2025年高考数学二轮复习 专题一 函数与导数 第3讲　导数的几何意义及函数的单调性解析版

第3讲导数的几何意义及函数的单调性（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 7【考点一】导数的几何意义与计算 7【考点二】利用导数研究函数的单调性 12【考点三】单调性的简单应用 17【专题精练】 22考情分析：1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线y=fx在点0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．4．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1二、填空题6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.7．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．8．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．参考答案：题号12345答案ACCDB1．A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.【详解】，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.2．C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C3．C【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．4．D【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D5．B【分析】根据题意可知，即可解得，再根据f'x即可解出．【详解】因为函数定义域为0,+∞，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在0,1上递增，在1,+∞上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.6．【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.7．【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.[方法三]：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；.8．【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：考点突破考点突破【考点一】导数的几何意义与计算核心梳理：1．导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．(3)切点既在切线上，又在曲线上．2．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.一、单选题1．（22-23高二上·湖北襄阳·期末）若函数在处的导数为1，则（

）A．2 B．3 C． D．2．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·广东广州·二模）已知函数，则（

）A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为C． D．有两个零点，且4．（23-24高二下·重庆·期末）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（

）A．B．函数有三个零点C．函数的对称中心为D．过可以作两条直线与的图象相切5．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，则（

）A．有两个极值点B．有一个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线6．（21-22高三上·山东菏泽·期末）已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（

）A．B．函数图象的对称轴方程为C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为D．函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为参考答案：题号123456答案DCBCDACDBCAC1．D【分析】根据导数的定义可知，，即可得出答案.【详解】由已知可得，.根据导数的定义可知，，即，所以.故选：D.2．C【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由，则，即直线的斜率为，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为.故选：C3．BCD【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D．【详解】由题意，，对于选项A，易知且，故选项A错误，对于选项B，因为，则，故选项B正确，对于选项C，因为，所以，故选项C正确，对于选项D，由选项可知，易知在0,1和1,+∞上单调递增，因为，，所以，使得，又因为，则，结合选项C，得，即也是的零点，则，，故，故选项D正确，故选：BCD.4．ACD【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出切点，即可判断D.【详解】，因为函数有极小值点，所以，解得，所以，，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误；对于C，由，得，所以函数的图象关于对称，故C正确；对于D，设切点为，则，故切线方程为，又过点，所以，整理得，即，解得或，所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确.故选：ACD.5．BC【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题.【详解】选项A：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项A错误.选项B:又单调递增，故有一个零点，故选项B正确，选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确，选项D：令，即，令，则令，则当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等，当时同样切线方程不为，故选项D错误.故选：BC.6．AC【分析】根据图象可求出函数，即可得，计算可知A正确，整体代入可得函数图象的对称轴方程为，即B错误；分别求的两零点的表达式可得的最小值为，即C正确；利用导数的几何意义可知D错误.【详解】由图象可知，设的最小正周期为，又，解得；由图可得，又，所以，即；因此，所以；即可得，故A正确；令，解得，所以函数图象的对称轴方程为，即B错误；令，即可得，解得；可得，当时，的最小值为，即C正确；易知，而，因此不存在点，使得在点处的切线斜率为，即D错误；故选：AC规律方法：求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．【考点二】利用导数研究函数的单调性核心梳理：利用导数研究函数单调性的步骤(1)求函数y＝f(x)的定义域．(2)求f(x)的导数f′(x)．(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．一、单选题1．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（

）A． B．C． D．2．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·广东深圳·一模）设，且，则下列关系式可能成立的是（

