新高考数学二轮复习对点题型第35讲高考题中的解答题六（导数）（学生版）

第35讲高考题中的解答题六（导数）导数与函数的零点问题(一)探求函数零点的个数[典例](2022·太原一模)已知函数f(x)＝xex－x－1.(1)求函数f(x)在区间[－1,1]上的最值；(2)讨论方程f(x)＝lnx＋m－2实根个数．[关键点拨]切入点求导，根据函数的单调性求最值隐藏点换元，令t＝xex，构造函数h(t)＝t－lnt＋1(t>0)迁移点再根据导函数求出单调性、最值，结合图象求解方法技巧求解函数零点(方程根)的个数问题的步骤第一步将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题第二步利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象第三步结合图象求解针对训练(2022·潍坊模拟)已知函数f(x)＝aln(x＋1)sinx－eq\f(1,2)(a∈R)，且f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值为eq\f(2ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋1))－1,2).(1)求实数a的值；(2)讨论函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))内的零点个数，并加以证明．．(二)由函数零点的个数求参数[典例](2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．[关键点拨]切入点先算出切点，再求导算出斜率隐藏点求导，对a分类讨论迁移点对x分(－1,0)，(0，＋∞)两部分研究反思点本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明方法技巧已知函数零点个数求参数范围的策略(1)根据区间上零点的个数情况估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件．(2)先求导，通过求导分析函数的单调性情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件．此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．针对训练(2022·郑州二模)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝aex－x＋lna，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．(三)隐零点问题近几年高考中隐零点问题也经常出现，该类问题主要是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合其他条件求解，主要在解答题中以压轴题的形式出现，考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，题目的综合性较强，难度大.[典例](2022·鹰潭二模)已知函数f(x)＝2alnx－x＋a，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))x2－eq\f(1,2).(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围．[关键点拨]切入点利用导数的几何意义求切线隐藏点设h(x)＝2alnx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))x2－x＋a＋eq\f(1,2)，研究其单调情况迁移点讨论a≥eq\f(1,2)和a<eq\f(1,2)两种情况，分析函数的零点方法技巧隐零点问题求解三步曲(1)用零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．针对训练已知函数f(x)＝ln(2x＋1)＋2ax－4aex＋4，且a>0.(1)当a＝1时，求函数f(x)的最大值；(2)讨论函数f(x)的零点个数．综合性考法针对练——导数与函数的零点问题1．(2022·江南十校一模)已知函数f(x)＝ax＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))lnx＋eq\f(1,x)－2，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)只有一个零点，求a的取值范围．2．(2022·汕头三模)已知函数f(x)＝x－2sinx.(1)求f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))的极值；(2)证明：函数g(x)＝lnx－f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))上有且只有两个零点．3．(2022·湖北新高考联考协作体联考)已知函数f(x)＝2exsinx－ax.(e是自然对数的底数)(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；(2)若0<a<6，试讨论f(x)在(0，π)上的零点个数．(参考数据：eeq\f(π,2)≈4.8)4．(2022·日照二模)已知函数f(x)＝a|lnx|＋x＋eq\f(1,x)，其中a>0.(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)讨论方程ex＋e－x－a|ln(ax)|－eq\f(1,ax)＝0根的个数．导数与不等式恒(能)成立问题(一)分类讨论解决不等式恒成立问题近几年高考中利用导数解决不等式恒成立问题是常见的题型，函数中经常含有参数，对参数进行分类讨论解决问题，主要在解答题中以压轴题的形式出现，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，题目的综合性较强，难度大．[典例]已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范围．[关键点拨]切入点(1)构造函数m(x)，判断f′(x)的单调性，进而判断f(x)的单调性(2)构造函数，把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题障碍点不能把导函数正确的分解因式，分类讨论的标准不可解方法技巧不等式恒成立问题的解题关键点针对训练已知函数f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．(二)分离参数解决不等式恒成立问题近几年高考中利用导数解决不等式恒成立问题是常见的题型，函数中经常含有参数，利用分离参数法解决该类问题，主要在解答题中以压轴题的形式出现，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，题目的综合性较强，难度大．[典例]已知函数f(x)＝(x＋a)lnx－eq\f(1,2)x2－ax＋a－1.(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)＞alnx－eq\f(1,2)x2－2x在(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值．