江苏2018高三数学一轮复习 三角函数与解三角形

第1讲弧度制与任意角的三角函数

考试要求1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化，A级要求；2.任意角的三角函数(正

弦、余弦、正切)的定义，B级要求.

知识梳理

1.角的概念的推广

(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角,按顺时针方向旋

转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角.

(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角

的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何

象限.

(3)终边相同的角：与角a的终边相同的角的集合为{例5=k360。十处左©Z}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于坐徒运的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式

角a的弧度数公式|a|=(弧长用1表示)

角度与弧度的换

①l°=rad；②lrad=。

算

弧长公式弧长l=\a\r

扇形面积公式

3.任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

仅供个人学习参考

设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么

定义

工叫做a的余叫做a的正切，

上叫做a的正弦，记作sina

弦，记作cosa记作tana

续表

I+++

一一

各象限II+

符号

III一一+

IV一+一

三角函有向线段皿为正有向线段为余有向线段为正

数线弦线弦线切线

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)小于90。的角是锐角.()

⑵锐角是第一象限角，反之亦然.()

⑶将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30。.()

(4)若a©,贝Utana>a>sina.()

(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.()

解析(1)锐角的取值范围是.

(2)第一象限角不一定是锐角.

(3)顺时针旋转得到的角是负角.

(5)终边相同的角不一定相等.

仅供个人学习参考

答案(1)X(2)X(3)x(4)V(5)X

2.若角a与角的终边相同，则在［0,2兀］内终边与角终边相同的角是.

解析由题意知，a=2kn+,kGZ,,左6Z,又6［0,2兀］,：.k=0,a=；k=l,a=；k=2,

a=；a=3,ot=.

答案，，，

3.(必修4P15习题6改编)若tana>0,sina<0,则a在第象限.

解析由tana>0,得a在第一或第三象限，又sina<0,得a在第三或第四象限或终边在y轴的负

半轴上，故a在第三象限.

答案三

4.已知角a的终边经过点(一4,3),则cosa=.

解析•••角a的终边经过点(一4,3),

..x=—4,y=3,r=5.

••COS(Z==一.

答案一

5.(必修4P10习题8改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度.

答案

考点一角的概念及其集合表示

【例1】⑴若角a是第二象限角，则是第象限角.

(2)终边在直线y=x上，且在［-2兀，2兀)内的角a的集合为.

解析(l)：a是第二象限角，

+2左兀<。<兀+24兀,kez,

.,.+E＜〈+ATI,左©Z.

当左为偶数时，是第一象限角；

当上为奇数时，是第三象限角.

（2）如图,

在坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是，在［0,2兀）内，终边在直线y=x上的角有两

个：，71；在［-2兀，0）内满足条件的角有两个：一兀，—71,故满足条件的角a构成的集合为.

答案（1）一或三（2）

规律方法（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边

相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数上赋值来求得所需的角.

（2）确定左a,（左GN*）的终边位置的方法

先用终边相同角的形式表示出角a的范围，再写出ht或的范围，然后根据左的可能取值讨论确定

左a或的终边所在位置.

【训练1】⑴设集合"=,N=

,则下列结论：

①M=N；②M?N；③N?M；④〃nN=?.

其中正确的是（填序号）.

（2）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（填序号）.

解析（1）法一由于〃==「♦，-45°,45°,135°,225。，…},

N=={…，-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有M?N.

法二由于〃中，X=180。+45。=左-90。+45。=（2左+1〉45。，2左+1是奇数；

而N中，x=-180o+45°=^45o+45°=（^+1）-45°,左+1是整数，因此必有

（2）当左=2"Z）时，2〃兀+WaW2〃兀十,此时a表示的范围与WaW表示的范围一样；

仅供个人学习参考

当左=2"+1(n62)时，2〃兀+WaW2〃兀+,此时a表不的范围与WaW表示的范围一样.

答案⑴②⑵③

考点二弧度制及其应用

【例2】已知一扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为/.

(1)若a=60。，R=10cm,求扇形的弧长/；

(2)已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角；

(3)若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解(l)a=6CP=rad,.,.l=a-R=X10=(cm).

(2)由题意得解得(舍去)，

故扇形圆心角为.

(3)由已知得,/+2印=20.

