2025年高考数学二轮复习 专项训练17 空间几何体（解析版）

2025二轮复习专项训练17空间几何体[考情分析]高考常考知识，主要考查几何体的表面积与体积、球的组合体问题．常以选择题、填空题的形式出现，部分题目难度较大．【练前疑难讲解】一、空间几何体的截面问题1．用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．2．确定截面的主要依据有(1)平面的四个基本事实及推论．(2)直线和平面平行的判定和性质．(3)两个平面平行的性质．(4)球的截面的性质．二、表面积与体积1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式：(1)圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；(2)圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；(3)圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；(4)球的表面积S＝4πR2.2．柱体、锥体和球的体积公式：(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；(3)V球＝eq\f(4,3)πR3.三、多面体与球多面体的外接球模型：(1)长方体的外接球直径为体对角线，则R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)；正方体的外接球半径为R＝eq\f(\r(3)a,2)；正方体的内切球半径为r＝eq\f(a,2).(2)柱体模型如图①，在三棱柱PB1C1－ABC中，已知PA⊥平面ABC，设外接球半径为R，球心为O，△ABC的外接圆圆心为O1，则R＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋O1A2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))2＋r2)，其中r＝O1A为△ABC外接圆半径．(3)锥体模型如图②，在正三棱锥P－ABC中，先求出高线长h＝PO1＝eq\r(PA2－r2)，在Rt△OO1A中，R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(h－R)2＋r2，解方程求出R，其中R为外接球半径，r＝O1A为△ABC外接圆半径，O1为△ABC的外接圆圆心．(4)正四面体(构造正方体)、对棱相等的三棱锥(构造长方体)如图③：正四面体D－A′BC′可构造正方体(所有面对角线相等)；如图④：对棱相等的三棱锥A－BCD可构造长方体(对面的对角线相等)．一、单选题1．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3，高为2.用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离为（

）A． B． C． D．2．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三上·云南·阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（

）

A．该圆台轴截面ABCD的面积为B．该圆台的表面积为C．该圆台的体积为D．该圆台有内切球，且半径为4．（2023·广东深圳·二模）如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（

）A．三棱锥的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为三、填空题5．（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为．6．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知圆锥的轴截面面积为，则该圆锥的外接球半径的最小值为.参考答案：题号1234答案DBABBD1．D【分析】延长正四棱台的棱交于一点，由三角形相似，求出，再由棱台的体积公式求出截面截得棱台的上部分几何体的体积，设截面与上底面的距离为，正方形的边长为，由三角形相似，得到，结合即可求出.【详解】延长正四棱台的棱交于点，如图所示，截面平行于底面设上底面的面积为，下底面的面积为，截面的面积为，正四棱台的体积为，平行于底面的截面截棱台，截得的上部分几何体体积为，则，上底面的中心为，下底面的中心为，连结，则上底面，下底面，正四棱台的高为，设截面与上底面的距离为，正方形的边长为，，，由得，，由得，，又，所以，同理可得，得，所以，①又因为，②由①②得，，，所以截面与上底面的距离为.故选：D.

2．B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，设球的半径为，则，可得，所以，，所以，，，，则，所以，，又因为，所以，，所以，，，因此，这两个圆锥的体积之和为.故选：B.3．AB【分析】求出圆台的高可判断A；由圆台的表面积和体积公式可判断B，C；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆可判断D.【详解】对于A，由，可得高，则圆台轴截面ABCD的面积为，故A正确；对于B，圆台的侧面积为，又，，所以，故B正确；对于C，圆台的体积为，故C错误；对于D，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误，故选：AB.4．BD【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.【详解】由题意可得，又平面，所以平面，在中，，边上的高为，所以，故A错误；对于B，在中，，cos=2所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；对于C，，设点到平面的距离为，由，得，解得，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；由B选项知，，则，所以的外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，又因为平面，则，所以，即三棱锥外接球的半径为，故D正确.故选：BD.5．【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台的高分别为，，所以.故答案为：.6．2【分析】设圆锥的底面半径为，高为，可得，，设，利用导数判断单调性求出最值.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则，设圆锥的外接球的半径为，则无论球心在圆锥内还是圆锥外，都有，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，.故答案为：2.【基础保分训练】一、单选题1．（2024·湖南长沙·二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（

）A．平方米 B．平方米C．平方米 D．平方米2．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（

）A． B． C． D．4．（2024·宁夏银川·一模）已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（

