高考数学二轮复习专项训练10零点问题含答案及解析

2025二轮复习专项训练10零点问题[考情分析]在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，难度较大，多以压轴题出现．【练前疑难讲解】一、判断零点个数问题利用导数研究函数的零点(1)如果函数中没有参数，一阶导数求出函数的极值点，判断极值点大于0、小于0的情况，进而判断函数零点个数．(2)如果函数中含有参数，往往一阶导数的正负不好判断，先对参数进行分类，再判断导数的符号，如果分类也不好判断，那么需要二次求导，判断二阶导数的正负时，也可能需要分类．二、由零点个数求参数范围已知零点个数求参数范围时(1)根据区间上零点的个数估计函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件．(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数存在三个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．若时，，则的最小值为D．若方程有两个实根，则4．（2024·重庆·一模）已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2024·四川泸州·二模）若函数有零点，则实数的取值范围是．6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是.四、解答题7．（2024·浙江杭州·二模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．8．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.【基础保分训练】一、单选题1．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．2．（22-23高三上·山东济南·期末）已知函数,关于的方程至少有三个互不相等的实数解,则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知函数，则（

）A．1是的极小值点B．的图象关于点对称C．有3个零点D．当时，5．（2023·山东德州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（

）A．若函数无极值点，则没有零点B．若函数无零点，则没有极值点C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点6．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数，下列结论中正确的是（

）A．是的极小值点B．有三个零点C．曲线与直线只有一个公共点D．函数为奇函数三、填空题7．（24-25高三上·四川成都·开学考试）设函数，若有三个零点，则的取值范围是．8．（2023·广东广州·一模）若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是.9．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是四、解答题10．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求的零点个数.(3)在区间上有两个零点，求的范围?11．（22-23高三上·湖北·期末）已知函数．(1)若，求的极小值．(2)讨论函数的单调性；(3)当时，证明：有且只有个零点．12．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知函数．(1)当，求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围．【能力提升训练】一、单选题1．（2023·河北石家庄·一模）已知在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·二模）已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（23-24高二下·山东济宁·期中）已知函数，则（

）A．有两个极值点B．有一个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线5．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（

）A．B．若成等差数列，则C．若恰有两个不同的零点，则D．若有三个不同的零点，则6．（2023·湖南·模拟预测）函数（e为自然对数的底数），则下列选项正确的有（

）A．函数的极大值为1B．函数的图象在点处的切线方程为C．当时，方程恰有2个不等实根D．当时，方程恰有3个不等实根三、填空题7．（2023·山东济宁·一模）已知函数，若在上有解，则的最小值.8．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为．9．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是；的值为.四、解答题10．（2022·天津·高考真题）已知，函数(1)求曲线y=fx在处的切线方程；(2)若曲线y=fx和y=g（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．11．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围；(3)若对任意恒成立，求的取值范围.12．（2023·广东梅州·一模）已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，讨论函数的零点个数.

