2023-2024学年山东省济南市高二下学期7月期末学习质量检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省济南市高二下学期7月期末学习质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.大明湖是济南三大名胜之一，素有“泉城明珠”之美誉，自2017年1月1日起全面向社会免费开放．景区有东南西北4个大门，每个大门进去都有不同景致，小明从一个门进，另一个门出，则不同进出方式的种数为A.7 B.8 C.12 D.162.函数f(x)=xsinx在点−πA.−1 B.0 C.1 D.π3.观察下面四幅残差图，残差满足一元线性回归模型中对随机误差假定的是A. B.

C. D.4.济南市某高中组织全部学生参加公益活动，其中高一、高二、高三年级人数之比为4:3:3，这三个年级分别又有20%，30%，40%的学生参加公益活动中的环保活动．从三个年级中任选一名学生，该学生参加环保活动的概率是A.27% B.28% C.29% D.30%5.随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=a，P(X=2)=b.若E(X)=1，则D(X)=A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.86.某城市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布N(78,72).如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么B等级的最高分数线约为(

)参考数据：若X～N(μ,σ2A.71 B.78 C.85 D.927.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．对于方程x2−2=0，如果用二分法求近似解，给定初始区间[1,2]，若精确度ε=0.1，则至少需要经过4次迭代才能求出其近似解．牛顿在《流数法》一书中用“作切线”的方法求高次方程的近似解．从函数的观点看，给定一个初始值x0，在横坐标为x0的点处作函数的切线，切线与x轴交点的横坐标就是x1，用x1代替x0重复上面的过程得到x2，一直继续下去得到x0，x1，……，xn.它们越来越逼近函数的零点r，当A.1 B.2 C.3 D.48.函数f(x)=(x−a)ln x−x有两个极值点，则实数a的取值范围是A.−1e,+∞ B.−1e,+∞二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.xA.展开式共有7项

B.展开式的二项式系数的和为128

C.展开式中x2的系数为14

D.展开式中第3项或者第410.下列函数中，有两个零点的是(

)A.f(x)=ex−x−1 B.f(x)=ex−x−2

C.11.设A，B是两个随机事件，0<P(A)<1，0<P(B)<1，下列说法正确的是A.若A，B相互独立，P(A)=0.5，P(B)=0.3，则P(A∪B)=0.65

B.若A，B互斥，P(A)=0.5，P(B)=0.3，则P(AB)=0.2

C.若P(A|B)=P(B|A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从0，1，2，3，4，5，6中任取3个数字，可以组成的没有重复数字的三位数的个数是

.(用数字作答)13.袋子中有大小形状完全相同的2个白球和4个黑球，从中任取3个球，1个白球得2分，1个黑球得1分．记X为取出的3个球的得分总和，则E(X)=

．14.以半径为R，圆心角为α的扇形铁皮为圆锥的侧面，制成一个圆锥形容器．当扇形的圆心角α为__________时，容器的容积最大．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)一个质点从数轴上的原点0开始移动，通过抛掷一枚质地均匀的硬币决定质点向左或者向右移动．若硬币正面向上，则质点向右移动一个单位；若硬币反面向上，则质点向左移动一个单位．抛掷硬币4次后，质点所在位置对应数轴上的数记为随机变量X，求：(1)质点位于2的位置的概率；(2)随机变量X的分布列和期望．16.(本小题15分)函数f(x)=x(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)当−16<a<0时，记f(x)在区间[−1,0]上的最大值为M，最小值为m，求17.(本小题15分)长时间近距离看电子产品会影响视力．泉泉调查了某校1000名学生，发现40%的学生近视；而该校20%的学生每天近距离看电子产品时间超过1 ℎ，这些人的近视率为50%．(1)请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α=0.005的独立性检验，判断近视与每天近距离看电子产品时间超过1 ℎ是否有关联；近视每天近距离看电子产品时间超过1 ℎ合计是否是否合计1000(2)研究发现，近视儿童每年眼轴的增速要大于非近视儿童，长时间近距离看电子产品会导致眼轴快速增长，最终影响视力．高度近视者的眼轴长度一般大于26 mm.下图是每天近距离看电子产品时间超过1 ℎ近视儿童和非近视儿童6～16岁的眼轴生长发育散点图．①根据散点图判断，y=a+bx和y=c+dlnx哪一个更符合每天近距离看电子产品时间超过1 ℎ的近视儿童的眼轴生长发育情况？(给出判断即可，不必说明理由)②根据①中的判断结果，建立该类近视儿童眼轴长度y(单位：mm)关于年龄x(6≤x≤16，且x∈N ​③根据②中的结果，估计该类近视儿童开始高度近视时的年龄．(结果保留整数)参考公式及数据：(ⅰ)χ2=α0.010.0050.001x6.6357.87910.828(ⅱ)回归方程y=a+bx(ⅲ)散点图1中y=23.9，i=1nxi−xyi18.(本小题17分)将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α0<α≤π2后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即函数f(x)的图象与直线y=tanπ2−α(1)证明：函数f(x)=sinx，x∈[0,π]具有“(2)若函数g(x)=m(x−1)ex−xlnx−x19.(本小题17分)某校数学兴趣小组的同学对杨辉三角性质进行探究发现：“第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即：Cn证明：考虑多项式(1+x)n·(1+x一方面：代数式(1+x)n⋅(1+x)n另一方面：代数式(1+x)n⋅(1+x)n因为Cnm=所以Cn(1)如果证明过程中考虑(1+x)n·(1+x)m(2)证明：①C②i=0注：组合数Cnm，若m>n，则Cn参考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.B