）A． B． C． D．5．（2024·江苏南京·二模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（

）A． B． C． D．6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．7．（2023·天津北辰·三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（

）A． B． C． D．68．（2024·天津·二模）已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（

）．A． B． C． D．9．（2024·河北邢台·一模）如图，正四棱台容器的高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（

）A． B． C． D．10．（2024·天津滨海新·二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比（

）A．， B．， C．， D．，二、多选题11．（2024·山西朔州·一模）已知圆锥的侧面积为，底面圆的周长为，则（

）A．圆锥的母线长为4B．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为C．圆锥的体积为D．沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为12．（24-25高三上·广西·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（

）A．在四面体中，点的曲率为B．在四面体中，点的曲率大于C．四面体外接球的表面积为D．四面体内切球半径的倒数为13．（2023·辽宁·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（

）A．直线平面B．直线平面C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球表面积14．（2024·安徽·一模）如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（

）A．直线与平面所成的角等于B．四棱锥的体积为C．两条异面直线和所成的角为D．二面角的平面角的余弦值为三、填空题15．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为.16．（2024·河南新乡·二模）已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为．17．（2024·全国·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则.18．（2023·上海徐汇·二模）如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为.参考答案：题号12345678910答案AABCCAABAC题号11121314答案ACDABDBCDABC1．A【分析】由题意可求出底面圆的半径，即可求出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式以及圆柱的侧面积公式结合圆的面积公式，即可求得答案.【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，设底面圆的半径为r，则，则圆锥的母线长为（米），故该蒙古包（含底面）的表面积为（平方米），故选：A2．A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．

3．B【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积.【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，四面体的外接球即为长方体的外接球，而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为，故，所以外接球表面积为.故选：B.4．C【分析】设圆锥的底面半径，母线为，外接球的半径为，依题意求出、，即可得，最后由球的表面积公式计算可得.【详解】依题意圆锥高，设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，解得l=2r=23，可知，所以圆锥的外接球球的表面积.故选：C.5．C【分析】令外接球的半径为，作出图象，求出圆台的母线，即可求出圆台的侧面积，再求出球的表面积，即可得解.【详解】令外接球的半径为，依题意，，，过点作，则，所以，又，所以，所以圆台的侧面积，球的表面积，所以圆台的侧面积与球的表面积之比为.故选：C6．A【分析】在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体，结合正方体的性质和求得表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体，显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径，则该球的表面积为．故选：A．7．A【分析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可求得棱长．【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，则该球半径，如图：可知为外接球球心，，平面，为底面等边的中心，设正四面体的棱长为，则，，在中，则，即，解得，即．故选：A8．B【分析】由正方体的特征及球的体积公式可计算正方体棱长，再根据三棱锥的体积公式计算即可.【详解】由题意可知正方体的外接球直径为正方体的体对角线，所以，所以.故选：B9．A【分析】先计算水的体积，再计算放入球后水和球的总体积，可得铁球的体积，利用体积公式可得答案.【详解】正四棱台容器的高为12cm，，，正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为，其体积为；放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图，其中是底面边长10cm，是容器的高为12cm，是水的高为9cm，由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4cm，此时水的体积为，放入的57个球的体积为，设小铁球的半径为，则，解得.故选：A10．C【分析】设球的半径为，利用球和圆柱的表面积、体积公式求解即可.【详解】设球的半径为，则圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为，所以圆柱的表面积，体积，球的表面积，体积，所以圆柱的表面积与球的表面积之比，圆柱体积与球体积之比，故选：C11．ACD【分析】先求出圆锥的母线和底面半径的长，逐项计算后可得正确的选项.【详解】

对于A，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，故，故A正确.对于B，圆锥的高为，则，故圆锥的母线与底面所成角的正弦值为，故B错误.对于C，圆锥的体积为，故C正确.对于D，沿着圆锥母线的中点截圆锥所得小圆锥的体积为，故所得圆台的体积为，故D正确.故选：ACD.12．ABD【分析】根据正方体的性质及四面体的内切球与外切球的半径算法，结合曲率的定义分别计算各选项.【详解】在正方体中，易证为正三角形，，，在四面体中，点的曲率为，A选项正确；在正方体中，，，，在四面体中，点的曲率为，B选项正确；四面体外接球的半径即为正方体外接球的半径为，四面体外接球的表面积为，C选项错误；四面体的体积，四面体的表面积，四面体内切球的半径，即，D选项正确；故选：ABD.13．BCD【分析】建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，求出相应三棱锥的体积和外接球的表面积，即可得出结论.【详解】由题意，在正方体中，棱长为2，P，E，F分别为棱，，BC的中点，为侧面的中心，建立空间直角坐标系如下图所示，