2025二轮复习专项训练10零点问题[考情分析]在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，难度较大，多以压轴题出现．【练前疑难讲解】一、判断零点个数问题利用导数研究函数的零点(1)如果函数中没有参数，一阶导数求出函数的极值点，判断极值点大于0、小于0的情况，进而判断函数零点个数．(2)如果函数中含有参数，往往一阶导数的正负不好判断，先对参数进行分类，再判断导数的符号，如果分类也不好判断，那么需要二次求导，判断二阶导数的正负时，也可能需要分类．二、由零点个数求参数范围已知零点个数求参数范围时(1)根据区间上零点的个数估计函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件．(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数存在三个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．若时，，则的最小值为D．若方程有两个实根，则4．（2024·重庆·一模）已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2024·四川泸州·二模）若函数有零点，则实数的取值范围是．6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是.四、解答题7．（2024·浙江杭州·二模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．8．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.参考答案：题号1234答案BABDBCD1．B【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，，当，，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.2．A【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及建立关于的不等式，即可得解.【详解】由可得，要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切.设切点坐标为.由，可得，则切线方程为，即，故需使.由可得，解得.故选：A3．BD【分析】求导后，结合f'x正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.【详解】定义域为R，，当时，f'x<0；当时，f'∴fx在，上单调递减，在上单调递增；对于A，，，，∴fx在区间和内各存在一个零点；当时，，，恒成立；∴fx对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，若当时，，则，C错误；对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，作出图象如下图所示，结合图象可知：，D正确.故选：BD.4．BCD【分析】将问题转化为，令，利用导数讨论的单调性，求出，由在有2个不同零点的充要条件为，从而作出判断.【详解】因为，令，则，令，则，注意到，令，解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，且当趋近于或时，都趋近于，若在有2个不同零点的充要条件为函数与图象在第一象限有2个交点，所以，即有2个零点的充要条件为，若符合题意，则对应的取值范围为的真子集，结合选项可知：A错误，BCD正确；故选：BCD.5．【分析】利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需，即可求出参数的取值范围.【详解】函数的定义域为，又，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又时，时，又函数有零点，所以，即，所以实数的取值范围是.故答案为：6．【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数的取值范围.【详解】由题意，在中，，当时，解得或，当即时，单调递减，当即，时，单调递增，∵，，当，方程有三个不同的实根，∴即，故答案为：.【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略这个条件.7．(1)答案见解析；(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，再分、、三种情况，分别求出函数的单调区间；（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】（1）函数的定义域为，且，当时，恒成立，所以在单调递减；当时，令，即，解得，，因为，所以，则，所以当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，此时，所以时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减．综上可得：当时在单调递减；当时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时在上单调递增，在上单调递减．（2）（ⅰ）由（1）可知．（ⅱ）由（1）在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，所以，则，又，又，所以在上没有零点，又，则，则，，则，所以，所以在上存在一个零点，综上可得函数有且只有一个零点．8．(1)(2)证明过程见解析.【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行求解即可；（2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】（1），该方程有两个不等实根，由，所以直线与函数的图象有两个不同交点，由，当时，单调递减，当时，单调递增，因此，当时，，当，，如下图所示：所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；（2）因为是函数的两个极值点，所以，由（1）可知：，不妨设，要证明，只需证明，显然，由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，而，所以证明即可，即证明函数在时恒成立，由，显然当时，，因此函数单调递减，所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键.【基础保分训练】一、单选题1．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．2．（22-23高三上·山东济南·期末）已知函数,关于的方程至少有三个互不相等的实数解,则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知函数，则（

）A．1是的极小值点B．的图象关于点对称C．有3个零点D．当时，5．（2023·山东德州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（

）A．若函数无极值点，则没有零点B．若函数无零点，则没有极值点C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点6．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数，下列结论中正确的是（

）A．是的极小值点B．有三个零点C．曲线与直线只有一个公共点D．函数为奇函数三、填空题7．（24-25高三上·四川成都·开学考试）设函数，若有三个零点，则的取值范围是．8．（2023·广东广州·一模）若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是.9．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是四、解答题10．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求的零点个数.(3)在区间上有两个零点，求的范围?11．（22-23高三上·湖北·期末）已知函数．(1)若，求的极小值．(2)讨论函数的单调性；(3)当时，证明：有且只有个零点．12．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知函数．(1)当，求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围．参考答案：题号123456答案BCAABADABC1．B【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.【详解】在曲线上任取一点，，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知，点在直线上，可得，令函数，则.当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.设，所以，所以当时，ℎ'x>0，ℎx当时，ℎ'x<0，ℎx所以，所以，所以，当时，，所以，当时，，所以，的图象如图：由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.故选：B2．C【分析】画出图象,解方程可得,或,因为,根据图象分类讨论,或时,时,时,三种情况下根的情况即可.【详解】解:由题知,(且),所以,故在上,,单调递减,且,即,在上,,单调递减,在上,,单调递增,有,画图象如下:

