高中数学复习专题03 立体几何中的夹角问题(原卷版)

第三篇立体几何专题03立体几何中的夹角问题常见考点考点一线线角典例1．如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，，.(1)证明：；(2)若平面平面ACE，求异面直线AE与BF所成角的余弦值.变式1-1．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且.(1)证明：平面平面；(2)为线段上一点，为线段上一点，且，求异面直线与所成的角的余弦.变式1-2．如图，在直三棱柱中，，，，，是棱上一点．(1)若，求；(2)在（1）的条件下，求直线与所成角的余弦值．变式1-3．如图，在正方体中，、分别是、的中点.(1)求证：；(2)求直线和所成角的大小.考点二线面角典例2．如图，在梯形ABCD中，，，，E，F分别为边AB，CD上的动点，且，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF．(1)求AE为何值时，；(2)在（1）的条件下，求BD与平面ABF所成角的正弦值．变式2-1．如图所示的直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别是棱BC，CD上的点，且，，点G为棱上的动点，，为上底面的中心，平面EFG.(1)求CG的长度；(2)求直线与平面EFG所成的角的正弦值.变式2-2．如图，三棱锥P－ABC中，为正三角形，侧面PAB与底面ABC所成的二面角为150°，AB＝AC＝2，，E，M，N分别是线段AB，PB和BC的中点.(1)证明：平面PEN⊥平面ABC；(2)求直线PN与平面MAC所成角的正弦值.变式2-3．如图，在直三棱柱中，，，.(1)求证：；(2)若点N在线段上，满足平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值.考点三二面角典例3．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．变式3-1．如图，中，且，将沿中位线EF折起，使得，连结AB，AC，M为AC的中点.(1)证明：平面ABC；(2)求二面角的余弦值.变式3-2．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M是棱PB的中点.(1)证明：平面平面PCD；(2)求平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值.变式3-3．如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.(1)证明：平面CMN；(2)求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.巩固练习练习一线线角1．如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点，求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.2．如图，直棱柱在底面中，，棱分别为的中点.（1）求异面直线､成角的余弦值；（2）求证：平面.3．如图，在直三棱柱中，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求异面直线所成角的余弦值.4．如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是，BD，的中点.（1）求证：；（2）求EF与CG所成角的余弦值；（3）求CE的长.练习二线面角5．如图，已知三棱柱中，侧面底面为等腰直角三角形，．(1)若O为的中点，求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．6．如图，已知四棱锥中，平面，四边形中，，，，，，点在平面内的投影恰好是△的重心．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．7．已知平行四边形，，，，点是的中点，沿将翻折得，使得，且点为的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.8．如图1，在△MBC中，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如图2，连结PB，PC，BD．(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值．练习三二面角9．如图，在四棱柱中，，，，四边形为菱形，在平面ABCD内的射影O恰好为AD的中点，M为AB的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.10．如图所示，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，为等边三角形，，点S在平面ABCD内的射影O为线段AD的中点.(1)求证：平面平面SBC；(2)已知点E在线段SB上，，求二面角的余弦值.11．如图，在直棱柱中，，，，分