）A． B． C． D．4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若为上的单调函数，则B．若时，在上有最小值，无最大值C．若为奇函数，则D．当时，在处的切线方程为三、填空题5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知，若有四个不同的零点，则t的取值范围是．6．（23-24高二下·上海·期中）函数的严格递减区间是.参考答案：题号1234答案DDACBCD1．D【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.【详解】依题意令，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以，，故A不正确；所以，即，即，故B不正确；又，即，即，故C错误；因为，即，即，故D正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小.2．D【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可.【详解】解：因为，，设，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，，又因为，所以.故选：D.【点睛】方法点睛：对于较复杂的对数、指数式的大小比较，通常构造函数，利用所构造函数的单调性即可解答问题.3．AC【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可.【详解】由于，知，及其，则，解得，对AB，，设函数，，故在上单调递减，则1，即，故A对B错；对C，由于，设，，故在上单调递减，，故，若，故C对；对D，，设，，令，则，则，，则，，则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误.故选：AC.4．BCD【分析】A选项利用导数恒正或恒负可解得；B选项求导，判断单调区间和单调性得出极值；C选项利用奇函数的性质求出；D选项利用导数的意义结合点斜式求出.【详解】A：若为上的单调函数，则，，则，故A错；B：当时，，令，得，，则在上单调递减，在上单调递增，在处取最小值，无最大值，故B对；C：由于，则为奇函数时，，故C对；D：当时，，，则，切点为，切线方程为，故D对；故选：BCD．5．【分析】结合导数，分析的单调性后画出函数图象，有四个不同的零点，即有四个不同的解，令，转换为有两个不同解，结合图象判断即可得.【详解】当时，，则对恒成立，∴在上单调递增，当时，，则．令；令，∴在上单调递增，上单调递减，由题意有四个不同的解，令，则有两个不同解，显然，如下图，不妨设，故，∴，故．

故答案为：.6．.【分析】求导并结合函数的定义域，求出函数的单调减区间即可.【详解】函数的定义域为，，令f'x<0，则且，即的严格递减区间为.故答案为：.规律方法：(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．【考点三】单调性的简单应用核心梳理：1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．一、单选题1．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数在R上单调，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2018·吉林·模拟预测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（

）A． B．C． D．4．（21-22高二下·浙江金华·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．f(x)是奇函数 B．若f(x)为增函数，则C．当时，函数f(x)恰有两个零点 D．当时，函数f(x)恰有1个极值点三、填空题5．（2024·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为．6．（22-23高二下·浙江·期中）已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为.参考答案：题号1234答案CDBDAB1．C【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解.【详解】由题意，函数在上单调递增，当时，，依题需使恒成立，则；当时，由在上递增，需使在上恒成立，则，即；又由在上递增，可得，解得.综上可得，的取值范围是.故选：C.2．D【分析】根据不等式，构造函数并明确其单调性，进而可得导数的不等式，利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求其最值，可得答案.【详解】当时，不等式恒成立，则，即函数在上单调递增，则，整理可得，令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，，.故选：D.3．BD【分析】由题意结合赋值法可得函数与的对称性及周期性，结合性质逐项分析计算即可得.【详解】由与均为偶函数，故，，即有，，故关于对称，关于对称，又，故，即，故关于对称，由，可得，即有，为常数，即关于对称，故，故A错误；即对有、，则，即，故，即，即，故B正确；对有，，关于对称且关于对称，，有，即，故，即，故为周期为的周期函数，有，即，故关于对称，不能得到，故C错误；由关于对称，故，，由为周期为的周期函数，且关于对称，故关于对称，故，由关于对称，关于对称，故关于对称，故，，故，故D正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.4．AB【分析】A利用奇偶性定义判断；B利用导数研究恒成立求a的范围；C结合B结论即可判断；D利用零点存在性定理判断异号零点的个数即可判断.【详解】且定义域为，即为奇函数，A正确；若为增函数，恒成立，令，则，即递增；又，故上，上，即在上递减，在上递增，所以恒成立，可得，B正确；由B知：时f(x)为增函数，不可能存在两个零点，C错误；时，由B分析知：，，，故在、上各有一个异号零点，则f(x)有2个极值点，D错误；故选：AB【点睛】关键点点睛：构造中间函数研究恒成立求参数范围，根据零点存在性定理及单调性判断f(x)的零点个数.5．【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.【详解】因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即时，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，即，所以，故答案为：.6．【分析】将不等式等价转化，构造函数，并探讨其性质，再利用导数分类讨论的值域即可求解作答.【详解】，令，则，，设，则，当时,，且等号不同时成立，则恒成立，当时，，则恒成立，则在上单调递增，又因为，因此存在，使得，当时，，当时,，所以函数在上单调递减，在,上单调递增,又，作出函数的图像如下：

函数定义域为，求导得，①当时，，函数的单调递减区间为，当时，的取值集合为，而取值集合为，因此函数在上的值域包含，当时，的取值集合为，而取值集合为，因此函数在上无最小值，从而函数的值域为R，即，，不合题意，②当时，由得，由得，函数在上单调递增，在上单调递减，，当时，的取值集合为，而取值集合为，因此函数在上的值域包含，此时函数的值域为，即，当时，即当时，恒成立，符合题意，当时，即当时，，结合图象可知，，不合题意，所以实数的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.规律方法：利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．专题精练专题精练一、单选题1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（