由至少有三互不相等的实数解,即至少有三个互不相等的实数解,即或至少有三个互不相等的实数解,由图可知,当或时,与有一个交点,即有一个实数解,此时需要至少有两个互不相等的实数解,即,解得故或;当时,无解,舍;当时,,此时有两个不等实数解,有两个不等实数解,共四个不等实数解,满足题意.综上:或.故选:C3．A【分析】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值，由函数图象的交点个数得的范围.【详解】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，函数的定义域为R，,令，解得，,的变化情况如下表：-0+单调递减单调递增所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故当时，有极小值，令gx=0，解得当时，gx<0；当时，gx当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0；当无限趋向于正无穷大时时，无限趋向于正无穷大，由此作出函数的大致图象：由图象得：当时，交点为0个；当或时，交点为1个；当时，交点为2个.若函数的图象与的图象有两个交点，则由图可知，实数的取值范围为.故选：A.4．AB【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D.【详解】对于A，函数，，令，解得或，故当时f'x>0，当x∈0,1时，f'x则在上单调递增，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故1是的极小值点，故A正确：对于B，因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，，易知的单调性一致，而，故至多有2个零点，故C错误；对于D，当时，，而在上单调递增，故，故D错误.故选：AB.5．AD【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可.【详解】

，设若函数无极值点则，则，此时，即，所以，没有零点，如图①；若函数无零点，则有，此时，当时，先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；若函数恰有一个零点，则，此时，先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；若函数有两个零点，则，此时，先正再负再正，函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；所以AD正确.故选：AD.6．ABC【分析】对于A，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；对于B，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；对于C，根据切线的求解方程，利用导数检测，可得直线为函数的切线，结合图象，可得答案；对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案.【详解】由函数，则求导可得，令，解得或，可得下表：极大值极小值则是的极小值点，故A正确；，，由，，显然函数在分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确；联立，消去可得，化简可得，则该方程组存在唯一实根，故C正确；令，，故D错误.故选：ABC.7．【分析】根据分段函数得出根，再应用指对数转化结合换元法求解即可.【详解】因为，所以

且,零满足点，即，故目标式，令且，则上式，令，则，，故在内单调递增，则.故答案为：8．【分析】根据导数几何意义，设切点坐标为，则得切线方程，过点，则，构造函数，确定函数的单调性及取值情况，即可得的取值范围.【详解】解：函数的定义域为，则，设切点坐标为，则切线斜率为，故切线方程为：，又切线过点，则，设，则得，或，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，又时，，时，，所以有且只有一个根，且，则，故的取值范围是.故答案为：.9．【分析】由题意可得即有两个不等的实数解，令，求出导数和单调区间、极值、最值，画出图象，通过图象即可得到结论.【详解】函数恰有两个零点等价于即有两个不等的实数解，令，，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，，在处取极大值，极大值为，且极大值也为的最大值；当时，，当时，，画出的图象如下：由图可得当时，与有两个交点，即方程有两个实数根，函数有两个零点；故答案为：10．(1)的单调减区间为：；单调增区间为：，(2)1个(3)【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；（2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解.（3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域即可求解.【详解】（1）由题可得：，令，解得：或，令f'x<0令，解得：或；所以的单调减区间为：；单调增区间为：，（2）因为的单调减区间为：；单调增区间为：，，由于，则在上无零点；由于，则在上无零点；由于，则在上存在唯一零点；综上，函数在上存在唯一零点.（3）若在区间上有两个零点，则函数与在区间上有两个交点；由(1)知，在上单调递增，上单调递减；，，，所以函数与在区间上有两个交点，则，即在区间上有两个零点，则的范围为11．(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）先求导，判断函数单调性，找到极小值点，求出极小值.（2）求出，再求导，根据分类讨论，判断函数单调性.（3）由导数为零，可找出极值点及单调区间，取并判断符号，根据零点存在定理可得结论.【详解】（1）当时，的定义域为，，在区间递减；在区间递增．所以当时，取得极小值．（2）的定义域为，．令，当时，恒成立，所以即在上递增．当时，在区间即递减；在区间即递增．（3）当时，，由（2）知，在上递增，，所以存在使得，即．在区间，递减；在区间递增．所以当时，取得极小值也即最小值为，由于，所以．，，根据零点存在性定理可知在区间和，各有个零点，所以有个零点．12．(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可得到答案；（2）由，把函数的零点个数问题等价转化为，两个函数的交点个数问题，令，利用导数法研究函数的单调性和极值，进而结合函数图象得到实数的取值范围．【详解】（1）将代入可得，其定义域为R，则.和都在R上增函数，所以在R上单调递增且，因此，当时，f'x<0，函数当x∈0,+∞时，f'综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为0,+∞．（2）（2）由得，，令，则，时，单调递减；时，单调递增；x∈2,+∞时，由单调性可知，当时，；当时，；当时，取得极小值，即；当时，取得极大值，即.所以y=gx和的大致图象如下：综上所述，若有三个零点，则的取值范围为．【能力提升训练】一、单选题1．（2023·河北石家庄·一模）已知在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·二模）已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（23-24高二下·山东济宁·期中）已知函数，则（

