广西南宁市2024年普通高中毕业班第二次适应性测试数学试卷

广西南宁市2024年普通高中毕业班第二次适应性测试数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z在复平面内对应的点为(a,b)，且A．a2+(b+1)C．(a+1)2+b2．已知F1,F2分别是椭圆M:x216+A．2 B．3 C．5 D．63．某体育场A区域看台的座位共有10排，从第1排到第10排的座位数构成等差数列，已知第1排、第4排的座位数分别为10，16，则A区域看台的座位总数为（）A．205 B．200 C．195 D．1904．已知l,m是两条不同的直线，α,A．若l∥m，则α∥β B．若α∥β，则l∥βC．若l⊥m，则l⊥β D．若α⊥β，则l∥m5．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）A．12 B．18 C．20 D．606．如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函数y=y(x)，则方程可看成关于x的恒等式F(x,y(x))=0，在等式两边同时对x求导，然后解出y'(x)即可.例如，求由方程x2+y2=1所确定的隐函数的导数y'，将方程x2A．x−3y+1=0 B．x+3y−5=0 C．3x−y−5=0 D．2x+3y−7=07．在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),A．8 B．12 C．16 D．208．如图，正四棱台容器ABCD−A1B1C1D1的高为12cm，A．31πcm B．32πcm二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（）A．M={0B．M={xC．M={xD．M={(x10．已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，A,B为f(x)的图像与xA．f(0)=B．直线x=136是C．f(x)的单调递减区间为(D．f(x)的单调递增区间为(−11．设拋物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，过点P(0,3)A．E的准线方程为y=−2B．p的值为2C．|AB|=4D．△BFC的面积与△AFC的面积之比为9三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上．12．在等比数列{an}中，a513．若过点P(0,1)可作圆(14．定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，函数g(x)四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2tan（1）求角A的大小；（2）若b+c=3a，△ABC的面积为2316．如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AB=2（1）证明：平面PBC⊥平面PAE.（2）求二面角D−AP−E的余弦值.17．已知函数f(x)=（1）若f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围，（2）若函数g(x)=f(x)−x+1恰有两个零点，求a的取值范围，18．双曲线C:x2（1）求双曲线C的方程，（2）已知A(−3,0),B(3,0)，过点(5,0)的直线l与C交于M,N（异于A,19．2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练（1）求抽到甲参与传球训练的概率；（2）记主攻手和自由人被抽到的总人数为ξ，求ξ的分布列及期望；（3）若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为12，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为13,23

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】设z=a+bi，所以|z+i|=|a+(b+1)i|=4，两边平方得到a2故答案为：B.【分析】根据复数的几何意义和模长计算公式计算即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：易知a=4，因为F1,F2分别是椭圆M:所以|PF1|+故答案为：C.【分析】由题意，根据椭圆的定义列式求解即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：设从第1排到第10排的座位数构成等差数列{an}因为a1=10，a4=16，所以则A区域看台的座位总数为10×10+10×9故答案为：D.【分析】由题意，结合等差数列的基本量运算求出d=2，再利用等差数列前n项和公式求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：因为l,m是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，且l⊂α;m⊂β，

对于A，若l∥m，则α∥β或α与β相交，所以A错；

对于B，若α∥β，则平面α内任意直线都与平面β平行，则l∥β，所以B对；

对于C，若l⊥m，则l与β可能相交，可能平行，不一定垂直，所以C错；

对于D，若α⊥β，则l与5．【答案】C【解析】【解答】解：原定5个节目排列后中间形成4个空位，

当新节目插在中间的四个空位中的一个时，有C4当新节目插在中间的四个空位中的两个时，有A4由分类计数原理可得共有8+12=20种不同的方法.故答案为：C.【分析】根据题意，分新节目插在中间的四个空位中的一个和新节目插在中间的四个空位中的两个，再结合排列数与组合数的计算求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】对曲线xy+lny=2，两边同时求导得y+xy'+1y⋅y'=0，

又因为曲线过(2,1)故答案为：B.【分析】根据题意两边同时求导求得斜率，即可求出切线方程.7．【答案】C【解析】【解答】解：因为i=15yi=140，所以，y-=i=15yi5=1405=28，

又因为经验回归方程恒过样本中心点，所以，y-=107x-+1667，

则28=107x8．【答案】A【解析】【解答】初始状态时，水面正方形的边长为10+22水面上升后，水面正方形的边长为6+22所以57个小铁球的体积之和为13设小铁球的半径为R，

