广东省茂名市高州市2024年高三第一次模拟考试数学试卷

广东省茂名市高州市2024年高三第一次模拟考试数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2+2x−8<0}，B={x||x|≤2}A．(−4,−2) B．(−2,2) C．2．已知z=2−i1+i（i为虚数单位），则复数A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知x≠0,n∈N*，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等等，其公式为：f(x)=kab−x（其中k>0,b>0，a为参数）．某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e．若x=1表示该新产品今年的年产量，估计明年(x=2)的产量将是今年的eA．5−12 B．5+12 C．5．已知cos(α+π)=−2sinα，则sinA．−1 B．−25 C．456．已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且A．16 B．32 C．64 D．1287．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，直线lA．12 B．22 C．348．曲线y=lnx与曲线y=x2+2axA．(−∞,−12] B．[−1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆C:A．圆C的圆心坐标为(−1B．圆C的周长为2C．圆M:(x+3)2D．圆C截y轴所得的弦长为310．中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐代，如今逐渐演化为赏月、颂月等活动，以月之圆兆人之团圆，为寄托思念故乡，思念亲人之情，祈盼丰收、幸福，成为丰富多彩、弥足珍贵的文化遗产．某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A．样本的众数为75B．样本的71%分位数为75C．样本的平均值为68.5D．该校学生中得分低于60分的约占20%11．已知函数f(x)定义域为R，且f(x+2)+f(x)=0,A．f(x)是奇函数 B．f(2024)=1C．f(x)的图象关于x=1对称 D．k=112．如图，已知圆锥顶点为P，其轴截面△PAB是边长为2的为等边三角形，球O内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），Q是球O与圆锥母线PB的交点，M是底面圆弧上的动点，则（）A．球O的体积为4B．三棱锥A−QBM体积的最大值为3C．MA+MQ的最大值为3D．若M为AB中点，则平面PMQ截球O的截面面积为π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为盏．14．如图，△ABC在边长为1的小正方形组成的网格中，则AB⋅AC15．已知双曲线C:x2−y23=1，直线l:y=kx+1分别与C的左、右支交于M,16．已知函数f(x)的图象过点(0,1)，其导函数f'(x)=Acos(2x+φ)(A>0,0<φ<π2)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是（1）求B的大小；（2）若D是AC边的中点，且BD=2，求△ABC面积的最大值．18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5（1）求数列{a（2）求数列{an+1SnS19．近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．某汽车厂为把好质量关，对送来的某个汽车零部件进行检测．（1）若每个汽车零部件的合格率为0.9，从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个零部件是合格的概率；（2）若该批零部件共有20个，其中有4个零部件不合格，现从中任取2个零部件，求不合格零部件的产品数X的分布列及其期望值．20．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，BB1=6，B（1）当M为中点时，求证：MN∥平面BCC（2）当CM=23时，求直线MN与平面21．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，F为抛物线的焦点，P,Q其为准线上的两个动点，且（1）求抛物线C的标准方程；（2）若线段PF,QF分别交抛物线C于点A,B，记△PQF的面积为S1，△ABF的面积为S22．设函数f(x)=ex+asinx（1）当a=−1时，f(x)≥bx+1在[0,+∞)上恒成立，求实数（2）若a>0,f(x)在[0,

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：已知集合A={x|x2+2x−8<0}，B={x||x|≤2}，

所以A={x|x∴A∩B={x|−2≤x<2}.故答案为：C.【分析】根据一元二次不等式的解法以及绝对值不等式化简集合A，B，再利用交集含义即可求解.2．【答案】A【解析】【解答】解：因为z=2−i所以zi−z=zi−1所以复数zi−z在复平面内对应的点(1故答案为：A.【分析】利用复数的乘除法法则化简复数z，从而求得zi−z=1+2i，最后判断点所在象限即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：(2x3+1x)n的通项公式为：Cnk若(2x设二项式的通项为Tr+1且存在常数项，则3n−4r=0，r=3n4，所以n能被4整除.所以“n=8”是“(2x故答案为：A.【分析】先求出(2x4．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，因为a=e，

所以f(x)=k⋅e∴当x=1时，f(1)=k⋅e当x=2时，f(2)=ke依题意，明年(x=2)的产量将是今年的e倍，得：ke∴1b2−1∵b>0，∴b=5故答案为：A.【分析】理解题意，分别代入x=1、x=2，得到f(1)和f(2)的值，进而得到ke5．【答案】D【解析】【解答】解：由诱导公式可得：cos(α+π)=-cosα，

