2025年高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第8讲　离心率的范围问题原卷版

第8讲离心率的范围问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 2【考点二】利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 3【考点三】利用几何图形的性质求离心率的范围 4【专题精练】 6考情分析：圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．真题自测真题自测一、单选题1．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．考点突破考点突破【考点一】利用圆锥曲线的定义求离心率的范围一、单选题1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（

）A． B． C． D．2．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（21-22高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，下列说法正确的是（

）A． B．离心率范围C．当点为短轴端点时，为等腰直角三角形 D．若，则4．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（

）A．若，则的面积为B．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为D．存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为三、填空题5．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是．6．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，若，则的离心率为.规律方法：此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．【考点二】利用圆锥曲线的性质求离心率的范围一、单选题1．（2022·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（21-22高二上·湖南永州·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．过双曲线右焦点且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的范围为B．直线与双曲线有且只有一个公共点，则C．动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹是某双曲线的一支D．点满足，则动点的轨迹是一条直线4．（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l上，过点的直线与双曲线的右支交于A、B两点，下列说法正确的是（）A．若直线l与双曲线左右两支各一个交点，则直线l的斜率范围为）B．点到双曲线渐近线的距离为C．若直线AB垂直于x轴，且△ABM为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为D．记的内切圆的半径为r1，的内切圆的半径为，若，则三、填空题5．（21-22高二上·黑龙江绥化·期中）已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是．6．（21-22高三上·浙江绍兴·期末）已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是.规律方法：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．【考点三】利用几何图形的性质求离心率的范围核心梳理：一、单选题1．（23-24高二上·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（23-24高二上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点B．直线的倾斜角的范围是C．方程表示的曲线是双曲线D．曲线与曲线恰有三条公切线，则4．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的左右顶点为，左右焦点为，直线与双曲线的左右两支分别交于两点，则（

）A．若，则的面积为B．存在弦的中点为，此时直线的方程为C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为D．直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，则三、填空题5．（2022·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为.6．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是.规律方法：利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．专题精练专题精练一、单选题1．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（

）A． B． C． D．2．（21-22高二·全国·课后作业）已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是（

）A． B．C． D．3．（21-22高二上·湖南邵阳·期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．4．（21-22高二上·辽宁葫芦岛·期末）椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（

）A． B． C． D．6．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当双曲线C的离心率范围为时，的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（22-23高二上·北京房山·期末）已知是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点到直线的距离为，则双曲线离心率e的范围是（

）A． B． C． D．8．（2023·江西·二模）已知双曲线E:,其左右顶点分别为,,P在双曲线右支上运动,若的角平分线交x轴于D点,关于的对称点为,若仅存在2个P使直线与E仅有一个交点,则E离心率的范围为(

)A． B． C． D．二、多选题9．（23-24高三上·江苏·阶段练习）设矩形的长是宽的2倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线W经过另外两个顶点，则W的离心率的可能取值为（

）A． B． C． D．10．（23-24高二下·湖北孝感·期中）设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（

）A．的取值范围是 B．的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是11．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（

）A．面积为B．若，则C．若，则的取值范围为D．若，则的取值范围为三、填空题12．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知