人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 1 1 倾斜角与斜率

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1§2.1直线的倾斜角与斜率2．1.1倾斜角与斜率学习目标1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<03．过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).思考任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？〖答案〗由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．1．任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(×)2．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(×)3．若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(×)4．经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．(×)一、直线的倾斜角例1(1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°C．90°<α<180° D．0°<α<180°〖答案〗C〖解析〗直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为()A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．α－45°〖答案〗AB〖解析〗根据题意，画出图形，如图所示：通过图象可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)注意倾斜角的范围．跟踪训练1(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．〖答案〗60°或120°〖解析〗有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．〖答案〗135°〖解析〗设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.二、直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)求经过两点A(2,3)，B(4,5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α；(2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率．解(1)存在．直线AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)当a＝3时，斜率不存在；当a≠3时，直线的斜率k＝eq\f(4,3－a).反思感悟求直线的斜率(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．跟踪训练2(1)若直线的倾斜角为135°，则直线的斜率为________．〖答案〗－1(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．〖答案〗1〖解析〗由斜率公式k＝eq\f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1.三、倾斜角和斜率的应用例3已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解如图，由题意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1〗∪〖1，＋∞)．(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．(2)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．跟踪训练3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．解(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝eq\f(2－3,－4－3)＝eq\f(1,7).直线AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f(5,3).故直线AB的斜率为eq\f(1,7)，直线AC的斜率为eq\f(5,3).(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).1．(多选)下列说法正确的是()A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B．若k是直线的斜率，则k∈RC．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角〖答案〗ABC2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)〖答案〗D〖解析〗D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．3．若经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于()A．2B．1C．－1D．－2〖答案〗A〖解析〗由题意知，tan45°＝eq\f(2－3,1－m)，得m＝2.4.若A(2,3)，B(3,2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三点共线，则实数m的值为________．〖答案〗eq\f(9,2)〖解析〗设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式，得kAB＝eq\f(3－2,2－3)＝－1，kBC＝eq\f(m－2,\f(1,2)－3)＝－eq\f(2,5)(m－2)．∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，即－1＝－eq\f(2,5)(m－2)，解得m＝eq\f(9,2).5．经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________