因为cos(α+π)=−2sinα，则cosα=2sinα，

则tanα=1所以sin故答案为：D【分析】由诱导公式可得cosα=2sinα，求出tanα6．【答案】B【解析】【解答】解：已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，

因为Tn2=an等式两边取对数得nlgan+1=(n+1)lg则lgann=lga11=故答案为：B【分析】利用递推公式得Tn+12=7．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得，直线l:y=kx经过原点0,0，

因为直线l:y=kx(k≠0)与椭圆交于A,B两点，

所以设由两点间的斜率公式可得kAD又∵x12a2+y∴y12−y22故答案为：B.【分析】根据题目已知条件，利用点差法得到斜率的表达式，化简即可得到离心率的值.8．【答案】B【解析】【解答】解：已知曲线y=lnx与曲线y=x2+2ax设y=lnx，y=x2+2ax图象上的切点分别为(则过这两点处的切线方程分别为y=xx1则1x1=2x2设f(x)=ex2−1−2x令g(x)所以g(x)在R则f(x)在(−∞,1)上单调递减，在所以2a≥f(1)=−1，a≥−1故答案为：B.【分析】首先利用直线的点斜式方程分别求出两曲线的切线方程，再构造函数f(x)=ex29．【答案】B,C【解析】【解答】解：已知圆，C:x2对于AB，可得圆心的坐标为(1,1)，半径为5，则周长为25π，可知对于C，由M(−3,−1)，|MC|=16+4对于D，令x=0，可得y2−2y−3=0，解得可得圆C截y轴所得的弦长为4，可知D错误.故答案为：BC.【分析】先求出圆的圆心和半径，即可求解判断ABC，对于D求出圆C上横坐标为0的点的纵坐标即可判断.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：根据频率分布直方图可得，

(0.015+0.选项A，∵最高小矩形的中点横坐标为75，∴众数是75，故A正确.选项B，设样本的71%分位数为x，又10×(0.∴0.5+(x−70)×0.选项C，平均数为45×0.选项D，样本中得分低于60分的占(0.010+0.015)×10=25%，故答案为：AC.【分析】频率分布直方图中，由各组面积之和为1可求得a的值，再根据频率分布直方图的性质逐项判断即可.11．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于选项A，因为f(1−x)=f(1+x)，将x替换为x+1，得：f(−x)=f(2+x)，

又因为f(x+2)+f(x)=0，即f(x+2)=−f(x)，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数，选项A正确；对于选项B，∵f(x+2)=−f(x)，将x替换为x+2，得：f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以4为函数f(x)的周期，又因为f(x)是奇函数，且函数f(x)的定义域为R，∴f(0)=0，∴f(2024)=f(4×506)=f(0)=0，选项B错误.

对于选项C，f(2x+1)是偶函数，得：f(1−2x)=f(1+2x)，将x替换为所以函数f(x)关于直线x=1对称，选项C正确；对于选项D，由已知f(x+2)+f(x)=0，分别代入x=1,x=2，得：f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)=0，同时4为f(x)的周期，∴k=1故答案为：AC.【分析】根据抽象函数的性质，以及函数的奇偶性、周期性和对称性对各个选项进行验证，即可求得结果.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由题意可得，如图，

对于选项A，

设底面圆心为O1，则PO1⊥AB，AQ⊥PB因为△PAB是边长为2的为等边三角形，则BO1=1，Q则球O的半径OO1=33对于选项B，作QD⊥AB，因为PO1⊥面ABM所以QD⊥底面ABM，QD=1∵VA−QBM=对于选项C，设AM=x，x∈[0,∴cos∠MAB=AMAB=∴QM=MD2设f(x)=x+3−x22，则令当x=0时，f'(x)>0，当x∈(0,易知y=3x2−12在(0,2]上单调递减，则当x∈[0,2]时，f'f(x)对于选项D，当M为AB中点时，MO⊥AB，由PB=PM=2，MB=2，PQ=1，得sin∠QPM=74.设点O到平面PMQ的距离为h，∵S△OPQ=36，VM−OPQ∴截面面积为π⋅[(故答案为：ACD.【分析】根据球的体积公式、基本不等式、利用导数即可求出其最大值以及等体积法求出O到平面PMQ的距离判断各个选项即可.13．【答案】30【解析】【解答】解：六层高的商场，每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，