）A．有两个极值点B．有一个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线5．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（

）A．B．若成等差数列，则C．若恰有两个不同的零点，则D．若有三个不同的零点，则6．（2023·湖南·模拟预测）函数（e为自然对数的底数），则下列选项正确的有（

）A．函数的极大值为1B．函数的图象在点处的切线方程为C．当时，方程恰有2个不等实根D．当时，方程恰有3个不等实根三、填空题7．（2023·山东济宁·一模）已知函数，若在上有解，则的最小值.8．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为．9．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是；的值为.四、解答题10．（2022·天津·高考真题）已知，函数(1)求曲线y=fx在处的切线方程；(2)若曲线y=fx和y=g（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．11．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围；(3)若对任意恒成立，求的取值范围.12．（2023·广东梅州·一模）已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，讨论函数的零点个数.参考答案：题号123456答案DAAABCABDBD1．D【分析】将问题化为与有两个不同的交点，利用导数研究单调性、值域，即可求参数范围.【详解】由，则，故，要使原方程在有两个不等实根，即与有两个不同的交点，由，令，则，，则，所以在上递增，上递减，故，又趋向于0时，趋向负无穷，趋向于正无穷时，趋向0，所以，要使与有两个不同的交点，则，所以.故选：D2．A【分析】令，方程可化为或有四个不同实数根，借助导数研究的单调性与最值，数形结合即可判断的取值范围．【详解】设，则，又，所以，则或．①当时，，求导得．当时，，即函数在上单调递增；当时，，即函数在上单调递减．因为，所以．又，当且时，；当时，．②当时，，，根据以上信息，作出函数的大致图象如图所示．

观察图像可得：函数的图象与函数的图象仅有1个交点，所以函数的图象与函数的图象有3个交点，则，所以实数的取值范围为．故选：A3．A【分析】先利用导数研究当时，函数的图象和性质，结合对数函数的图象及绝对值的意义作出函数的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围．【详解】当时，，，令，得，当时，f'x>0，单调递增，当时，f'x<0，又，，当趋近于时，趋近于0，结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数的图象如图所示．