所以S=/R=(20—2R)R=10R—R2=—(R—5>+25,所以当R=5时，S取得最大值25,

此时/=10,«=2,

规律方法应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，栗注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

【训练2】已知一扇形的圆心角为a(a>0),所在圆的半径为R

(1)若a=90。，7?=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当a为多少弧度时，该扇形有最大面积？

解(1)设弧长为/,弓形面积为S弓，则

a=90°=,R=10,/=X10=5兀(cm),

S弓=S扇一SA=X5兀X10-X102=257i-50(cm2).

(2)扇形周长C=2H+/=2R+aR,

：.R=,

♦.S扇=a，R"=ct,2

=.=.W.

当且仅当后=4,即a=2时，扇形面积有最大值.

考点三三角函数的概念

【例31(1)(2017•扬州一中月考)已知角a的终边与单位圆f+产=1交于点P,则cos2a=.

(2)(2017•泰州模拟)已知角a的终边过点P(-8m,—6sin30。)，且cosa=-,则m的值为.

(3)若sina-tana＜0,且＜0,则角a是第象限角.

解析(1)根据题意可知，cosa=,/.cos2a=2cos2a—1=2X—1=—.

(2)Vr=,

=

・・cosot=-9

・・加＞0,・・=,

即m=.

(3)由sina-tana＜0可知sina,tana异号，从而a为第二或第三象限的角,由＜0,可知cosa,tana异

号，从而a为第三或第四象限角.综上，a为第三象限角.

答案⑴一(2)⑶三

规律方法(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一

个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离兀

(2)根据三角函数定义中x,y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二

仅供个人学习参考

正弦、三正切、四余弦”.

（3）利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范

围.

【训练3】（1）（2017•无锡期末）已知角a的终边与单位圆的交点P,则sina・tana=.

（2）满足cosaW—的角a的集合为.

解析（1）由|0尸|2=+丁2=1,

得,2=,y=±.

当y=时，sintz=,tana=,

此时，sina-tana=—.

当y二时，sinct=,tana=,

此时，sina-tana=~.

⑵作直线》=一交单位圆于C,。两点，

连接。C,OD,则OC与。。围成的区域（图中阴影部分）即为角a终边的范围，故满足条件的角a

的集合为.

答案⑴一（2）

［思想方法］

1.在利用三角函数定义时，点尸可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|。。|=『

一定是正值.

2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四

余弦.

3.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

［易错防范］

1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90。的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，

第二、第三类是区间角.

2.角度制与弧度制可利用180o=7irad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不

可混用.

3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

基础巩固题组

（建议用时：30分钟）

1.给出下列四个命题：

①一是第二象限角；②是第三象限角；③一400。是第四象限角；④一315。是第一象限角.

其中正确的命题的个数为..

解析一是第三象限角，故①错误尸兀十,从而是第三象限角，②正确.

-400°=-360°-40°,从而③正确.一315°=—360。+45。，从而④正确.

答案3

2.已知点P（tana,cosa）在第三象限，则角a的终边在第象限.

解析由题意知tana<0,cosa<0,...a是第二象限角.

答案二

3.（2017•苏州期末）已知角。的终边经过点P（4,m），且sin6=,则机=.

解析sin6==,解得m=3.

答案3

4.已知角a的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角a用集合可表示为.

解析在［0,2兀）内，终边落在阴影部分角的集合为，

所以，所求角的集合为（左©Z）.

仅供个人学习参考

答案(左©Z)

5.设尸是角a终边上一点，且|。尸|=1,若点尸关于原点的对称点为。，则。点的坐标是.

解析由已知P(cosa,sina),则。(一cosa,—sina).

答案(―cosa,—sina)

6.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于.

解析设扇形半径为广，弧长为/,则解得

答案

7.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达。点，则。点的坐标为..

解析由三角函数定义可知。点的坐标(x,y)满足x=cos=—,j=sin=.

答案

8.设。是第三象限角，且=—cos,则是第象限角.

解析由。是第三象限角，知为第二或第四象限角，

,.1=—COS,.*.COS<0,综上知为第二象限角.

答案二

9.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角a©(0,兀)的弧度数为..

解析设圆半径为厂，则其内接正三角形的边长为厂，所以r=a/,，a=.

