2025年高考数学二轮复习 专题二 三角函数与解三角形 第2讲　三角恒等变换与解三角形原卷版

第2讲三角恒等变换与解三角形（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】三角恒等变换 3【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用 5【考点三】解三角形的实际应用 7【专题精练】 9考情分析：1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．4．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（

）．A．3-58 B． C． D．6．（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题8．（2023·全国·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．三、解答题9．（2024·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．10．（2023·全国·高考真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．11．（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．12．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.考点突破考点突破【考点一】三角恒等变换一、单选题1．（2023·江苏·三模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武汉·二模）若，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·新疆喀什·三模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的最小正周期为C．是函数图象的一条对称轴D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到4．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则（

）A．y=fx的最大值为B．y=fx的图象关于点对称C．y=fx在上单调递增D．直线是y=fx图象的一条对称轴三、填空题5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在中，角的对边分别为，已知．则角.6．（2024·吉林白山·一模）化简．核心梳理：1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2单+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65规律方法：三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)弦、切互化：一般是切化弦．【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用一、单选题1．（2024·广东江门·一模）在中，，，则角A的大小为（

）A． B．或 C． D．或2．（2023·广东茂名·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高二上·浙江·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（

）A．B．C．是锐角三角形D．的最大内角是最小内角的倍4．（23-24高一下·江苏南京·期中）对于有如下命题，其中正确的是（

）A．若，则为钝角三角形B．若，则的面积为C．在锐角中，不等式恒成立D．若且有两解，则的取值范围是三、填空题5．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分．过点D作、的垂线，垂足分别为A、B．则的最大值是．6．（23-24高二上·广东汕头·期中）如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为，其中下坡路段长为．

四、解答题7．（2024·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．8．（23-24高三下·山东济南·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．已知.(1)求；(2)若，且边上的高为，求的周长.9．（2024·北京东城·一模）在中，.(1)求；(2)若为边的中点，且，求的值.核心梳理：1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面积公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.2单+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65规律方法：解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围．(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．【考点三】解三角形的实际应用一、单选题1．（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）在中，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．（2024·广东梅州·一模）已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·河南·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，若，且，则下列结论正确的是（

）A．的三边一定构成等差数列B．的三边一定构成等比数列C．面积的最大值为D．周长的最大值为4．（2024·江西新余·模拟预测）将锐角三角形置于平面直角坐标系中，，为轴上方一点，设中的对边分别为且，则的外心纵坐标可能落在以下（

）区间内.A． B． C． D．三、填空题5．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向通过路口后转向西北方向，围绕道路打造了一个半径为的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道，则的最小值为．6．（2021·宁夏石嘴山·三模）某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角和()，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差近似满足，为使误差在的概率不小于0.9973，至少要测量次.参考数据：若占，则.核心梳理：解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2单+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65规律方法：解三角形实际问题的步骤专题精练专题精练一、单选题1．（2023·江苏南通·一模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增3．（2023·河南·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北武汉·二模）已知，则（

）A． B． C． D．5．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（

）A．12 B．24 C．27 D．366．（2023·青海·模拟预测）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（

）A． B． C． D．7．（22-23高三·湖南娄底·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．8．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·广东广州·一模）已知函数的图像关于直线对称，则（

）A．函数的图像关于点对称B．函数在有且仅有2个极值点C．若，则的最小值为D．若，则10．（2023·湖南·一模）已知函数，则（

）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．的所有零点为D．是以为周期的函数11．（2021·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．在上有两个零点B．在上单调递增C．在的最大值是1D．的图像可由向右移动得到三、填空题12．（22-23高三下·福建南平·阶段练习）已知为锐角，，则．13．（2023·江苏·三模）如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，则FH＝．14．（2024·广东·一模）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且，D为边AB上一点，CD平分，，则．四、解答题15．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的