北师大版七年级下册数学整册教案

北师大版数学七年级下册

全册教案设计

第一章整式的乘除

1同底数塞的乘法

产敦与目标

【知识与技能】

理解同底数累的乘法法则，能熟练运用该法则解决与之相关的一些数学问题.

【过程与方法】

经历探索同底数幕乘法运算法则的过程，培养学生观察、猜想、推理和归纳

的能力.

【情感态度】

通过同底数累的乘法法则的探索过程使学生感受到由特殊到一般再到特殊

的数学思想，通过合作学习激发学生的探索热情，感受到成功的喜悦.

【教学重点】

同底数幕的乘法法则的探索过程和理解应用.

【教学难点】

同底数察的乘法法则的理解.

.‘敦皇H程

一、情景导入，初步认知

1.乘方：

指数

/

底数一axax.......xa

工〃个“

2.光在真空中的速度大约是3X105千米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒

星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3X107秒计算，比邻

星与地球的距离约为多少千米？

【教学说明】以课本上有趣的天文知识为引例，让学生从中抽象出简单的数

学模型，实际在列式计算时遇到了同底数累相乘的形式，给出问题，启发学生进

行独立思考，也可采用小组合作交流的形式，结合学生现有的有关幕的意义的知

识，进行推导尝试，力争独立得出结论.

二、思考探究，获取新知

L计算下列各式：

（1）102X103；（2）105X108；

（3）10mX10n（m,n都是正整数）.你发现了什么？

【教学说明】小组合作探究，对于有的同学可能会由上面的分析感觉到了规

律的存在，可鼓励他们进行验证.请部分学生代表说出自己小组的观点，其他组同

学则进行评价或发表不同的见解.

2.2mX2n等于什么？（步呢？（m,n都是正整数）

【教学说明】

猜想，交流，验证，口答.

3.合作交流：am-an等于什么？（m,n都是正整数）

a",a"=•二q

=

4.引导学生剖析法则.

⑴等号左边是什么运算？

⑵等号两边的底数有什么关系？

⑶等号两边的指数有什么关系？

⑷你能总结同底数累的乘法的法则吗?

【教学说明】

猜想，交流，验证，口答.

【归纳结论】

am•an=am+n（m,n都是正整数）同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P3例1、例22计算:

⑴Wb?(2)(-a)-a3

(3)(-y)2-(-y)3(4)(-a)3•(-a)4

(5)-34X32(6)(-5)7X(-5)6

⑺(-q^n•(-q)3(8)(-m)4•(-m)2

(9)-23(10)(-2)4X(-2)5

(11)-b9・(-b)6(12)(-a)3•(-a3)

答案：

⑴6(2)-a4(3)-y5(4)-a7(5)-729(6)-513

(7)*3(8)m6(9)-8(10)-512(ll)-b15(12)a6

3.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？

(1)23X32=65;(2)a3+a3=a6;

(3)yn•yn=2y2n；(4)m•m2=m2；

(5)(-a)2・(-a2)=a4;(6)a3•a4=a12;

(7)(-4)3=43；(8)7X72X73=76

(9)-22=-4；(10)n+n2=n3.

解:(1)应改为23x3*=72

(2)改为a5•a5=a*

(4)改为m•m2

(5)改为(-a)2•(-a2)

(6)改为a-a=a7

(7)改为(-4)s=-43

(8)对(9)对

(10)改为n•n2=n3

4.计算：

1\nn+1n+2

(1)a•a•a(2)6"・卢.b”

(3)护・-+/-bm~l(4)(-1)“x(

I)40

(5)3x27-6x26(6)6x34+7x35

答案：(l)『+3(2)心(3)2产？(4)-1

(5)0(6)37

5.计算：(结果可以化成以(a+b)或(a-b)为底时幕的形式).

(1)(a-b)2•(a-b)3•(a-bl4

(2)(a+b)m+1•(a+b)+(a+b)m•(a+b)2

答案：(1)(a-b)9(2)2(a+b)m+2

6.我国自行研制的“神威”计算机的峰值运算速度达到每秒3840亿次.如果

按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次(结果保留3个有效数字)？

提示：3840亿次=3.84X103X108次、24时=24X3.6X103秒

解：(3.84X103X108)X(24X3.6X103)=(3.84X24X3.6)X(103X108X

103)=331.776X1014=3.32X1016(次)

答：它能运算约3.32X1016次.

【教学说明】

给学生充足的思维空间，养成独立思考习惯，让后进生也能在课堂上体验成

功，有成就感；且该教学活动亦能培养学生仔细观察问题的习惯.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想再以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.