[关键点拨]切入点(1)问直接求导判断函数f(x)的单调区间．(2)问看到求整数a的最大值，想到分离参数a，然后构造函数，利用导数及函数的性质求解迁移点把f(x)＞alnx－eq\f(1,2)x2－2x转化为a＜eq\f(xlnx＋2x－1,x－1)在(1，＋∞)上恒成立障碍点(1)想不到分离导数，导致对a进行分类讨论．(2)构造函数后，若其导函数无法直接判断单调性，不要忽略零点存在定理的应用方法技巧分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y＝a与函数y＝v(x)图象的交点个数问题来解决．针对训练(2022·西安二模)已知f(x)＝eq\f(m,x＋1)＋nlnx(m，n为常数)，在x＝1处的切线方程为x＋y－2＝0.(1)求f(x)的解析式并写出定义域；(2)若∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，使得对∀t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上恒有f(x)≥t3－t2－2at＋2成立，求实数a的取值范围．(三)等价转化法解决不等式能成立问题[典例]已知函数f(x)＝eq\f(x,lnx)－ax＋b在点(e，f(e))处的切线方程为y＝－ax＋2e.(1)求实数b的值；(2)若存在x0∈[e，e2]，满足f(x0)≤eq\f(1,4)＋e，求实数a的取值范围．[关键点拨]切入点(1)利用导数的几何意义及直线的点斜式方程求b；(2)将问题转化为a≥eq\f(1,lnx)－eq\f(1,4x)在[e，e2]上有解，构造函数，利用导数与函数单调性关系求解隐藏点存在x0∈[e，e2]满足f(x0)≤eq\f(1,4)＋e，只需f(x0)max≤eq\f(1,4)＋e即可，即求a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)－\f(1,4x)))min即可障碍点不会根据需要多次构造函数方法技巧根据不等式能成立求参数的步骤(1)利用题设条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式的能成立问题；(2)用导数求该函数在区间上的最值；(3)构建不等式求解．针对训练已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax－1.(1)当a>0时，证明函数f(x)在区间(0,＋∞)上只有一个零点；(2)若存在x∈R，使不等式f(x)<－e－1成立，求a的取值范围．1．(2022·连云港二模)已知函数f(x)＝x－eq\f(1,x)－2lnx.(1)判断函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))－8bf(x)，当x>1时，g(x)>0，求实数b的取值范围．2．(2022·桂林、梧州一模)已知函数f(x)＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋2))eq\a\vs4\al(lnx).(1)当a＝－5时，求f(x)的单调区间；(2)若存在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，e))，使得f(x)－x2>2x＋eq\f(2a＋4,x)成立，求实数a的取值范围．4．(2022·湖南新高考联盟联考)已知函数f(x)＝2ax－lnx，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，不等式ex－2＋x≥xf(x)恒成立，求实数a的取值范围．导数与不等式的证明问题(一)单变量不等式的证明问题[典例](2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝xeax－ex.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围；(3)设n∈N*，证明：eq\f(1,\r(12＋1))＋eq\f(1,\r(22＋2))＋…＋eq\f(1,\r(n2＋n))>ln(n＋1)．[关键点拨]切入点求出f′(x)，讨论其符号后可得f(x)的单调性隐藏点设h(x)＝xeax－ex＋1，求导后进行分类讨论迁移点由(2)可得2lnt<t－eq\f(1,t)对任意的t>1恒成立，从而可得ln(n＋1)－lnn<eq\f(1,\r(n2＋n))对任意的n∈N*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式方法技巧证明不等式的基本方法利用单调性若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)；②∀x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)．对于减函数有类似结论利用最值若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)构造函数证明f(x)＜g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)＜0针对训练(2022·邯郸模拟)设函数f(x)＝x3＋ln(x＋1)．(1)求曲线y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))处的切线方程；(2)证明：当n∈N*且n≥2时，ln(n＋1)>eq\f(1,8)＋eq\f(2,27)＋…＋eq\f(n－1,n3).(二)极值点偏移问题(双变量不等式)近几年高考中经常出现极值点偏移问题的题目，采用对称化构造函数法和比值代换法进行研究，该类问题思维含量高，过程繁琐，计算量大，在解答题中以压轴题的形式出现，题目的综合性强，难度大.[典例](2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝eq\f(ex,x)－lnx＋x－a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.[关键点拨]切入点由导数确定函数单调性及最值隐藏点f(x)的零点满足x1<1<x2，要证x1x2<1，即证x1<eq\f(1,x2)迁移点转化要证明条件为eq\f(ex,x)－－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(lnx－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(1,x)))))>0方法技巧极值点偏移问题的四种基本题设形式(1)若函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2＞2x0(x0为函数f(x)的极值点)．(2)对于函数f(x)，存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2＞2x0(x0为函数f(x)的极值点)．(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0