贵州省遵义市2024年高三第三次质量监测数学试卷

贵州省遵义市2024年高三第三次质量监测数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数z满足z(1+i)A．1+i B．−1+i C．−1−i D．1−i2．集合A={x∈N∣x2−x−12≤0}，B={−1A．{0,1,C．{1,2,3．在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，M是BC中点，且DN=2NC，则A．32 B．24 C．16 D．84．(1−2x3A．8 B．12 C．10 D．155．在第29个世界读书日活动到来之际，遵义市某高中学校为了了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，样本的平均数为4，方差为5；乙同学抽取一个容量为8的样本，样本的平均数为7，方差为10；将甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本方差是（结果精确到0.01）（）A．5.34 B．6.78 C．9.44 D．11.466．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，D为AC的中点，已知A．23 B．32 C．3 7．已知点F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1A．6 B．2 C．3 D．28．设a=tan0.01，A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<b<a二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．下列函数中，既是奇函数，又在区间(0A．f(x)C．f(x)10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B).现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为A．P(A2C．P(B)11．关于函数f(A．f(xB．f(x)C．方程xf(D．若函数f(ωx)(ω>0三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知f(x)=xln(x+3)13．如图，是南京博物馆展示的一件名为“陶三棱锥”的文物，该文物的出土，为研究吴越文化提供了重要价值，博物馆准备为该文物制作一个透明的球形玻璃外罩进行保护供游客观赏研究，经测量该文物的所有棱长都为6分米，则制作的球形玻璃外罩（玻璃外罩厚度忽略不计）的直径至少为分米．14．已知点P是椭圆C:x26+y24=1上除顶点外的任意一点，过点P向圆O:x2+y2=4引两条切线PM，PN，设切点分别是M，四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1（1）求数列{a（2）记bn=(−1)nlo16．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某校为了了解学生对“一带一路”的了解情况，从学校所有学生中随机抽取100名学生进行知识竞赛，满分100分，同学们竞赛成绩分布统计表如下：成绩[40[50[60[70[80[90人数683234128（1）求这100名学生知识竞赛成绩的平均数和第70%（2）为了加大对“一带一路”的宣传，提高学生对“一带一路”的知晓度，现按分层抽样的方式在成绩为[80,100]的同学中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽到的学生中成绩在[80,90)的人数为17．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，CF//DE，且AB=CF=12DE，M（1）过M作平面α，使得平面α与平面BEF的平行（只需作图，无需证明）（2）试确定（1）中的平面α与线段ED的交点所在的位置；（3）若DE⊥平面ABCD，在线段BC是否存在点P，使得二面角B−FE−P的平面角为余弦值为63，若存在求出BP18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为（1）求椭圆C的标准方程；（2）点A(2,2)，若点M，N在椭圆C上，且直线AM，AN的斜率乘积为12，线段MN的中点G，当直线19．英国数学家泰勒（B.Taylor，1685—1731）发现了：当函数f(x)在定义域内n阶可导，则有如下公式：f(x)=n=0+∞1n!f(n（1）写出ex（2）设f(x)=ex+e（3）若e8≈100k，k为正整数，求

