2025年高考数学二轮复习 专题一 函数与导数 第7讲　导数与不等式的证明原卷版

第7讲导数与不等式的证明（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】导数与不等式的证明 3【专题精练】 5考情分析：1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大．真题自测真题自测一、解答题1．（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.2．（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线y=fx在处的切线斜率；(2)求证：当时，；(3)证明：．3．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．4．（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．5．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．6．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．考点突破考点突破【考点一】导数与不等式的证明一、单选题1．（2024·江西·一模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2023·江西南昌·一模）已知，，，则（

）A． B． C． D．3．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）设，，，则（

）A． B．C． D．4．（22-23高三下·山东·开学考试）设，则（

）A． B．C． D．二、多选题5．（2023·辽宁·一模）已知实数a，b满足，下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．6．（2024·湖北·二模）已知，则下列不等式正确的有（

）A． B．C． D．7．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列选项中正确的是（

）A．函数的极小值点为B．C．若函数有4个零点，则D．若，则8．（2024·湖北武汉·模拟预测）对于函数，下列说法正确的是（

）A．函数的单调递减区间为B．C．若方程有6个不等实数根，则D．对任意正实数，且，若，则三、填空题9．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是.10．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知，，，其中为自然对数的底数，则，，由大到小依次为．11．（22-23高二下·四川成都·期末）已知和是函数的两个不相等的零点，则的范围是．12．（23-24高二上·山西·期末）若存在实数使得，则的值为.四、解答题13．（2024·广东深圳·二模）已知函数，是的导函数，且．(1)若曲线在处的切线为，求k，b的值；(2)在（1）的条件下，证明：．14．（2024·河南·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.15．（2023·天津河西·二模）已知函数，．(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；(2)求证：；(3)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．16．（22-23高三上·广东河源·期末）已知函数，其中为自然对数的底数，.(1)当时，函数有极小值，求；(2)证明：恒成立；(3)证明：.规律方法：利用导数证明不等式问题的方法(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数．专题精练专题精练一、单选题1．（2023·湖南长沙·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．2．（22-23高三上·江苏南通·期末）设,,,则（

）A． B．C． D．3．（2023·上海奉贤·二模）设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列,有下列3个命题:①若对任意的正整数均有,则为和谐数列;②若等差数列是和谐数列,则一定存在最小值;③若的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有(

)个A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·山东临沂·三模）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（

）A． B．C． D．5．（22-23高三上·浙江·期末）已知，则（

）A． B． C． D．6．（22-23高三上·浙江杭州·阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．7．（22-23高二下·湖南株洲·开学考试），，，则的大小关系为（

）.A． B．C． D．8．（23-24高三上·广东·期末）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（21-22高二下·湖南·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．10．（22-23高二上·湖南张家界·期末）已知，且，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．11．（2023·山东潍坊·三模）已知函数，实数满足不等式，则的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3三、填空题12．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围是．13．（22-23高三上·湖北·阶段练习）请写出一个满足以下条件的函数的解析式.①为偶函数；②当时，.14．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，，若有且仅有一个正整数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是.四、解答题15．（22-23高二下·河南·期末）已知函数，．(1)当时，证明：在上恒成立；(2)若有2个零点，求a的取值范围．16．（2024·北京平谷·模拟预测）设函数，曲线在点处的切线斜率为1．(1)求a的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求证：．17．（2024·重庆·模拟预测）已知函数