福建省厦门市多校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷【含答案解析】

厦门市多校联考2024-2025学年上高二数学考试内容：选择性必修一选择性必修二等差数列作答时间:120分钟一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列的一个通项公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先观察数字规律，如果不看符号，则是一个以公比为的等比数列，然后每项的符号是交替出现故可由实现，即可求解.【详解】观察数字规律可知：每项的符号是交替出现，故有，除去符号则为一个以为公比，首项为的等比数列，所以通项公式为：，故整个数列的通项为：，故选：B.2.在等差数列中，，且，则等于A.－3 B.－2 C.0 D.1【答案】A【解析】【详解】根据题意,设等差数列的公差为d,首项为a1，若,则有+4d=9，又由,则2(+2d)=(+d)+6，解可得d=3,=−3；故选A.3.设是等差数列的前项和且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的性质得到，从而得解.【详解】因为是等差数列，，所以，则，则，即.故选：A.4.如图，正四棱锥中，为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角是（）A45° B.90° C.30° D.60°【答案】C【解析】【分析】以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法求解．【详解】如图，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0），S（0，0，a），P（，0，），则（0，﹣2a，0），（，a，），（﹣a，﹣a，0），设平面PAC的一个法向量为，则，，∴，可取（1，0，1），设直线与平面的夹角为，则，由，，故选：C5.若双曲线的渐近线与已知圆相切，则（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先解出双曲线的渐近线方程，进而用点到直线距离解出即可.【详解】双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径r=1，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）.所以故选：A.6.若抛物线过焦点的弦被焦点分成长为m和n两部分，则m与n的关系式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令过焦点的弦为，与抛物线交点分别为A、B，联立抛物线应用韦达定理求、，结合抛物线定义求，即可得结果.【详解】令过焦点的弦为，与抛物线交点分别为A、B，联立抛物线整理得：，则，，故，，若，，所以，，故.故选：C7.过点的直线交抛物线于两点(异于坐标原点),若，则该直线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得出，则，设出直线方程，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理解出参数即可求解.【详解】设直线的方程为联立整理化简可得：，，也即（*）因为，所以，则，或满足（*）但是当直线方程为时，与抛物线的交点其中一个为坐标原点，不满足，故舍去．

∴，该直线的方程为即，

故选：.8.在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和.【详解】由题意可知，则对任意的，，则，，由，得，，，，因此，.故选：B.【点睛】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9.如图，在正方体中，分别是中点．下列结论正确的是（）A.与垂直 B.与平面C.与所成的角为 D.平面【答案】ABD【解析】【分析】连接，运用中位线定理推出，结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理，分析判断可得A、B、D正确；再由异面直线所成的角的概念判断可得C．【详解】对A：连接，，则交于，又为中点，可得，由平面，平面，可得，故，故A正确；对B：连接，，由正方体性质可知平面，可得平面，故B正确；对C：与所成角就是，连接，由正方体性质可知，即为等边三角形，故，即与所成的角为，故C错误；对D：由，平面，平面，故平面，故D正确．故选：ABD．10.下列说法正确的是（）A.过点且垂直于直线的直线方程为B.过点且在x、y轴截距相等的直线方程为C.曲线过点的最短弦长为；D.直线与曲线有两个不同交点，则实数的取值范围【答案】AC【解析】【分析】A根据垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程判断；B注意截距不为0的情况；C判断已知点为抛物线的焦点，结合通项性质求最短弦长；D根据给定直线和曲线的形状，数形结合求参数范围.【详解】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为，即，对；B：若截距不为0时，令直线为，则，此时直线方程为，错；C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对；D：由过定点，圆上半部分，如下图，当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得，当动直线过半圆左侧端点时，即，结合图知，，D错.故选：AC11.若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且，则（）A.是等差数列 B.是等比数列C.是“平方递推数列” D.是“平方递推数列”【答案】BC【解析】【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列和等比数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断.【详解】对A，因为是“平方递推数列”，所以.又，所以，则，所以不是等差数列，A不正确.对B，因为，所以是等比数列，B正确.对C，因为，所以以是“平方递推数列”，C正确.对D，因为，所以不是“平方递推数列”，D不正确.故选：BC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若数列{}的前n项和为，则=___________．【答案】8【解析】【分析】通过Sn与的关系计算可得．【详解】=故答案为8【点睛】本题考查数列的前n项和与通项公式的关系，注意解题方法的积累，属于基础题．13.已知双曲线左右焦点分别为，，过的直线在第一象限与双曲线相交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则双曲线的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】根据题意，设，利用由双曲线的定义，求得，，，分别在和中，由余弦定理，列出方程，求得关系式，即可求解.【详解】因为且，可设，则，由双曲线的定义，可得，所以，所以，，，分别在和中，可得，整理得：，所以双曲线的离心率为.故答案为：.14.已知为正方体外接球的球心，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】解：如图，在正方体中，为棱的中点，为的中点，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则所以设异面直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图所示，三个正方形的边AB、BC、CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB、BC、CD的长；（2）以AB、BC、CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）首先设公差为，，则，，得到，再解方程组即可.（2）根据题意得到，再计算面积即可.【详解】（1）设公差为，，则，.由题意得，解得或(舍去)．所以，，．（2）正方形的边长组成首项是，公差是的等差数列，所以，所求正方形的面积为.16.已知椭圆，焦距为2，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积.【答案】（1）（2）长轴长为，短轴长为，【解析】【分析】（1）根据焦距和离心率得到，进而求出，得到椭圆方程；（2）由（1）得到长轴和短轴长，并求出A点坐标，得到面积.【小问1详解】由题意得，解得，故，故椭圆方程为；【小问2详解】由题意得F1椭圆的长轴长为，短轴长为，将代入中得，，不妨设，显然⊥轴，故.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面ABCD.（1）求证：；（2）直线PB与平面APD所成角的正弦值；（3）求平面APD与平面PCD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到平面OPB，故；（2）由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面APD的法向量，利用线面角的向量公式求出正弦值；（3）由两平面的法向量，得到面面角的余弦值.【小问1详解】如图，取CD的中点，连接OP，，因为是边长为2的正三角形，所以，在菱形ABCD中，，则为等边三角形，所以，又，，平面OPB，所以平面OPB，又平面OPB，所以；【小问2详解】由（1）得，，因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，所以平面ABCD，如图，以点为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.因，则，，，设平面PAD的法向量为，则有，令，则，，所以，所以PB与平面APD所成角的正弦值为；【小问3详解】因为轴平面PCD，所以可取平面PCD的法向量为，由（2）得平面PAD的法向量为，则，所以平面APD与平面PCD夹角的余弦值为.18.等差数列{an}的前项和为，，其中成等比数列，且数列{an}（1）求数列通项；（2）设，的前项和记为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知条件列出关于公差的方程求解即可得到通项公式；（2）由（1）求得得到，利用裂项求和法求出即可证明.【详解】解：（1）因为成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以.（2）由（1）知：.则，.【点睛】本题主要考查等比中项、等差数列的通项公式和前项和公式以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知椭圆的离心率为