则57×43×π故答案为：A.【分析】根据相似的比例关系结合台体的体积公式进行计算求得半径.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由图可知：集合N是集合M的真子集，A、因为M={0,2,4,B、因为M={x|x2<1}={x|C、因为M={x|y=logx}={x|x>0}，且ex>0，则y=e所以集合N是集合M的真子集，故C正确；D、因为M={(x,所以集合N是集合M的真子集，故D正确.故答案为：ACD.【分析】由图可知：集合N是集合M的真子集；根据集合的包含关系即可判断A；解一元二次不等式求得集合M，即可判断集合关系判断B；根据对数函数定义域求集合M，根据指数函数以及基本不等式求集合N，即可判断M，N之间的关系判断C；分析可知M={(x,y)|y=x}10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以f(x)的最小正周期为2，所以T=2πω=2易得M=32，所以f(x)=32sin(πx+φ)，因为|OB|=2|OA|，所以A(−由五点作图法可得：π6+φ=π2，即φ=π3，所以f(x)=3B、由A可得f(x)=32sin(πx+π3)，则C、令2kπ+π2≤πx+π3D、令2kπ−π2≤πx+则f(x)的单调递增区间为(−5故答案为：BC.【分析】根据图象求得f(x)=311．【答案】B,D【解析】【解答】解：由题意可知，直线AB斜率存在且不为零，

设直线AB的方程为y=kx+3，A(x联立y=kx+3x2=2py由韦达定理可得x1+x因为x2=2py，所以y=x又因为|AF|=2，|BF|=10，所以由抛物线定义可得：y1=2−p则(2−p2)(10−p2因为y1=2−p2>0，所以p=2又E的方程为x2=4y，y1把y1=1代入x2=4y可得不妨设A(−2,1),设F到直线AB的距离为d，△BFC的面积S△BFC=12|BC|d则△BFC的面积与△AFC的面积之比S△BFC故答案为：BD.【分析】由题意，可知直线AB斜率存在且不为零，设直线AB的方程为y=kx+3，A(x12．【答案】27【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，因为a5=1，a6故答案为：27【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a5=113．【答案】(【解析】【解答】解：因为(x−1)2+(又因为过点P(0,1)可作圆的两条切线，所以点P(0,1)在圆外，故答案为：(3【分析】由方程表示圆可得5−a>0，再由题意可得点P(0,1)14．【答案】2499【解析】【解答】解：因为函数f(x)的图象关于点(则f(−x)又因为g(x)的图象关于直线x=2所以g(x+4)+g(x+2)=−2，即g(x+2)+g(x)=−2，可得g(x+4)因为g(0)=f(0)所以g(1)=f(1)−2=−1，所以f=−4×12−1−2+2550=2499.故答案为：2499.【分析】根据抽象函数的对称性、周期性计算即可.15．【答案】（1）解：依题意，2tan在△ABC中，由正弦定理得asin因此2sinAcosA=sinA，而所以A=π（2）解：由△ABC的面积为233，得12由余弦定理得a2而b+c=3a，则a2=(所以△ABC的周长为23【解析】【分析】（1）利用同角公式切化弦，结合正弦定理边化角求解即可；（2）利用三角形面积公式求出bc，再余弦定理列方程求解即可.16．【答案】（1）证明：取AB中点O，连接OP,因为四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°，所以△ABC和△ADC都是正三角形，又E是CD中点，所以OC⊥AB,AE⊥CD，OC=3又CE//AO，所以又AB=2PA=2PB，所以PA所以PO=12AB=1又因平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，分别以OA,OC,则B(1,0,0)，P(0PB=设平面PBC的一个法向量是m=PB⋅m=x−z=0PC⋅设平面PAE的一个法向量是n=PA⋅n=−x0m⋅n=3+0−3=0所以平面PBC⊥平面PAE；（2）解：设平面PAD的一个法向量是t=则PD⋅t=−2a+3b−c=0设二面角D−AP−E的大小为θ，由图知θ为锐角，所以cosθ=|【解析】【分析】（1）取AB中点O，连接OP,OC，分别以OA,OC,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量和平面PAE的一个法向量，利用两向量垂直数量积为0的等价关系证出两平面法向量垂直，从而证出平面PBC⊥平面PAE.

17．【答案】（1）解：函数f(x)=ln因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增，所以f由x∈(0,+∞)，得1（2）解：函数g(x)=f(当a+1≤0，即a≤−1时，g'(x)>0当a+1>0时，即a>−1时，g'可见，当0<x<1a+1时，g'(x当x>1a+1时，g'(x且当x→0+时，g(x)故要使函数g(x)g(1a+1)=综上所述，故a的取值范围为(−1【解析】【分析】（1）求函数f(x)的导函数，问题转化为f（2）求导，利用导数判断g(x)的单调性，求出极值，并结合区间端点函数值和零点情况求解即可.18．【答案】（1）解：由题意可得2a=662a故双曲线C的方程为x2（2）解：由题意可得直线l的斜率不为0，如图所示：

设直线l的方程为x=my+5，M(x1联立x=my+5x29−y则m2−9≠0，由韦达定理可得：y1又A(−3,0),B(3,联立y=y1=m即x+3x−3=−4，解得x=95，所以点因为直线x=95与直线x=−2之间的距离为所以点P到直线x=−2的距离为定值，且定值为195【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义以及点在双曲线上得关于a,b的方程，求解即可得双曲线（2）设直线l方程x=my+5，联立方程组，消元整理由韦达定理可得y1+y2,y119．【答案】（1）解：记为事件A“抽到甲参与传球训练”，则P(A)=C（2）解：由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C4P(ξ=2)=C4所以ξ的分布列为：ξ0123P4181