答案

10.已知角6的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos26>=

解析由题意知，tan6=2,即sin0=2cos。,将其代入sin2e+cos2e=1中可得cos2®=,故cos28二

2cos2。-1=—.

答案

11.给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sina=sinA，则

a与4的终边相同；⑤若cos6<0,则。是第二或第三象限的角.

其中正确命题的个数是.

解析举反例：第一象限角370。不小于第二象限角100。，故①错；当三角形的内角为90。时，其既

不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin=sin,但与的终边不相同，故④

错；当cos6=—1,。=兀时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.

答案1

12.（2017•苏北四市期末）已知角a的终边经过点（3a—9,a+2）,且cosaWO,sina>0,则实数a的

取值范围是..

解析...cosaWO,sina>0,...角a的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.一2<aW3.

答案（一2,3]

能力提升题组

（建议用时：15分钟）

13.已知圆。：x2+y2=4与y轴正半轴的交点为点M沿圆0顺时针运动弧长到达点N,以

ON为终边的角记为a,则tana=.

解析圆的半径为2,的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tana=l.

答案1

14.（2017•泰州模拟）设a是第二象限角，尸（x,4）为其终边上的一点，且cosa=x,贝Utana=.

解析因为a是第二象限角，

所以cosa=x<0,即x<0.

仅供个人学习参考

JCCOS(Z=X=,

解得x=-3,所以tana==—.

答案一

15.函数y=的定义域为.

解析,.，2sinx—1^0,

siiuN.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).

.,.xe^EZ).

答案(左©Z)

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置

在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为..

解析如图，作CQ〃x轴，PQLCQQ为垂足.根据题意得劣弧诉=2,

板/DCP=2,则在△PCQ中，ZPCQ=2-,

|CQ|=cos=sin2,|PQ=sin=—cos2,

所以尸点的横坐标为2—|CQ=2—sin2,尸点的纵坐标为1+『。|=1—cos2,所以尸点的坐标为(2

—sin2,1—cos2),故=(2—sin2,1—cos2).

答案(2-sin2,l—cos2)

第2讲同角三角函数基本关系式及诱导公式

考试要求1.同角三角函数的基本关系式：sida+cos2a=1,=tana,B级要求；2.±a,n±a,-a

的正弦、余弦的诱导公式，B级要求.

知识梳理

1.同角三角函数的基本关系

⑴平方关系：siiAx+cos2a=1.

(2)商数关系：=tanct.

2.三角函数的诱导公式

公式—•二三四五六

角2E+a/£Z)兀+a~a兀-a~a+。

正弦sina一sina—sin_asin_acos_acos_a

余弦cosot-cos_aCOS_Q-cos_asin_a—sin_a

正切tanatana—tana一tanaX

函数名改变，符号

口诀函数名不变，符号看象限

看象限

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“J”或“X”)

(l)sin(兀+a)=—sina成立的条件是a为锐角.()

⑵六组诱导公式中的角a可以是任意角.()

⑶诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,

变与不变指函数名称的变化.()

(4)若sin(for—a)=(左CZ),则sina=.()

解析(1)对于a©R,sin(兀+a)=—sina都成立.

(4)当左为奇数时,since=,

当左为偶数时，sina=—.

答案(1)X(2)V(3)V(4)X

仅供个人学习参考

2.sin600。的值为.

解析sin600°=sin（360°+240°）=sin240°=sin（l80°+60°）=-sin60°=

答案一

3.（2017•苏北四市摸底）已知sin=,那么cosa=.

解析,/sin=sin=cosa,/.cosa=.

答案

4.（2017・南通调研）已知sine+cos6=,6G,则sin。-cos。=.

解析「sine+cos6=,sin9cos8=.

又,/（sin0—cos^）2=1—2sin0cos^=,

sin0—cos0=或一.

又sin0—cos0=—.

答案一

5.（必修4P23习题H改编）已知tana=2,则的值为.

解析原式===3.

答案3

考点一同角三角函数基本关系式及其应用

【例1】⑴（2015•福建卷改编）若sina=一,且a为第四象限角，则tana的值等于

（2）（2017•盐城模拟）已知sinacosa=,且<a<,则cosa—sina的值为.

（3）（2016•全国III卷改编）若tana=,则cos2a+2sin2a=.

解析（l）・.,sina=—,且a为第四象限角，cosa==,/.tana==—.