则,,A项，

，设面的法向量为，则，即解得：，当时，，∵，∴直线与面不平行，A错误；B项，

设面的法向量为，则，即解得：，当时，，∵，∴直线与平面平行，B正确；C项，

，C正确；D项，

如图，三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线，

∴为三棱锥外接球的直径，由几何知识得，∴三棱锥的外接球表面积为，D正确；故选：BCD.14．ABC【分析】根据线面角的定义及求法即可判断A；由平面即可求出四棱锥的体积判断B；由异面直线所成角的定义及求法即可判断C；由平面角的定义及余弦定理即可判断D．【详解】如图，取的中点，连接，则，而平面，平面，得，平面则平面，所以是直线与平面所成的角为，故A正确；点到平面的距离为的长度为，则，故B正确；易证，所以异面直线和所成的角为或其补角，因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故C正确；连接，由，所以，又，所以为二面角的平面角，易求得，又，，由余弦定理可得，故D错误．故选：ABC．15．/【分析】依题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，代入棱台的体积公式计算即得.【详解】如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为，则下底面边长为，则，,故,在中，,则由射影定理，得，解得，于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2，故该正四棱台的体积为：.故答案为：.16．【分析】利用球的截面圆性质求得球的半径，再利用球的体积公式即可得解.【详解】由球的截面圆性质可知球的半径，则该球的体积为.故答案为：.17．1【分析】设正的边长为2，求出圆锥底面圆半径、高、母线及球的半径，再利用体积、表面积公式计算即得.【详解】依题意，设正的边长为2，则圆锥的底面圆半径为1，高为，母线长为2，因此，，球半径即为正的边心距，因此，，所以.故答案为：118．/【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案.【详解】设圆锥的母线长为，所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，所以，所以圆锥的高.故圆锥的体积为：.故答案为：.【能力提升训练】一、单选题1．（2024·广东·二模）已知球与圆台的上、下底面和侧面均相切，且球与圆台的体积之比为，则球与圆台的表面积之比为（

）A． B． C． D．2．（2024·广东广州·一模）已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江宁波·模拟预测）表面积为的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（

）A． B． C． D．5．（2024·湖南常德·三模）如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（

）

A． B．C． D．6．（2024·福建莆田·二模）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北武汉·二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取）（

）

A．cm3 B．33664cm3 C．33792cm3 D．35456cm38．（2024·北京丰台·一模）正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论：①棱长为；②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；③表面积为；④外接球的体积为．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④9．（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（

）A． B． C． D．10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．11．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（

）A． B． C． D．二、多选题13．（2022·山东·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（

）A．存在点，使四点共面B．存在点，使平面C．三棱锥的体积为D．经过四点的球的表面积为14．（2024·山东济宁·一模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱BC的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．若是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为C．若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为D．若CN与平面所成的角为，则15．（2022·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（

）A．底面椭圆的离心率为B．侧面积为C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为D．底面积为三、填空题16．（2024·河南·模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是，圆锥的表面积与球的表面积的比值是．17．（2024·浙江温州·一模）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为.18．（22-23高一下·湖北武汉·期末）甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则.参考答案：题号12345678910答案DBBCBDBBCB题号1112131415答案ACABCADABD1．D【分析】由球与圆台的体积之比为，得到圆台的上、下底面半径分别为，球的半径之间的关系，代入表面积公式化简，即可得到答案.【详解】

由题意，作出圆台的轴截面，设圆台的上、下底面半径分别为，球的半径，则，过A作于点，由，得，化简得，由球的体积公式，圆台的体积公式，已知球与圆台的体积之比为，则，化简得，则，得，又球的表面积，圆台的表面积，所以，故选：D.2．B【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可.【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示：因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，，易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且，因为，则，又，且，由，即，解得；由面，面，则；则，又正方形的面积为，正方形的面积为，故正四棱台的体积.故选：B.3．B【分析】求出圆锥内切球的半径，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，求出，再换元利用基本不等式求出函数的最小值得解.【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，轴截面如下图示，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，所以，所以.（当且仅当时等号成立）所以该圆锥的表面积的最小值为.故选：B