）

A． B． C． D．2．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（

）A．-2 B．1 C． D．3．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（）A．-2 B． C．1 D．25．（2024·广东·一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．6．（2024·辽宁·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（

）A． B．C． D．7．（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题为假命题，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）设，曲线在点处切线的斜率为，与x轴的交点为，与y轴的交点为，则（

）A．B．C．D．10．（2024·湖南·模拟预测）已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A． B．函数为周期函数C．函数为上的偶函数 D．11．（2024·福建南平·模拟预测）已知函数是的导函数，则（

）A．“”是“为奇函数”的充要条件B．“”是“为增函数”的充要条件C．若不等式的解集为且，则的极小值为D．若是方程的两个不同的根，且，则或三、填空题12．（2023·福建厦门·模拟预测）已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为．13．（2024·山东滨州·二模）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是．14．（2024·北京石景山·一模）设函数，①若有两个零点，则实数的一个取值可以是；②若是上的增函数，则实数的取值范围是．四、解答题15．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)对，恒成立，求a的取值范围.16．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数．(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)试讨论函数的单调性．参考答案：题号12345678910答案AADDBDCDBCAB题号11答案ACD1．A【分析】由图设溶液高度和液面半径，用表示液体体积得到方程，求出，依题，对其求导，赋值即得时液体高度的瞬时变化率.【详解】

设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，如图可得，,则，即，则由，解得.由，当时，，即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.故选：A.2．A【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值.【详解】由曲线，得，在处的切线斜率为，当时，，曲线在处的，即，曲线，导数为，设切点为，则，解得，切点在切线上，即有，得.故选：A.3．D【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数，求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.故选：D4．D【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出.【详解】设切点为因为切线，所以，解得（舍去）代入曲线得，所以切点为代入切线方程可得，解得.故选：D.5．B【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.【详解】令，得，代入曲线，所以的最小值即为点到直线的距离.故选：B.6．D【分析】求出根据导函数的几何意义，分别解以及，得出切点坐标，代入点斜式方程求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，，由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率.对于A、B项，由可得，，解得.当时，切点为，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故B项正确.当时，切点为，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故A项正确；对于C、D项，由可得，，解得，切点为，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误.故选：D.7．C【分析】求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令g，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可.【详解】，在上单调递增.令，在上单调递增，因为，所以为奇函数，则化为所以，解得，.故选：C8．D【分析】由命题为假命题，得到为真命题.方法一：参数分离，并构造函数，通过导数求函数单调性求解；方法二：将转化为直线与曲线没有交点，通过导数求切斜方程即可.【详解】法一：由题可得为真命题，易知满足，符合题意，此时；当时，可变形为，令，则，当时，f'x<0；当x∈1,+当时，单调递减，且；当x∈0,1时，单调递减；当x∈1,+∞时，单调递增，所以当时，，作出函数的图象如图①所示，由题可知直线与函数的图象没有交点，数形结合可得.法二：由题可得为真命题，即直线与曲线没有交点.设直线与曲线切于点，由，得，则，所以，所以直线与曲线相切，若直线与曲线没有交点，如图②所示，则.故选：D.9．BC【分析】应用导数的几何意义判断A,结合数列的基础运算判断B,C,D．【详解】由于，所以，切线方程为，从而，．，A错误；，B正确；，C正确；，，D错误．故选：BC.10．AB【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D.【详解】因为为偶函数，，故函数图象关于直线对称，f2x+1为奇函数，1），函数图象关于1,0对称，对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确；对于A，，令，故f1=0，又，故A正确；对于C，，当时，f'x>0，即函数在上递增，函数图象关于1,0对称，故函数在上递减，故函数在上递增，所以，故函数不是偶函数，故C错误；对于D，，故D错误，故选：AB.【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；11．ACD【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确．【详解】对于A中，当时，函数，则满足，所以为奇函数，所以充分性成立；若为奇函数，则，则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确；对于B中，当时，，可得，所以为增函数；由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；对于C中，由，若不等式的解集为且，则在上先增后减再增，则，解得，故，可得，令，解得或，当内，，单调递增；当内，，单调递减；当内，，单调递增，所以的极