（2）：<a<,

.*.cosa<0,sina<0且cosa>sina,

cosa—sina>0.

又(cosa—sina)2=1-2sin«cos«=1-2X=,

・・cosot-sinot=.

(3)tan«=,则cos2a+2sin2a===.

答案⑴一(2)(3)

规律方法⑴利用sin2ot+cos2«=1可以实现角a的正弦、余弦的互化，利用=tana可以实现角a

的弦切互化.

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sina+cosa,sinotcosa,since—cosa这三个式子，利用

(sina±cosa)2=l±2sin«cosa,可以知一求二.

(3)注意公式逆用及变形应用：1=sin2a+cos2«,sin2a=1—cos2«,cos2ot=1—sin2ot.

【训练1】⑴已知sin。-cosa=,a£(0,兀)，则tana=.

(2)(2017・盐城调研)若3sina+cosa=0,则=.

解析⑴由

得：2cos2。+2cosQ+1=0,

即2=0,/.cosa=—.

a£(0,7i),・・a=,・・tana=tan=-1.

(2)3sina+cosa=0?cosaW0?tana=—,==

答案(1)—1(2)

考点二诱导公式的应用

【例2】(1)化简：sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)-sin(-1050°)；

仅供个人学习参考

(2)求值：

设7(a)=(l+2sinaW0),求邢I值.

解(l)JM^=-sinl2000cosl2900-cosl020°sinl0500

=-sin(3X360°+120°)cos(3X360。+210°)—cos(2X360°+300°)sin(2X360°+330°)

=-sinl20°cos2100-cos300°sin3300

=-sin(l80°-60°)cos(l80°+30°)—cos(360°—60°).sin(360°—30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°=

X+X=l.

⑵：曲)=

•r________

••/•

规律方法(1)诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

(2)含2兀整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2兀的整数倍的三角函数式中可直接将2兀的整数倍去掉后

再进行运算，如COS(5TI—ct)=cos(7i—a)=­cosa.

【训练2】(1)已知A=+(左©Z),则A的值构成的集合是.

(2)化简：=.

解析(1)当上为偶数时，A=+=2；

左为奇数时，A=—=—2.

(2)原式=

===-1.

答案(1){2,-2}(2)-1

考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用

【例3】(1)已知tan=,则tan=.

(2)(2017•南京、盐城模拟)已知cos=,且一兀＜0：＜一，则cos=.

解析(1)•.•+=；；,

tan=tan

=­tan=—.

(2)因为+=,

所以cos=sin=sin.

因为一7i＜a＜一,所以一＜a+＜—

又cos=＞0,所以一＜«+＜一,

所以sin=-

答案(1)~(2)一

规律方法(1)常见的互余的角：一a与+a;+a与一a;十a与一a等.

(2)常见的互补的角：+。与一氏+。与一。等.

【训练3]⑴已知sin=,则cos=.

⑵设函数於)(x©R)满足於+兀)=/(x)+sin%,当时，危)=0,则/=

解析(1)：+=,

・・cos=cos=sin=.

仅供个人学习参考

(2)由j［x+7i)—fix)+sinx,得«x+27i)=/(x+7r)+sin(x+兀)

=1/(%)+sin%—sinx=fix),

所以片f

=/1=/1=/+sin兀

因为当0W;r<7r时，y(x)=O.

所以/=0+=.

答案⑴(2)

［思想方法］

1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函

数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注

意平方关系的使用.

2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用

公式tan%=^行切化弦或弦化切，如，asin2x+Z?siiixcos^+ccos2%等类型可进行弦化切.(2)和积转

换法：如利用(sin。土cose)2=l±2sin6cos。的关系进行变形、转化.⑶巧用“1”的变换：I=sin2e+cos2。

=cos20(l+tai?。)=sin20=tan=….

［易错防范］

1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去

负一脱周一化锐.

特别注意函数名称和符号的确定.

2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

基础巩固题组

（建议用时：30分钟）

1.（2016•四川卷）sin750°=.

解析sin750°=sin（720°+30°）=sin30°=.

答案

2.（2017・镇江期末）已知a是第四象限角，sina=—,则tana

解析因为a是第四象限角，sina=—,

所以cosa==,

故tana==—.

答案一

3.已知tana=,且ad,则sina=.

