2025年高考数学二轮复习 专项训练19 空间向量与空间角（原卷版）

2025二轮复习专项训练19空间向量与空间角[考情分析]高考必考内容，常以空间几何体为载体考查空间角，是高考命题的重点，常与空间线、面关系的证明相结合，热点为平面与平面的夹角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．题目难度为中档题．【练前疑难讲解】一、异面直线所成的角(1)设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，设l，m的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1)＋c\o\al(2,1))\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2)＋c\o\al(2,2))).(2)异面直线所成的角的范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).二、直线与平面所成的角(1)设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ＝(a2，b2，c2)，设直线l与平面α的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈a，μ〉|＝eq\f(|a·μ|,|a||μ|).(2)线面角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).三、平面与平面的夹角(1)设平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)，且平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈μ，v〉|＝eq\f(|μ·v|,|μ||v|).(2)平面与平面的夹角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).一、单选题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面（如图2）此时直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·广东深圳·二模）如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（

）A．三棱锥的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为4．（22-23高二上·山东德州·期中）如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则（

）A．无论取何值，三棱锥的体积始终为B．若，则C．点到平面的距离为D．若异面直线与所成的角的余弦值为．则三、填空题5．（2024·上海·高考真题）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与BD的夹角余弦值为.6．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是．四、解答题7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点．(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．8．（2021·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【基础保分训练】一、解答题1．（23-24高三上·山东枣庄·期末）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离.2．（2024·天津·二模）如图，平面，，，，，为的中点．(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长．3．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是侧棱的中点，侧面为正三角形，侧面底面．(1)求三棱锥的体积；(2)求与平面所成角的正弦值．4．（2024·天津河东·一模）在正方体中（如图所示），边长为2，连接

(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由．5．（2024·天津·二模）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．6．（2024·江苏·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且.

(1)证明：平面；(2)当二面角为时，求.7．（2024·天津河西·一模）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)求点到平面的距离．8．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点，连接．

(1)证明：；(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．【能力提升训练】一、解答题1．（22-23高三上·湖北·阶段练习）如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.(1)证明：平面；(2)若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值.2．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为.(1)求实数值；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值.3．（2024·山东青岛·一模）如图，在三棱柱中，与的距离为，，．(1)证明：平面平面ABC；(2)若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值．4．（2024·山东济南·二模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：；(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为.5．（2021·全国·高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．6．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．(1)求证：当为中点时，平面；(2)若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置．7．（23-24高三上·江苏淮安·期中）如图，是半球的直