2025年高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第6讲　定值问题原卷版

第6讲定值问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】定值问题 2【专题精练】 5真题自测真题自测一、解答题1．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.考点突破考点突破【考点一】定值问题一、单选题1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，D是直线上的一动点．与C交于点P（P在x轴的上方），过A作的垂线交的延长线于点E，当取最大值时，点D的纵坐标为（

）A． B．C． D．2．（2024·河南·三模）已知双曲线的左､右顶点分别为是右支上一点，直线与直线的交点分别为，记的外接圆半径分别为，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，P，M，Q，N是抛物线上的四个点（P，M在轴上方，Q，N在轴下方），已知直线PQ与MN的斜率分别为和2，且直线PQ与MN相交于点，则（

）A． B． C． D．2二、多选题4．（23-24高二上·云南昆明·期末）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（

）A．为定值 B．的周长的取值范围是C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为5．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（

）A．C的离心率为3 B．当时，C． D．为定值6．（2024高三·江苏·专题练习）已知为坐标原点，点为抛物线：的焦点，点，直线：交抛物线于，两点（不与点重合），则以下说法正确的是（

）A．B．存在实数，使得C．若，则D．若直线与的倾斜角互补，则三、填空题7．（2024·吉林白山·二模）已知点是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上异于，的一点，且以为直径的圆过点，点在轴上，且三点共线，为坐标原点，若成等比数列，则椭圆的离心率为.8．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知点是等轴双曲线的左右顶点，且点是双曲线上异于一点，，则．9．（2024·四川成都·三模）设为抛物线的焦点，过的直线与相交于两点，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则(其中为坐标原点)的值为四、解答题10．（2024·安徽合肥·二模）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．11．（23-24高三上·广西·阶段练习）已知双曲线过点和点．(1)求双曲线的离心率；(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．12．（2023·广东·二模）已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中λ是常数，且．(1)设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；(2)若点P为半圆上的动点，且，求四边形ABDC面积的最大值．规律方法：求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龙江·二模）双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知点在抛物线上，过点作直线，与抛物线分别交于不同于点的两点．若直线的斜率互为相反数，则直线的斜率为（

）A． B．C． D．不存在二、多选题4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，上顶点为，点是椭圆上任意一异于顶点的点，连接交直线于点，连接交于点（是坐标原点），则下列结论正确的是（

）A．为定值B．C．当四边形的面积最大时，直线的斜率为1D．点的纵坐标没有最大值5．（23-24高二下·重庆·开学考试）设F为双曲线的右焦点，O为坐标原点．若圆交C的右支于A，B两点，则（

）A．C的焦距为 B．为定值C．的最大值为4 D．的最小值为26．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于A，两点，点为坐标原点，下列结论正确的是（

）A．存在点A、，使B．若点是弦的中点，则点M到直线的距离的最小值为C．平分D．以为直径的圆与轴相切三、填空题7．（23-24高二上·江苏常州·期中）椭圆的弦满足，记坐标原点在的射影为，则到直线的距离为1的点的个数为.8．（2024·河北沧州·一模）已知双曲线：的焦距为，双曲线C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点，则．四、解答题9．（2023·福建·模拟预测）已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，BC中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为Γ(1)求Γ的方程；(2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与Γ交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.①的面积是定值；②的面积是定值：③的面积是定值.10．（2024·重庆·一模）已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点．(1)求点的轨迹方程；(2)设过点的直线与点的轨迹交于点，且点在第一象限内．已知，请问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．11．（23-24高三下·浙