解析..,tana=>0,且a©,/.sin«<0,

・*・.sm2%_=_=__=__=_,

sin«=—.

答案一

4.=.

解析=

———|sin2—cos2|=sin2—cos2.

答案sin2—cos2

5.（2016・全国I卷）已知。是第四象限角，且sin=,则tan=

解析由题意，得cos=,...tan=.

.--tan=tan=—=—.

仅供个人学习参考

生1=1案—

6.（2017・扬州中学质检）向量a=,b=（cosa,1）,且则cos=

角翠析9•a—,b=（cosa91）,且a〃。，X1—tanacosa=0,sina

・・cos=sinot=—.

套案—

F=1

7.（2017•广州二测改编）cos=,贝Usin=.

角星析sin=sin=cos=.

套案

F=l

8.（2017•泰州模拟）已知tana=3,则的值是.

解析原式=

=====2.

答案2

9.已知a为钝角，sin=,则sin=.

解析因为a为钝角，所以cos=—,所以sin=cos=cos=—.

套案—

10.已知sina=,贝！Jsin%—cos%的值为.

角星析sin%—cos%=sin2a—cos2a=2sin2a—1=-1=—.

套案—

i=i

11.化简：=.

解析原式===1.

答案1

12.（2017・西安模拟）已知函数於）=Qsin（7ix+a）+bcos（兀x+份,且人4）=3,则#2017）的值为

角星析=〃sin（4兀+a）+Z?COS（4TI+0）

--asina+bcos/3~~39

.7/（2017）=asin（2017兀+a）+bcos（2017兀+£）

=asin（兀+a）+bcos（兀+2）

=—asina—bcos^

=-3.

答案一3

能力提升题组

（建议用时:15分钟）

13.已知sin（兀+。）=—cos（2兀-8）,|例<,则。=.

解析:sin（兀+。）=—cos（2兀一。）,

-sin8=—cos。，

.*.tan0=,V\0\<,：.6=.

答案

14.若sin。，cos。是方程4x2+2znx+机=0的两根，则根的值为

解析由题意知sine+cos8=—,sin0-cos^=.

又2=1+2sin0cos0,

.*.=1+,解得机=1土.

又/=4帆2—16加20,.•.znWO或加24,.*.m=1—.

答案1一

仅供个人学习参考

15.（2017•苏州调研）已知sin=,则sin+sii?的值为.

角星析sin+sin2=sin+sin2=—sin+cos2

=—sin+1—sin2=.

答案

16.已知COS=Q,则cos+sin=.

角星析Vcos=cos

=—COS=—（2.

sin=sin=cos=a,

.*.cos+sin=0.

答案0

第3讲三角函数的图象和性质

考试要求Ly=sinx,y=cosx,y=tanx的图象及周期性，A级要求；2正弦函数、余弦函数在区

间［0,2兀］上的性质（如单调性、最值及与x轴的交点等），B级要求；3.正切函数在区间内的单调性，

B级要求.

知识梳理

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

⑴正弦函数y=sin%,t£［0,2兀］的图象中,五个关键点是：（0,0）,,（兀,0）,,（2兀,0）.

（2）余弦函数y=cosx,%弓［0,2兀］的图象中，五个关键点是：（0,1）,,

（兀，-1）,,（2兀，1）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中左WZ）

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象

定义域RR

值域L1J1Ll,llR

周期性2兀2兀匹

奇偶性奇函数偶函数奇函数

单调增区间-2航——兀，2-兀|

单调减区间「2%兀，2左兀+兀|无

对称中心(左兀，0)

对称轴方程x=kit无

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)由sin=sin知，是正弦函数y=sinx(xGR)的一个周期.()

(2)余弦函数丁=8$%的对称轴是y轴.()

(3)正切函数丁=122在定义域内是增函数.()

(4)已知y=ksin%+l,xGR,则y的最大值为左+1.()

(5)y=sin|x|是偶函数.()

解析(1)函数y=sinx的周期是2E(左©Z).

(2)余弦函数丁=35%的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.

(3)正切函数丁=122在每一个区间(左©Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函

数.

(4)当k>0时，ymax=^+l；当NO时，>max=一左+L

仅供个人学习参考

答案(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V

2.(必修4P33例4改编)函数y=2tan的定义域为.

