，，则，所以双曲线的方程为．故选：A．3．（2024·全国·高二课时练习）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知双曲线的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【详解】由题意得，在双曲线中，，∴．∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，∴，∴，即，解得．故选：A．4．（2024·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与的一条渐近线的一个交点为.若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，由已知得，，，且，则，在中，由余弦定理，得，即，整理得，所以，故，故选：B.5．（2024·云南·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【详解】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，由解得，舍去，所以.解法2：在中，，则.解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.故选：D.6．（2024·全国·高二课时练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】解：椭圆中，，，则，、∴，，∴．∵，，∴，∵，∴，解得．故选：C．7．（2024·全国·高二课时练习）如图，、是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中错误的是（

）．A．B．的内切圆与x轴相切于点（1，0）C．若，则的离心率为D．若，则椭圆方程为【答案】A【详解】对于A：由可得，所以，即选项A错误；对于B：设的内切圆的圆心为I，且圆与边、、相切于N、M、K，可得，，，又因为，所以，又，解得，．可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，即选项B正确；对于C：在椭圆中，，，则．由，得，解得a＝3．则的离心率，即选项C正确；对于D：因为，，则，．若，则．又c＝2，，解得，．则椭圆的方程为，即选项D正确．故选：A.8．（2024·山东济南·模拟预料）已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】C【详解】因为双曲线的离心率为，所以，得，所以，，所以，所以双曲线方程为，所以，设直线为，设，由，得，所以，，所以，因为直线与的左支交于两点，所以，得，所以令，则，所以，所以当时，取得最小值，所以，得，因为的周长为所以最小值时，的周长取得最小值，即为，故选：C二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2024·全国·高二）已知椭圆：，：，则（

）A．，的焦点都在轴上 B．，的焦距相等C．，没有公共点 D．离心率比离心率小【答案】BCD【详解】因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；联立椭圆，的方程，消退，得，所以无解，故椭圆，没有公共点，所以C正确；因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确．故选：BCD.10．（2024·广东韶关试验中学高二阶段练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（

）．A．若，则B．若，则C．若，则PB平分D．若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线【答案】ACD【详解】对于选项，若，则抛物线,的焦点为,由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项正确；对于选项,若，则抛物线,的焦点为,由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项不正确；对于选项,时，∵，∴，又∵，∴平分，选项正确；对于选项，若，则抛物线,的焦点为,延长交直线于点，则，由选项可知，则M，B，Q三点共线，故正确；故选：．11．（2024·全国·高二单元测试）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互眺望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻找．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（

）A．点P的轨迹是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”【答案】BCD【详解】由点P到点M的距离比到直线l的距离小1，可得点P到点M的距离等于到直线：的距离，故点P的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误．由上述可知点P的轨迹与直线没有交点，即两者是没有交汇的轨迹，故B正确．易知“最远距离直线”与抛物线有交点，把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确．把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．故选：BCD．12．（2024·湖北·高三开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（

）A．椭圆的离心率的取值范围是B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是C．存在点使得D．的最小值为1【答案】BCD【详解】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；设椭圆的上顶点为，，，由于，所以存在点使得，故C正确；，当且仅当时，等号成立，又，所以，故D正确．故选：BCD三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，其次空3分.）13．（2024·上海·华师大二附中高三开学考试）双曲线的虚轴长为___________.【答案】【详解】双曲线的虚轴长为故答案为：14．（2024·上海·华东师范高校附属东昌中学高二期末）已知为双曲线的两个焦点，过点且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则此双曲线的渐近线方程为___________.【答案】【详解】设，所以，，由双曲线定义可知：，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：.15．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点．若四边形的面积等于7，则的方程为________.【答案】【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且．设，，，则，所以，所以．作轴于点，则．因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，，所以四边形的面积为，解得，故抛物线的方程为.故答案为：16．（2024·辽宁朝阳·高二期末）设分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于顶点的两点，，则___________，若点还满意，则的面积为___________.【答案】

1【详解】由知，由椭圆的对称性得关于原点对称，所以-1.若，则四边形为矩形，所以故答案为：，1.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2024·四川攀枝花·高二期末（理））已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为.(1)求椭圆的焦点坐标；(2)求双曲线的标准方程．【答案】(1)；(2).(1)由题设，，又，所以椭圆的焦点坐标为.(2)由题设，令双曲线为，由（1）知：，可得，所以双曲线的标准方程为.18．（2024·全国·高二课时练习）设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）4.【详解】解析（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.由已知及抛物线的定义，可知，于是问题转化为求的最小值.由平面几何学问知，当F，P，A三点共线时，取得最小值，最小值为，即的最小值为.（2）把点B的横坐标代入中，得，因为，所以点B在抛物线的内部.过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.由抛物线的定义，可知，则，所以的最小值为4.19．（2024·全国·高二课时练习）已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点与点A关于直线对称，设直线l过点A，斜率为k．(1)求双曲线C的方程；(2)当时，在双曲线C的上支上求点B，使其与直线l的距离为．【答案】(1)(2)（1）因为双曲线的焦点坐标在轴上，所以设双曲线方程为，因为，顶点与点A关于直线对称，所以，即，设双曲线渐近线为，由题意得：到渐近线距离为1，即，解得：，所以双曲线方程为.（2）设是双曲线C上到直线的距离为的点，所以，解得：，此时，即．20．（2024·全国·高二专题练习）给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围，【答案】(1)椭圆C的方程为，其“准圆”方程为(2)（1）解：由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．（2）解：由题意，可设、，则有，又点坐标为，所以，，所以，又，所以，所以的取值范围是．21．（2024·全国·高二单元测试）已知抛物线E：的焦点为F，直线与E相交所得线段的长为．(1)求E的方程；(2)若不过点F的直线l与E相交于A，B两点，请从①AB中点的纵坐标为3，②的重心在直线上，③这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析详细缘由）．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2)答案见解析.（1）解：因为直线与抛物线相交所得线段的长为，所以抛物线过点（由抛物线的对称性得到），则，即，所以的方程为．（2）解：当直线l的斜率不存在时，l与E相交于A，B两点，AB中点的纵坐标为0，选①②或①③或②③均不符合题意，故直线的斜率存在．设，，，由（1）知．由，得，所以．方案一

选择条件①③．因为AB中点的纵坐标为3，所以，则，因为，所以，则，所以．综上，直线的方程为．方案二

选择条件②③．因为的重心在直线上，所以，则，即．因为，所以，则，即，所以．综上，直线的方程为．方案三

选择条件①②．因为AB中点的纵坐标为3，所以，则．因为的重心在直线上，所以，则，即．两个条件，都只能得出斜率，无法计算出b的值，因此不能得到直线的方程．22．（2024·江西·