可设从下往上每层灯的数据构成等比数列{an}，

则公比q=2，n=6于是S6=a所以底层所开灯的数量为30盏.故答案为：30【分析】每层灯的数据构造等比数列，再利用等比数列的Sn14．【答案】9【解析】【解答】解：如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，

小正方形组成的网格中，小正方形的边长为1，

则A(2,3)，∴AB=(−2,−3)，AC故答案为：9.【分析】数形结合，如图建立平面直角坐标系，求出AB→，AC15．【答案】y=±【解析】【解答】解：已知双曲线C:x2−y23=1与直线l:y=kx+1相交，如图所示，

可将双曲线与直线联立方程组可得：x2−y23=1∵Δ=4k2+16(3−k2由直线过定点(0,1)，故∴(解得k2=2或72（舍去），∴k=±2，∴直线故答案为：y=±2【分析】理解题意画出图形，将双曲线与直线联立方程组，借助韦达定理表示△OMN的面积并计算即可得解.16．【答案】[【解析】【解答】解：根据导函数f'(x)图象可知，f'(x)的图象过点(0,3)，

∴Acosφ=又f'(x)的图象过点(π6,0)，∴cosφ=32=∴f'(x)=2cos(2x+又∵f(x)过点(0,1)，∴f(0)=sinπ∴f(x)=sin(2x+π令f(tx)=sin(2tx+π6)+令2tx+π6=α，∵x∈[0∵函数y=f(tx)(t>0)在[0,∴sin(2tx+π6)=12在[0,故答案为：[1【分析】数形结合，由f'(x)的图象过点(0,3)，(π6,0)可求出A和φ，结合f(0)=1求得f(x)=sin(2x+π617．【答案】（1）解：∵A+B+C=π，∴sinA=sin(B+C)，∴bsinA=asinπ−B∴由正弦定理可得sinBsinA=sinAcosB∵sinB=2sinB2cos∵sinA≠0，cosB2≠0，∴sinB2（2）解：依题意，S△ABC因为|BA+BC|=2|BD|，所以|BA+BC∴△ABC面积的最大值为12【解析】【分析】（1）根据正弦定理的应用进行边角转化，以及三角形内角和A+B+C=π可得sinBsinA=sinAcosB218．【答案】（1）解：∵数列{an}由题意知5所以an（2）解：∵an+1S∵Sn=【解析】【分析】（1）利用基本量法求解已知条件的方程组即可求得其通项公式；（2）利用裂项求和得Tn=119．【答案】（1）解：记“检测出至少有1个零部件是合格品”为事件A，则P(A)=1−P(A（2）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0,P(X=0)=C162C20所以随机变量X的分布列为X012P12323E(X)=0×12【解析】【分析】（1）理解题意，根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率计算公式即可得到答案；（2）先求出X的所有可能取值，再利用超几何分布即可得到其分布列，从而可得数学期望.20．【答案】（1）证明：如图，在平面ABC内作CA的垂线CD，∵B1C⊥平面ABC，∴AC，B依题意，以C为坐标原点，分别以CA,CD,∵AB⊥BC，AB=BC=2，∴AC=∵BC⊂平面ABC，B1C⊥平面ABC，∴B1C⊥BC∴当M为AC中点时，点M的坐标为(1,0,0)，∵AA1=B∴N(12,−1∵AB⊂平面ABC，B1C⊥平面ABC，又AB⊥BC，BC∩B1C=C，BC，B1C⊂平面BC∵AB⋅MN=0，（2）解：M(23,0,0)，则设平面BC1M∴13a+b=0,−53设直线MN与平面BC1M由题意可得sinα=|cos⟨m【解析】【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，结合线面垂直的判定定理以及数量积公式即可求证；（2）计算出MN，再求出平面BC21．【答案】（1）解：设x轴与准线的交点为M．∵PF⊥QF,∴当|PF|=2|QF|时，∴|PM|=2|MF|，|MF|=2|MQ|．∴|PQ|=|PM|+|MQ|=5∴抛物线C的标准方程为y2（2）解：依题意，直线AB的斜率不为0，∴设直线AB的解析式为x=ky+b，A(x1,联立y2=4x,x=ky+b,消去x，得y由FA⋅FB=0可得(x1−