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由z(1+i)所以z=1−i故答案为：D.【分析】本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义.先利用复数的除法运算求出复数z，再利用共轭复数的概念可求出z.2．【答案】C【解析】【解答】解：由x2−x−12≤0可得−3≤x≤4，则于是A∩B={0,故答案为：C.【分析】本题考查集合的交集运算.先解一元二次不等式，再通过列举法可求出集合A，再利用集合交集定义可求出答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：如图，AM=AB+BM=则AM⋅故答案为：A.【分析】本题考查平面向量的数量积.先将AM，AN分别用AB,4．【答案】A【解析】【解答】解：因(1−2(1+x)5当r=3时，T4=C53x3当r=0时，T1=C50x0故(1−2x3)(1+x故答案为：A.【分析】本题考查二项式的通项公式.先将所求两个二项式乘积式拆成两个二项式的差，再求出(1+x)5的通项公式，令r=3和r=0依次求出x3的系数和5．【答案】C【解析】【解答】解：由甲同学的样本的平均数，方差分别为x甲乙同学的样本的平均数，方差分别为x乙则合在一起后的样本平均数x=则合在一起后的样本方差s2故答案为：C.【分析】本题考查分层抽样的方差计算公式.先利用样本平均数计算公式和样本方差计算公式求出x甲,s甲2和x6．【答案】D【解析】【解答】解：因为acos由正弦定理得sinA即sin(A+B)=又sinC>0，所以cos又B∈(0,π)，所以在△ABC中，D为AC的中点，则BD=则BD2即74=14(4+所以S△ABC故答案为：D.【分析】本题考查利用正弦定理解三角形.先利用正弦定理化边为角求出cosB=−12，据此可反推出角B，再利用三角形的中线向量公式可得BD7．【答案】D【解析】【解答】解：过F2作F2N⊥AB设|F因为直线l的倾斜角为π6，|所以在Rt△F1F由双曲线的定义得|F1B|−|所以|F所以|AB|=|F因为|F所以△AF又因为F2所以N为AB的中点，所以|AN|=2a，可得|F因此m=3在Rt△ANF2中，所以(3c)2所以e=c故答案为：D.【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意过F2作F2N⊥AB于点N，设|F2A|=|F2B|=m，利用双曲线的定义结合图形求解出|8．【答案】D【解析】【解答】解：b=ln1.令f(x)=ln则f'所以函数f(x)在(0,所以f(0.01)>f(0)=0，即ln(1+0令g(x)=ln则g'所以g(x)在(0,所以g(0.01)<g(0)=0，即令h(x)=x−tanx,所以函数h(x)在(0,所以h(0.01)<h(0)=0，即所以ln(1+0.01)<综上所述，c<b<a.故答案为：D.【分析】本题考查函数的单调性，利用导函数研究函数的单调性.通过变形化简a,b,c，进而构造函数f(x)=ln(1+x)−x1+x,x∈(0,π2)，求出导函数f'(x)，利用导数判断函数的单调性，利用单调性可比较b,9．【答案】A,C【解析】【解答】解：A，f(−x)=(−x)所以f(x)为奇函数，又因为f'所以f(x)在区间(0B，f(−x)=tan所以f(x)为奇函数，但是f(x)在区间(0C，f(所以f(x)为奇函数，又因为f'所以f(x)在区间(0D，f(所以f(x)为偶函数，D错误.故答案为：AC.【分析】本题考查函数的单调性和函数的奇偶性.先求出f(−x)，判断是否满足f(−x)=-f(x)，据此可排除D选项；对A选项求出导函数可推出f'(x)=3x10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A，P(B，因事件B|故有P(C，P=P=0.D，P(故答案为：ACD.【分析】本题考查全概率的计算公式，条件概率的计算公式，相互独立事件的概率公式.先利用独立事件的乘法公式进行计算可判断A选项；根据缩小样本空间的方法可求出概率，判断B选项；利用全概率公式计算公式进行计算可判断C选项；利用贝叶斯概率公式进行计算可判断D选项.11．【答案】B,D【解析】【解答】解：A.因为f(−x)=2sin所以函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(如图，作出函数f(x)的图象，由图可知，函数f(x)不是周期函数，A错误；B.函数f(x)C，显然x=0是方程xf(当x≠0时，则方程xf(x)因为函数y=f(x)是偶函数，函数y=1所以两个函数的交点不具有对称性，所以方程xf(x)D，当x∈[0,2π]时，因为函数f(ωx)(所以2ωπ∈[4π,5π)，所以故答案为：BD.【分析】本题考查函数的周期性，单调性，函数与方程的综合应用，函数的零点.通过判断奇偶性可得：函数f(x)为偶函数，再求出当x≥0时的函数解析式，据此可作出函数f(x)的图象，观察函数图象可找出周期和单调区间，据此可判断A选项和B选项；当x≠0时，则方程xf(x)−1=0的根即为函数y=f(x),y=112．【答案】2x+y+4=0【解析】【解答】解：由题意得，f'所以f'故切线为y−0=−2×(x+2)，即2x+y+4=0.故答案为：2x+y+4=0.【分析】本题考查曲线的切线方程.先求出导函数f'13．【答案】3【解析】【解答】解：如图，四面体ABCD为正四面体，作AG⊥平面BCD，垂足为G，则G为△BCD的重心，且CG=2则正四面体的高为AG=A设正四面体的外接球半径为R，由图可知，(2)2所以该四面体外接球的直径为3，即制作的球形玻璃外罩（玻璃外罩厚度忽略不计）的直径至少为3分米.故答案为：3.【分析】本题考查球内接几何体问题.先作出图形，AG⊥平面BCD，垂足为G，利用重心的性质可求出CG，利用勾股定理可求出AG，根据球截面的性质可列出方程，解方程可求出R，据此可求出答案.14．【答案】4【解析】【解答】解：设P(x则以OP为直径的圆的方程为x2与圆O:x2即x0x+y则A(4x0又因为点O到直线AB的距离d=4所以S△OAB又因为在点P在椭圆C:所以x026所以|x0y0|≤所以S△OAB即△AOB面积的最小值是46故答案为：46【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.设P(x0,y0),x0y0≠0，求出以OP为直径的圆的方程，与圆O:x2+y2=4的方程相减可求出直线MN15．【答案】（1）解：由题意，an+1−Sn−2=0因Sn=an+1−2①，当由①-②可得，an=a又因n=1时，a2故数列{an}（2）解：由（1）可得an=2于是，Tn=−1×−12由③-④：32323232则得Tn【解析】【分析】本题考查数列的前n项和与通项的关系，错位相减法求出数列的和.