6.C

7.B

8.D

9.BC

10.BCD

11.ABD

12.180

13.4

14.215.解：(1)由已知可知：质点位于2的位置的概率P=C43(12)3(12)=14．

(2)随机变量X可能取值为：−4，−2，0，2，4．

P(X=−4)=(1X−4−2024P11311

E(X)=(−4)×11616.解：(1)a=1时，f′(x)=3x2−12x=3x(x−4)，

令f′(x)=0，得x=0或x=4，

则当x∈(−∞,0)∪(4,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(0,4)时，f′(x)<0，

故f(x)在(−∞,0)，(4,+∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减；

(2)f′(x)=3x2−12ax=3x(x−4a)，

当−16<a<0时，f(x)在(4a,0)上单调递减，在(−1,4a)上单调递增，

∴f(x)在区间[−1,0]的最大值为f(4a)=−32a3+2，

最小值为f(0)=2或f(−1)=1−6a，

因为−16<a<0，所以1−6a<2，

于是M=−32a3+2，m=1−6a．

∴M−m=−32a3+2−1+6a=−32a3+6a+1，17.解：(1)2×2列联表如下：近视每天近距离看电子产品时间超过1 ℎ合计是否是100300400否100500600合计2008001000零假设为H0：近视与每天近距离看电子产品时间超过1ℎ无关．

根据列联表中的数据，并计算得到χ2=1000(100×500−300×100)2200×800×400×600=12512≈10.417，

因为10.417>x0.005=7.879，

根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，

即认为近视与每天近距离看电子产品时间超过1ℎ有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．

(2) ①y=a+bx适宜每天近距离看电子产品时间超过1ℎ的近视儿童的眼轴生长发育情况．

 ②由题意可得，x=11，y=23.9，i=111(xi−x)2=110，

因此b=i=111(18.解：(1)证明：由题意可知，当α=π4时，k=tan(π2−α)=1，

令F(x)=f(x)−x=sinx−x，x∈[0,π]，则F′(x)=cosx−1≤0，x∈[0,π]，

∴F(x)在x∈[0,π]上单调递减.故F(x)=sinx−x，x∈[0,π]与y=b，b∈R至多有1个交点，

即f(x)=sinx，x∈[0,π]与y=x+b，b∈R至多有1个交点，

故函数f(x)=sinx，x∈[0,π]具有“π4旋转不变性”．

(2)由题意得：当α=π6时，k=tan(π2−α)=3，

函数g(x)=m(x−1)ex−xlnx−x22与函数y=3x+b的图象至多有1个交点，

即方程m(x−1)ex−xlnx−x22=3x+b至多有一个根，

即函数ℎ(x)=m(x−1)ex−xlnx−x22−3x与函数y=b的图象至多1个交点，

因此函数ℎ(x)=m(x−1)ex−xln19.解：(1)Cm0⋅Cnk+Cm1⋅Cnk−1+Cm2⋅Cnk−2+⋯+Cmk⋅Cn0=Cm+nk．

构造实际背景，对所得恒等式的意义做出解释：从m个男士与n个女士中选取k人小组，

一共有种Cm+nk方式.另一方面，这样的k人小组可分为k+1个类：

第i类由i个男士和k−i个女士组成(i=0,1,2,⋯,k)，显然(由乘法原理)第i类中有Cmi⋅Cnk−i个小组，

因此k人小组共有Cm0⋅Cnk+Cm1⋅Cnk−1+Cm2⋅Cnk−2+⋯+Cmk⋅Cn0个.

由加法原理可知：Cm0⋅Cnk+Cm1⋅Cnk−1+Cm2⋅Cnk−2+⋯+Cmk⋅Cn0=Cm+nk．

(2)证明： ①方法(一)等式两边都是两个数相乘，可以联想到分步乘法原理．

于是构造组合的实际问题：从n名学生中选出m人组成代表队，其中k名作