令，则，数形结合可知要使ℎx有6个零点，则有两个不相等的实数根、，不妨令，有如下两种情况：若，但，故排除此种情况，若，对于二次函数开口向上，又，则，得，综上，实数的取值范围是．故选：A【点睛】关键点点睛：解决此类问题需注意以下几点：（1）会转化，即会将问题转化为方程的根的问题，然后利用函数、方程、不等式的关系进行解答；（2）会作图，即会根据基本初等函数的图象、图象的平移变换法则或函数与导数的关系画出相关函数的大致图象；（3）会观察，即会利用数形结合思想列方程（组）或不等式（组）．4．ABC【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A：，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以时取得极值，故A正确；B：因为，，，所以函数只在上有一个零点，即函数只有一个零点，故B正确；C：令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；D：令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C，构造函数，奇函数图象关于原点对称推出的对称性是解决本题的关键.5．ABD【分析】对于A，由题意可得有两个不同实根，则由即可判断；对于B，若成等差数列，则，从而结合即可判断；对于C，若恰有两个零点，则或必为极值点，分类讨论即可判断；对于D，由韦达定理即可判断.【详解】，，，对称中心为，对A：因为有三个零点，所以必有两个极值点，所以，，A正确；对B，由成等差数列，及三次函数的中心对称性可知，所以，又，故，所以，所以，故B正确；对C：，即，若恰有两个零点，则或必为极值点；若为极值点，则该方程的三个根为，，，由一元三次方程的韦达定理可知：；若为极值点，同理可得，故C错；对D：由韦达定理，得，即，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：判断C选项得关键是得出或必为极值点，由此即可顺利得解.6．BD【分析】求出函数的导数，利用导数探讨极大值判断A；利用导数的几何意义求出切线方程判断B；分析函数性质并结合函数图象判断CD作答.【详解】对于A：，在区间，上，，单调递增，在区间上，，单调递减，所以的极大值为，A错误；对于B：，，则函数图象在点处的切线方程为，即，B正确；对于C、D：因为在上递增，在上递减，，，在上递增，且在上的取值集合为，在上的取值集合为，因此函数在上的取值集合为，的极大值为，的极小值为，作出函数的部分图象，如图，观察图象知，当或时，有1个实数根；当或时有2个实数根；当时，有3个实数根，C错误，D正确.故选：BD【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.7．【分析】确定点在直线上，，设，求导得到导函数，确定单调区间计算最值得到答案.【详解】设函数在上的零点为，则，所以点在直线上.设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方，所以，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以，，所以的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求最值，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将转化为点到直线的距离的平方，再利用导数求最值是解题的关键.8．【分析】设零点为，将方程看作点在直线上，而的最小值代表含义即是直线到点的距离，根据点到直线距离公式列式求解即可.【详解】设函数的零点为，则，则点在直线上．因为零点存在，则，即，令，，令，，当时，,单调递增，当时，，单调递减，所以当时，，所以，的最小值为．故答案为：【点睛】思路点睛：某函数出现零点与双参数问题时，常见思路为将零点当作常数，则零点所对应方程就成为关于双参数的直线方程，将所求问题转换为该直线与某点的位置关系问题进行求解.（注意：虽然零点在找直线方程时当作常数看待，但得到问题所需解析式后，零点取值范围将影响解析式取值范围，这也就是零点范围的作用.）9．1【分析】①令，则方程有两个不等的实根，，数形结合，根据的图象得出结果；②由韦达定理代入求值即可.【详解】由，令，∴，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，.作出大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点，

（*）式关于t的一元二次方程有两个不等的实根，，其中，，令，∴，

且，，，∴，故答案为：；1.【点睛】求解复合函数零点问题的方法：(1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出两个图像；(2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数再根据个数与的图像特点，决定参数的范围.10．(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）求出可求切线方程；（2）（i）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求.（ii）曲线和有公共点即，利用点到直线的距离得到，利用导数可证，从而可得不等式成立.【详解】（1），故，而，曲线在点处的切线方程为即.（2）（i）当时，因为曲线和有公共点，故有解，设，故，故在上有解，设，故在上有零点，而，若，则恒成立，此时在上无零点，若，则在上恒成立，故在上为增函数，而，，故在上无零点，故，设，则，故在上为增函数，而，，故在上存在唯一零点，且时，；时，；故时，；时，；所以在上为减函数，在上为增函数，故，因为在上有零点，故，故，而，故即，设，则，故在上为增函数，而，故.（ii）因为曲线