全国统考高考数学复习专题7解析几何VIP

2017年高考“最后三十天”专题透析2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台--教育因你我而变好教育云平台--教育因你我而变解析几何考点：1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式y−不能表示斜率不存在的直线斜截式y=kx+b两点式不能表示平行于坐标轴的直线截距式不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A，B可以表示所有类型的直线（2）两条直线平行与垂直的判定①两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，②两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1（3）两条直线的交点的求法直线l1：A1x+B1则l1与l2的交点坐标就是方程组（4）三种距离公式①P1(x1，②点P0(x0，y0③平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+（5）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x−a圆心：(a，b)一般方程x2(圆心：，半径：（6）点与圆的位置关系点M(x0，①若M(x0，②若M(x0，③若M(x0，2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>rd=rd<r（2）圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r(R>r)，则位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210d，R，r的关系d>R+rd=R+rR−r<d<R+rd=R−rd<R−r公切线条数432103．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标F1(−cF1(0顶点坐标，A2(a，0)，，B2长轴长轴A1A2短轴短轴B1B2焦距焦距F1F2范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a离心率，越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆（2）双曲线的标准方程及几何性质标准方程图形一般方程m几何性质范围|x|≥a，y|y|≥a，x焦点F1(−cF1(0顶点A1(−aA1(0对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称实、虚轴长线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=2a；线段焦距焦距|F1F离心率渐近线方程（3）抛物线的标准方程及其几何性质方程标准y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0对称轴y=0(x轴)x=0(y轴)焦点离心率e=1准线方程范围x≥0，yx≤0，yy≥0，xy≤0，x焦半径(其中P(4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)=0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量即联立，消去y，得ax2①当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．②当a=0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．（2）圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于M，N两点，M(x则或．进阶训练：一、选择题．1．已知直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2两条切线，切点分别为A，B，则三角形PAB的面积等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为直线kx+y+4=0是圆C:x所以直线kx+y+4=0过圆心，即3k−1+4=0，k=−1，所以点P1，−1因为圆C的半径r=1，所以切线长PA=且在直角三角形中，所以∠APC=∠BPC=30°，∠APB=60°所以三角形PAB的面积，故选D．【点评】本题主要考了直线与圆的位置关系，以及切线长的求法，属于基础题．2．已知x，y都是实数，则“x+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】x+y≤2表示的区域是以x2+y所以x2+y【点评】本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是q的必要不充分条件，则q对应集合是对应集合的真子集；（2）若是q的充分不必要条件，则对应集合是q对应集合的真子集；（3）若是q的充分必要条件，则对应集合与q对应集合相等；（4）若是q的既不充分又不必要条件，则对的集合与q对应集合互不包含．3．已知圆O:x2+y2=r2r>0与x轴的交点为A、B，以A、B为左、右焦点的双曲线的右支与圆O交于P、A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知PQ为OB的中垂线，因为点A、B的坐标分别为−r，0、r，0，所以联立，解得，可取，，所以双曲线的焦距为2c=2r，即c=r，因为，，由双曲线定义可得2a=PA−PB所以双曲线的离心率，故选A．【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率．4．过点P(x，y)作圆C1:x2+y2=1与圆A．2 B．2 C．22 D．【答案】B【解析】如图所示，由圆的切线的性质得C1在Rt△PAC1由题知PA=∴PC1=P由题知C1(0，0)，C2(2，C1与C2所在直线的斜率为∴P，Q所在直线l1∴直线l1的方程为y=−1×(x−1)+1，即y=−x+2点P(x，y)在y=−x+2，所以点P的坐标满足所以x2【点评】本题主要考查直线与圆相切的性质及函数的最值；解题方法是根据已知条件，将x2+y2表示为只含有一个未知数x的函数，然后根据二次函数的特征求出其最小值；解题的关键点是找出点P所在的一条直线，进而用一个未知数5．