2024-2025学年广东省深圳第二外国语学校高一上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳第二外国语学校2024—2025学年第一学期期中考试高一数学考试时长：120分钟满分：150分第I卷一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，那么（）A. B. C. D.2.函数的定义域是（）A. B. C. D.3.若幂函数的图象经过点，则的值是（）A. B. C. D.254.已知函数，则的值等于（）A.2 B.5 C.11 D.5.已知函数，则（）A.2 B.1 C. D.6.下列四个命题中为真命题的是（）A. B.C. D.7.已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（）A B. C.1 D.38.已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（）A. B.3 C. D.6二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（）A.有最小值9 B.的最小值是C.ab有最大值 D.最小值是11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A.是奇函数 B.在上是减函数C.是偶函数 D.值域是第II卷三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数且，则函数的图象恒过定点的坐标为__________.13.求值：__________.14.已知函数，若，则__________，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是__________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合，全集.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.16.已知函数，满足（1）求函数的解析式；（2）求不等式的解集；（3）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.17.某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.18.已知函数，．（1）若过点，求解析式；（2）若．（ⅰ）当函数不单调，求a的取值范围；（ⅱ）当函数的最小值是关于a的函数，求表达式19.已知函数是定义在上奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；（3），使得成立，求实数的取值范围.深圳第二外国语学校2024—2025学年第一学期期中考试高一数学考试时长：120分钟满分：150分第I卷一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集知识来求得正确答案.【详解】依题意，.故选：C2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据根式和分式性质，列不等式即可求解.【详解】的定义域需满足，解得且，故定义域为，故选：C3.若幂函数的图象经过点，则的值是（）A. B. C. D.25【答案】A【解析】【分析】设，由已知条件可得，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.【详解】设，则，可得，故，因此，.故选：A.4.已知函数，则的值等于（）A.2 B.5 C.11 D.【答案】B【解析】【分析】令，求出的值，代入解析式中可得结果．【详解】令，求出，则.故选：B5.已知函数，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，进而可得出答案.【详解】由，得，所以.故选：A.6.下列四个命题中为真命题的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的知识对选项进行分析，从而确定正确答案【详解】A选项，由得，不是整数，所以A选项错误.B选项，由得，不是整数，所以A选项错误.C选项，或时，，所以C选项错误.D选项，由于，所以D选项正确.故选：D7.已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】根据以及可求出结果.【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，所以．而，∴．故选：C．8.已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（）A. B.3 C. D.6【答案】A【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出与的关系式，再利用基本不等式求的最小值．【详解】因为是不等式的解集，所以是方程的两个实数根且，所以，，所以，且，；所以，当且仅当时“”成立；所以的最小值为．故选：A．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值以及不等式的性质来确定正确答案.【详解】A选项，，所以A选项错误.B选项，若，则，则，所以B选项正确.C选项，若，则，所以C选项正确.D选项，若，则，所以，所以D选项正确.故选：BCD10.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（）A.有最小值9 B.的最小值是C.ab有最大值 D.最小值是【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式求最值后判断．【详解】，当且仅当时等号成立，A对；，当且仅当即时等号成立，B对；，则，当且仅当即时等号成立，C对；由，则，而，所以，当且仅当时等号成立，D错.故选：ABC11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A.是奇函数 B.在上是减函数C.是偶函数 D.的值域是【答案】AD【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A，C，由函数单调性的结论可判断选项B，由函数单调性求出的取值范围，结合定义可得的值域可判断选项D．【详解】对于选项A：因为函数，，可得，所以函数为奇函数，故A正确；对于选项B：因为、在R上是增函数，所以在R上是增函数，故B错误；对于选项C：因为，则，，即，所以函数不是偶函数，故C错误；对于选项D：因为，则，可得，所以的值域为，故D正确．故选：AD．第II卷三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数且，则函数的图象恒过定点的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】根据指数型函数的定点的求法求得正确答案.【详解】由于，所以定点坐标为.故答案为：13.求值：__________.【答案】##【解析】【分析】利用指数幕的运算性质直接求解即可．【详解】.故答案为：##.14.已知函数，若，则__________，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是__________.【答案】①.7②.【解析】【分析】根据条件可得，两边平方整理可得，即.利用换元法，结合分离参数，问题转化成在能成立，求实数的取值范围.【详解】，故，所以.，即，设在上单调递减，在上单调递增，故，故，故，不等式在区间上有解，即在区间上有解，函数在上单调递减，在上单调递增，，故.故答案为：7；.【点睛】关键点点睛：应用换元法解决问题时，一定要注意新元的取值范围.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合，全集.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）将代入再由集合的交、补运算即可求解；（2）由“”是“”的充分条件，得，再利用集合的包含关系即可求解.小问1详解】当时，集合或，或；【小问2详解】由“”是“”的充分条件，得，因为，所以则由，得且，解得，所以实数的取值范围是.16.已知函数，满足（1）求函数的解析式；（2）求不等式的解集；（3）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）将已知条件代入求出即可求解；（2）由（1）可知，则解不等式即可求解；（3）将不等式转化为恒成立，因为开口向上，根据即可求解.【小问1详解】由函数，满足，，解得，故函数的解析式为：.【小问2详解】由（1）知，即不等式转化为，则，所以不等式的解集或.【小问3详解】不等式转化为恒成立，因为开口向上，可得，解之可得，所以实数的取值范围是.17.某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.【答案】（1）40元（2）10.2万件，30元【解析】【分析】（1）设每件定价为元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；（2）列出不等关系，分离参数得，从而利用基本不等式即可得解.【小问1详解】依题意，设每件定价为元，得，整理得，解得.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.【小问2详解】依题意知当时，不等式有解，等价于时，有解，由于，当且仅当，即时等号成立，所以，当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.18.已知函数，．（1）若过点，求解析式；（2）若．（ⅰ）当函数不单调，求a的取值范围；（ⅱ）当函数的最小值是关于a的函数，求表达式【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意，将点代入函数的解析式，求得，即可求解；（2）（ⅰ）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解；（ⅱ）由（ⅰ）知，对称轴为，结合二次函数性质，分，和，三种情况讨论，即可求解.【小问1详解】因为函数过点，将点代入函数的解析式，可得，解得，所以函数解析式为.【小问2详解】（ⅰ）由函数，可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为，要使得函数不单调，可得，解得，所以实数a的取值范围；（ⅱ）由（ⅰ）知，函数的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为，当时，即时，在单调递增，所以；当时，即时，在单调递减，在单调递增，所以；当时，即时，在单调递减，所以，所以表达式为19.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；（3），使得成立，求实数的取