（1）由Sn,an的关系消去可推出an+1（2）利用（1）结论，利用对数的运算法则化简可得：bn=(−1)n⋅(2n−1)⋅16．【答案】（1）解：100名学生知识竞赛成绩的平均数为45×6+55×8+65×32+75×34+85×12+95×8100由表可知[40，70)内有46个数，估计[70，80)分数段内学生成绩从低到高占24%位的数，则x−700所以x≈77.故第70%（2）解：按比例分层抽样抽取5人，成绩在[80,90)，所以X的所有可能取值为：1，2，3，则P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=C则X的分布列为：X123P331所以X的数学期望为E(X)=1×3【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，中位数的求法，百分位数的求法，超几何分布.

（1）根据频率分布表利用平均数的计算公式可求出中位数，根据百分位数的定义可列出方程x−700.24（2）先利用分层抽样的计算公式求出各层人数，据此可得X的所有可能取值为：1，2，3，再求出对应的概率值，列出分布列，利用数学期望计算公式可求出数学期望.17．【答案】（1）解：如图，取BC,CF的中点H,Q，连接MH,连接TQ并延长TQ交DE于点R，连接MR，取CD的中点N，连接MN，则MN//BC且MN=BC，故CHMN=TC又因为DE//CF，所以CQDR所以12CF=CQ=1所以RE=QF且RE//QF，所以四边形QREF为平行四边形，所以EF//QR，又EF⊂平面BEF，QR⊄平面BEF，所以QR//平面BEF，因为H,Q分别为所以HQ//BF，又BF⊂平面BEF，HQ⊄平面BEF，所以HQ//平面BEF，又HQ∩QR=Q,HQ,所以平面MHQR//平面BEF，又M∈平面MHQR，所以平面MHQR即为平面α；（2）解：又（1）得，点R在线段DE上靠近点E的四等分点处，即（1）中的平面α与线段ED的交点在靠近点E的四等分点处；（3）解：如图所示，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设CF=1，则B(1,设P(t,则故EF=(0设平面BEF的法向量为n=(x则有EF⋅n=y−z=0设平面PEF的法向量为m=(a则有EF⋅m=b−c=0则|cosm→,n所以存在，BPPC【解析】【分析】本题考查平面与平面平行的判定，利用空间向量求二面角.

（1）取BC,CF的中点H,Q，连接MH,HQ，延长MH,DC交于点T，连接TQ并延长TQ交DE于点R，连接MR，根据平行线分线段成比例可证明四边形QREF为平行四边形，利用平行四边形的性质可证明EF//QR，进而证明QR//平面BEF，再根据三角形的中位线定理可得HQ//BF，进而证明（2）先证明EF//QR，再利用相似比可推出交点所在的位置；（3）以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，设P(t,1,0),0≤t≤1，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面BEF的法向量和平面18．【答案】（1）解：因为P是椭圆C