解析x一WE+,左WZ,左GZ,

即函数的定义域为.

答案

3.(2017•苏州一模)若函数於)=sin3G[0,2用)是偶函数，则夕=.

解析由已知/(x)=sin是偶函数，可得=E+,即9=3E+(Z©Z),又9@[0,2兀],所以夕=.

答案

4.函数段)=sin在区间上的最小值为.

解析由已知得2x—e,所以sin©,故函数/(x)=sin在区间上的最小值为一.

答案一

5.(2017・南通调研)若函数y=2coss在区间上单调递减，且有最小值1,则①的值为.

解析因为y=cosx在上单调递增，在上单调递减，所以必有。＞0,且心三.所以0＜。或.当x=时,

2cos兀=1,COS7C=.

所以CD=.

答案I考点突破二三:分类讲练，以例求法可「

考点一三角函数的定义域及简单的三角不等式

【例1】(1)函数兀0=-2tan的定义域是.

(2)不等式+2cosx20的解集是.

(3)函数次x)=+log2(2siiw—1)的定义域是.

解析(1)由正切函数的定义域，得2x+WE+,

即xW+（左©Z）.

(2)

由+2cosx20,

得COSX》一，

由余弦函数的图象，得在一个周期［―兀，兀］上，不等式cosxN—的解集为，

故原不等式的解集为.

(3)由题意，得

由①得一8WxW8,由②得sinx＞,由正弦曲线得+2左兀＜%＜兀+2左兀(左©Z).

所以不等式组的解集为UU.

答案⑴

(2)

(3)UU

规律方法(1)三角函数定义域的求法

①以正切函数为例，应用正切函数y=tanx的定义域求函数y=Atan(c«x+e)的定义域.

②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域.

(2)简单三角不等式的解法

①利用三角函数线求解.

②利用三角函数的图象求解.

【训练1］⑴函数y=tan2x的定义域为.

(2)函数y=的定义域为..

解析(1)由2xWE+,左GZ,得xW+,左©Z,

仅供个人学习参考

.,.y=tan2x的定义域为.

(2)法一

要使函数有意义，必须使sin%—cosxNO.利用图象，在同一坐标系中画出［0,2TI］_hy=sinx和y=cosx

的图象，如图所示.

在［0,2兀］内，满足sinx=cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2兀，所以原函数的定义域

为

法二利用三角函数线，

画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).

所以定义域为

法三sinx—cosx=sin20,将刀一视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2防iWx—Wu

+2for/©Z),

解得2E+WxW2左兀+(左©Z).

所以定义域为.

答案⑴

(2)

考点二三角函数的值域

【例2】⑴函数y=—2siwc—1,x©的值域是.

⑵(2016•全国II卷改编)函数八x)=cos2x+6cos的最大值为.

(3)函数y=sin%—cosx+sinxcosx的值域为.

解析(1)由正弦曲线知y=sinx在上，一lWsinx<,所以函数丁=

—2sinx—1,xG的值域是(一2,1].

(2)由«x)=cos2x+6cos=l—2sin2x+6sin%=-22+,所以当

sinx=1时函数的最大值为5.

(3)设r=sinx—cosx,

则Z2=sin2x+cos2%—2sinxcosx,

sinxcosx=,且一W/W.

•'-y=—=—(t-1)2+1.

当t=l时，ymax=l；

当/=一时，＞min=-------.

••・函数的值域为.

答案(1)(—2,1](2)5(3)

规律方法求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：

⑴形如y=asinx+Z?cosx+c的三角函数化为y=Asin(ox+°)+c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y=asin2x+Z?sinx+c的三角函数，可先设sinx=/,化为关于/的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y=asinxcosx+&(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设r=sin%±cosx,化为关于t的二次函数求

值域(最值).

【训练2】⑴(2017•泰州模拟)函数y=2sin

(0W尤W9)的最大值与最小值之和为.

(2)函数y=-2cos+l的最大值是,止匕时x的取值集合为.

解析(1)因为0WxW9,所以一W无一W,

所以sine.

仅供个人学习参考

所以丁可一，2],所以ymax+〉min=2-

(2)ymax=-2X(-l)+l=3,

此时，x—=24兀+兀，即尤=4左兀+(攵cZ).