已知抛物线，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点Ax1，y且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设过抛物线C：的焦点F的直线为，代入抛物线方程得y2由直线上两点Ax1，y1，A正确；，B正确；∵M点坐标为，故，，，当m≠0时，MA⋅MB≠0，即由，D正确，综上所述，本题选C，故选C．【点评】（1）坐标法是解析几何的基本方法；（2）抛物线的焦点弦的常用性质：①弦长|AB|=x1+x2+p；②，；③以6．已知双曲线的左焦点为F，左顶点为A，直线交双曲线于P､Q两点(P在第一象限)，直线PA与线段FQ交于点B，若FB=2BQ，则该双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】依题意可得A−a，0因为P在第一象限，所以k>0，设Px1，y1消去y得b2−a所以，，设Bm，n，由FB=2BQ即，即，解得，即，因为B、A、P在一条直线上，所以kAP即，即，即2ab+2ab所以2ab2−a所以，故选D．【点评】本题考查双曲线的离心率的计算，关键是方程思想的应用．二、填空题．7．已知双曲线与抛物线C2：的焦点F重合，过点F作直线l与抛物线C2交于A、B两点（A点在x轴上方）且满足AF=3BF，若直线l只与双曲线右支相交于两点，则双曲线C1【答案】1【解析】设直线l的倾斜角θ，直线l与抛物线C2交于A、B两点（A点在x则为锐角，焦点，准线，准线与x轴交点记为P，过A、B分别向准线作垂线，垂足分别为C、D，过B向AC作垂线，垂足为E，设直线与x轴交点记为Q，过A向x轴作垂线，垂足为G，由抛物线的定义AF=因为GF=AFcos∴，BF=因为FQ=BFcosθ，由，则，由直线l只与双曲线右支相交于两点，则，则，由e∈1，故答案为1，【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率．8．设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B，且，则【答案】2【解析】抛物线C:y2=4x的焦点为设直线AB的方程为y=kx−1，代入y2=4x设Ax1，y1，B由抛物线的定义可得AF=x1由，得，即，由，即，解得或x2=−2（舍），所以x1所以，故答案为2．【点评】本题考查抛物线中过焦点的弦的性质的应用，解答本题的关键是方程联立得到x1x2=1，由抛物线的定义可得：AF=三、解答题．9．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l:y=2x+a与抛物线C交于A（1）若a=−1，求△FAB（2）已知圆M:(x−3)2+y2=4，过点P(4，4)作圆求证：直线DE与圆M相切．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）抛物线的焦点为F(1,0)，设A(x把y=2x−1方程代入抛物线y2=4x，可得，，∴|AB|=点F到直线l的距离，．（2）设过点P的直线方程为，由直线与圆M相切得，可得，设切线PD，PE的斜率分别为t1，t把代入抛物线方程可得，则4，y1是方程的两根，可得，同理．则有，，直线，即为，则圆心(3，0)到直线DE的距离为由，代入上式，化简可得d=2，所以直线DE与圆M相切．【点评】证明直线与圆相切，求出直线的方程，圆心和半径，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，化简求值等于半径即可．10．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的离心率，左顶点为A(−2，0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．【答案】（1）；（2）存在，；（3）22．【解析】（1）因为椭圆的离心率，左顶点为A(−2，0)，所以a=2，又，所以c=1，可得b2=所以椭圆C的标准方程为．（2）直线l的方程为y=k(x+2)，由，可得(x+2)(4k所以x1=−2，当时，，所以，因为点P为AD的中点，所以P点坐标为，则，直线l的方程为y=k(x+2)，令x=0，得E点坐标为(0，假设存在定点Q(m，n)(m≠0)，使得则kOP⋅k所以(4m+6)k−3n=0，所以，即，所以定点Q的坐标为．（3）因为，所以OM的方程可设为，和联立可得M点的横坐标为，由，可得，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值为22．【点评】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为Ax1，（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为x1（5）代入韦达定理求解．11．已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=8x的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线x=1上任意一点，直线，与椭圆C的另一个交点分别为D，E．求证：直线DE过定点H(4，0)．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）因为椭圆C的离心率，所以，即．由y2=8x，得2p=8，所以p=4，其焦点为因为抛物线y2=8x的焦点所以a=2，所以c=1，所以椭圆C的方程为．（2）由（1）可得A(−2，0)，B(2，0)，设点直线的方程为．将与联立，消去y整理得：4m设点D的坐标为xD，y故，则．直线的方程为，将与联立，消去y整理得4m设点E的坐标为xE，y故，则，直线HD的斜率为，直线HE的斜率为．因为k1=k2，所以直线【点评】通过HD和HE的斜率相等来证明直线DE过定点H(4，12．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，AF=3．过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk【答案】（1）；（2）λ=3．【解析】（1）因为离心率为，所以，又AF=3，所以a+c=3，解得a=2，c=1又c2=a所以椭圆方程为．（2）由（