4．C【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，

则圆台侧面积为，上、下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，所以圆台高，设球半径为，圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，所以球的体积为.故选：C.5．B【分析】利用等体积法求出点到平面的距离，说明所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球，再根据求得体积公式即可得解.【详解】由题意，设点到平面的距离为，而，由，得，解得，棱长为6的正方体的正方体的内切球的半径为，棱长为6的正方体体对角线的长度为，因为，所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球，则该球形饰品的体积的最大值为.故选：B.6．D【分析】根据正八面体的几何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合球半径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果.【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接，设，根据其对称性可知，过点，又该八面体为正八面体，则面，又面，故；显然正八面体的外接球球心为，设其半径为，，则，在直角三角形中，；由可得，则；故该八面体的表面积.故选：D.7．B【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得..【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为cm，则cm，由圆柱的底面圆直径为24cm，则有，即，可得，则，.故选：B.8．B【分析】注意到棱长总是一个等腰直角三角形的斜边，即可通过直角边的长度判断①正确；可以找到一对位于正方形相对的面上的两条垂直且异面的棱，得到②错误；根据该几何体每种面（正三角形和正方形）各自的数量和面积，可以计算出该几何体的表面积，从而判断出③正确；直接证明正方形的中心到该几何体每个顶点的距离都相等，并计算出距离，即可求出外接球的体积，得到④错误.这就得到全部正确的结论是①③，从而选B.【详解】如图所示：该几何体的每条棱都是的一个等腰直角三角形的斜边，且该等腰直角三角形的直角边长度为正方体边长的一半，故该等腰直角三角形的直角边长度为1，从而该几何体的每条棱的长度都是，①正确；若为该几何体位于正方体的一组相对的面上的两个平行的棱，为该几何体位于正方体的同一个面的两条棱，则，平行于，异面，所以异面，，这意味着存在一对异面的棱所成角是直角，②错误；该几何体一共有14个面，其中6个是正方形，8个是正三角形，边长均为，故每个正方形的面积都是，每个正三角形的面积都是，故表面积为，③正确；设正方体的中心为，由于对该几何体的任意一个顶点都是正方体的某条边的中点，故到该几何体的任意一个顶点的距离都是正方体边长的倍，即.这意味着以为球心，半径为的球是该几何体的外接球，从而外接球的体积，④错误.从而全部正确的结论是①③.故选：B.9．C【分析】根据勾股定理求解棱台的高,进而根据相切，由勾股定理求解球半径，即可由表面积公式求解.【详解】设棱台上下底面的中心为,连接，则，所以棱台的高,设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处，设中点为，连接,所以，解得，所以球的表面积为，故选：C10．B【分析】设底面的外接圆的半径为，由正、余弦定理求得，再设外接球的半径为，结合球的截面圆的性质，求得，利用求得表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，在中，，且，由余弦定理得，设底面的外接圆的半径为，由正弦定理得，即再设直三棱柱外接球的球心为，外接球的半径为，在直角中，可得，所以球的表面积为.故选：B.

11．A【分析】求出棱锥的高，进而得到棱锥体积，设出内切球半径，根据体积得到方程，求出半径，进而得到表面积.【详解】设内切球的半径为的中点为，则⊥平面，因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以，因为，由勾股定理得，故棱锥的体积为，棱锥的表面积为，设内切球的半径为，

则由等体积法可得，解得，所以．故选：A12．C【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可.【详解】过三角形的中心作平面的垂线，过三角形的中心作平面的垂线，两垂线交于点，连接，依据题中条件可知，为四面体的外接球球心，因为，所以,则,即外接球半径为，则该球的表面积为，故选：C.13．ABC【分析】由题意，当Q与点重合时，四点共面，即可判断A；根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断B；利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可判断C；易知经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D.【详解】A：如图，在正方体中，连接．因为N，P分别是的中点，所以．又因为，所以．所以四点共面，即当Q与点重合时，四点共面，故A正确；B：连接，当Q是的中点时，因为，所以．因为平面平面，所以平面，故B正确；C：连接，因为，则，故C正确；D：分别取的中点E，F，构造长方体，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球．设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，即，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故D错误．故选：ABC14．AD【分析】对于A,根据线面平行可知，点到平面的距离为定值，继而可判定；对于B,根据题意画出截面图，计算即可；对于C，作出图形，根据题意建立方程组，解出即可；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得的表达式，进一步计算求范围即可.【详解】对于A,连接,因为,平面,平面,所以平面,

又点是棱上的动点（含端点），所以点到平面的距离为定值，设为，则，为定值，故A