答案(1)2-(2)3

考点三三角函数的性质(多维探究)

命题角度一三角函数的奇偶性与周期性

【例3—11(1)(2017.常州期末)函数尸2cos2—1的最小正周期为的_______函数(填“奇”

或“偶”).

⑵(2017.衡水中学金卷)设函数加)=sin—cos的图象关于y轴对称，则6=.

解析(l)y=2cos2—1

=cos2—cos

=cos=sin2x,

则函数为最小正周期为兀的奇函数.

(2)fix)=sin—cos=

2sin,由题意可得汽0)=2sin=±2,即sin=±l,，。一=+E/©Z),，。=+而(左©2),...左

=—1时，6——.

答案(1)兀奇(2)一

规律方法⑴若於)=Asin(0x+0)(A,0W0),贝U

①/(x)为偶函数的充票条件是9=+kit(keZ)；

②Ax)为奇函数的充要条件是9=hi/GZ).

(2)函数y=Asin((yx+0)与y=Acos(0x+夕)的最小正周期T=,y=Atan((yx+°)的最小正周期T=.

命题角度二三角函数的单调性

【例3—2］（1）函数Hx）=sin的单调递减区间为.

（2）若4x）=2sinox+l（o>0）在区间上是增函数，则①的取值范围是.

解析（1）由已知可得函数为y=—sin,欲求函数的单调减区间，只需求y=sin的单调增区间.

由2E—W2x—W2ATI+,左©Z,

得左©Z.

故所求函数的单调递减区间为（左©Z）.

（2）法一由2左兀一W①XW2ATT+,左GZ,

得人功的增区间是/GZ）.

因为兀¥）在上是增函数，

所以？.

所以一三一且W,所以①G.

法二因为XG,①>0.

所以cox^,

又火x）在区间上是增函数，

所以？,

则又0>0,

得0<（wW.

法三因为兀。在区间上是增函数，故原点到一，的距离不超过，即得T>,即巳，又0>0,得0<。4

答案（1）（左GZ）（2）

规律方法（1）求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin（0x+0）形式，再求y=

仅供个人学习参考

Asin（（yx+°）的单调区间，只需把①x+夕看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要

先把①化为正数.（2）对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数①的范围的问题，首先，明确

已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之

间的关系可求解.

命题角度三三角函数的对称轴或对称中心

【例3—3】（1）（2017•苏、锡、常、镇四市调研）若函数加）=2sin（4x+°）（e<0）的图象关于直线％=对

称，则9的最大值为.

⑵（2016•全国I卷改编）已知函数外）=sin（0x+°）,x=—为火x）的零点，尸为>=段）图象的对称轴,

且人x）在上单调，则①的最大值为.

解析⑴由题可得，4X+（p=+kll,左©Z,9=+左兀，左©Z,.0<0,...夕max=—.

（2）因为x=—为火X）的零点，%=为1%）的图象的对称轴，所以一=+左T,即=T=.,所以0=44+

1（1©N*）,又因为五x）在上单调，所以一=W=,即0W12,由此得o的最大值为9.

答案⑴一（2）9

规律方法（1）对于可化为y（x）=Asin（0x+0）形式的函数，如果求兀V）的对称轴，只需令c«x+9=+

E/ez）,求x即可；如果求人的的对称中心的横坐标，只需令0X+9=E（KGZ）,求x即可.

（2）对于可化为«x）=Acos（0x+夕）形式的函数，如果求«x）的对称轴，只需令0x+9=E（左GZ）,求

x即可；如果求人x）的对称中心的横坐标，只需令①x+9=+br（左GZ）,求x即可.

【训练3]（1）（2017・无锡期末）若函数加尸cos的图象关于点（孙0）成中心对称，&G,则xo=.

（2）已知0>0,函数y（x）=cos在上单调递增，则①的取值范围是.

解析⑴因为/（x）=cos=cos=-sin2x,/（—x）=—sin（—2x）=

sin2x=­/（x）,所以“x）=-sin2x是奇函数，所以人》）的图象关于原点对称.

（2）函数y=cosx的单调递增区间为[一兀+2左兀，2E],左GZ,

则/WZ),

解得44一WcoW2k—,左©Z,

又由4人---W0,左GZ且2左一>0,左©Z,

得k=1,所以①©.

答案(1)0(2)

［思想方法］

1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y=Asin(0x+e)(0>0)的形式.

2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=(Dx+(p,

将其转化为研究y=sinf的性质.

3.数形结合是本讲的重要数学思想.

［易错防范］

1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参

数对最值的影响.

2.要注意求函数y=Asin(0x+夕)的单调区间时A和0的符号，尽量化成co>0时情况，避免出现

增减区间的混淆.

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1.在函数①产出因，②y=|cosx|,③尸侬，④尸tan中，最小正周期为兀的函数有(填

序号).

解析最小正周期为兀；

②由图象知y=|cosx|的最小正周期为71；

③y=cos的最小正周期T==7i；

仅供个人学习参考

@y=tan的最小正周期T=.

答案①②③

2.（2017•南京模拟）函数五x）=tan的单调递增区间是..

解析当foi—<2x—<E+（左©Z）时，函数y=tan单调递增，解得一<x<+（左©Z）,所以函数丁=

tan的单调递增区间是（左©Z）.

答案（左©Z）

3.（2017•南通、扬州、泰州、淮安调研）设函数y=sin（0<xVi）,当且仅当％=时，y取得最大值，则

正数co的值为.

解析由题意可得O+=+2为I,左©Z且7iW,解得①=2.

答案2

4.（2017-徐州检测）函数y=cos2x—2sinx的最大值与最小值分别为.

解析y=cos2%—2sinx=1—sin2%—2sinx

=—sin2%—2sinx+1,

令/=sinx,则[£[—1,1],y——t2—2t~\~1=一（t~\~l）2+2,

所以ymax=2,ymin=—2.

答案2,~2

5.（2017•苏北四市联考）函数y=sinx+cosx的单调递增区间是.

角星析y=sinx+cosx=sin,

由2左兀一Wx+W2Z兀+（%£Z）,

解得2%兀一WxW2左兀+（%£Z）.

・,.函数的单调递增区间为（Z£Z）,

又XG,.•.单调递增区间为.

答案

6.（2017・盐城调研）若函数«x）=cos（0<°<?i）是奇函数，则9=1.

解析因为1%）为奇函数，所以夕一=+E,（p=+kn,左©Z.又因为0<夕<兀，故9=.

答案

7.（2017・银川模拟）已知函数Hx）=sin（xGR）,给出以下结论：

①函数人x）的最小正周期为兀；

②函数兀0是偶函数；

③函数40的图象关于直线》=对称；

④函数人x）在区间上是增函数.

其中正确的是（填序号）.

解析y（x）=sm=-cos2x,故其最小正周期为兀，故①正确；易知函数«r）是偶函数，②正确；由

函数兀0=—cos2x的图象可知，函数1x）的图象不关于直线x=对称，③错误；由函数xx）的图象

易知，函数1%）在上是增函数，④正确.

答案①②④

8.（2017・承德模拟）若函数«x）=sin①x（①>0）在上单调递增，在区间上单调递减，贝Uco=.

解析法一由于函数1x）=sin①x（①>0）的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知,

为函数/（x）的周期，故=,解得①=.

法二由题意，得Hx）max=/=sino=l.

由已知并结合正弦函数图象可知，8=,解得①=.

答案

二'解答题

仅供个人学习参考

9.(2015-安徽卷)已知函数fix)=(sinx+cosx)2+cos2x.

(1)求«x)的最小正周期；

(2)求人x)在区间上的最大值和最小值.

解(1)因为fix)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=sin+l,

所以函数汽X)的最小正周期为T==n.

(2)由(1)的计算结果知，»=sin+l.

当x©时，2x+G,

由正弦函数y=sinx在上的图象知，

当2x+=,即x=时，1Ax)取最大值+1；

当2x+=,即x=时，1Ax)取最小值0.

综上，/U)在上的最大值为+1,最小值为0.

10.(2016-天津卷)已知函数/(x)=4tan%sin-cos-.

(1)求Hx)的定义域与最小正周期；

(2)讨论人x)在区间上的单调性.

解(1求x)的定义域为.

1/(%)=4tan%cosxcos一

=4sinxcos-

=4sinx-

=2sinxcosx+2sin2x一

=sin2龙+(1-cos2x)—

sin2x-cos2x=2sin.

所以«x)的最小正周期T==n.

(2)