五、教学板书

丁•"/3；火砸和施任此蝌独)

例1学生源后例官争取蒯端

「图后作叫

L布置作业:教材“习题1.1”中第1、2、3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

本课我采用探究合作教学法进行教学，充分发挥了学生的主体作用，积极为

学生创设一个和谐宽松的情境，学生在自主的空间里自由奔放地想象，思维和学

习取得较好的效果.在同底数聂乘法公式推导过程中学生思维经历了猜测、质疑、

推理论证的科学发现过程，也渗透了转化和从特殊到一般的数学辩论思想，充分

体现了自主探究的学习方式；而在巩固深化环节上精心设计开放式题目.通过学

生独立思考，小组合作等手段，让学生个个动手、人人参与，充分调动学生学习

数学的积极性.同时也使各层次的学生有不同的收获，特别是学生的兴奋与激情

完全出乎我的预料.

2塞的乘方与积的乘方

第1课时塞的乘方

产敦与目标

【知识与技能】

学习幕的乘方的运算性质，进一步体会累的意义，并能解决实际问题.

【过程与方法】

经历探索幕的乘方运算性质的过程，发展推理能力和有条理的表达能力，提

高解决问题的能力.

【情感态度】

体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.

【教学重点】

会进行累的乘方的运算.

【教学难点】

幕的乘方法则的总结及运用.

「低孚i3相

一、情景导入，初步认知

复习已学过的寤的意义及察的运算法则.

1.幕的意义是什么？

2.同底数累的乘法的法则是什么？根据已经学习过的知识，带领学生回忆并

探讨以下实际问题：

（1）乙正方体的棱长是2cm，则乙正方体的体积V乙=cn?.甲正方体的

棱长是乙正方体的5倍，则甲正方体的体积V=cm3.

（2）乙球的半径为3cm,则乙球的体积V*err?（球的体积公式是

V=1nr3,其中V是体积,r是球的半径）甲球的半径是乙球的10倍，则甲球的

体积V甲=cm3.

如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球体积是乙球体积的倍.

（3）地球、木星、太阳可以近似地看作球体.木星、太阳的半径分别约是地

球的10倍和IO2倍，它们的体积分别约是地球的倍和倍.

【教学说明】

在实际教学过程中应木着从学生实际出发的原则，首先从学生最为熟悉的正

方体体积入手，通过具体数字来研究问题，这是良策.进而告知学生球的体积公

式，给出具体数字再去研究.

二、思考探究，获取新知

1.通过问题情境继续研究：为什么(IO?)3=106?

【教学说明】让学生清楚运算之间的关系，题目所描述的是10的2次幕的

三次方，其底数是幕的形式，然后根据幕的意义展开运算，去探究运算的过程.

2.计算下列各式，并说明理由.

⑴6)4；⑵团)3；

(3)gm)2；(4)(am)n.

【教学说明】

学习的过程中，时刻不能忘记学生是主体，一切教学活动都应当从学生己有

的认知角度出发，问题环节设计跨越性不能太大，要让学生在不断的探索过程中

得到不同程度的感悟，自己能够主动地去探究问题的实质，有成功的体验.

3.观察结果中事的指数与原式中暴的指数及乘方的指数，想一想它们之间有

什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?你能总结这个规律吗？

【教学说明】培养学生从“一般”到“特殊”再到“一般”的研究问题方法

和概括归纳能力.

【归纳结论】

幕的乘方的法则：

(”)n=amn(当m、n都是正整数)

察的乘方，底数不变，指数相乘.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P6例1

2.计算：

(1)(75)4=；(2)75X74=；

(3)(x5)2=；(4)x5•x2=；

454

(5)[(-7)]5=；(6)[(-7)]=.

答案：(1)720(2)79(3)X10(4)X7(5)720(6)720

3.你能说明下面每一步计算的理由吗？将它们填在括号里.

⑴广(y2)3

-y*y6()

=/()

(2)2(J)6-(Q3)4

=2/-/()

=/()

答案：

(1)幕的乘方法则同底数幕的乘法法则

(2)幕的乘方法则合并同类项法则

4.计算下列各式.

(i)[(o+6)3r；(2)-(/r；

(3)(广“尸;

(5)(«-6)[(«-6)2]5；

(6)(-小/・。7%

⑺(f)-n；

(8)(-/)'=.

(-x2)5=,

[(r)W=.

答案(2)-y*

(3)产(4)0

(5)(G-6)M(6)-2au

(7)4/(8)/--产

5.若|a-2b|+(b-2)2=0,求a5b的值.

解：|a-2b|20,(b-2)2^0,

且|a-2b|+(b-2)2=0.

|a-2b|=0,(b-2)2=0,

(a-2b=0,(a=4,

…(6-2=0,(6=2.

51Q5,0

・・.ab=4x2=⑵产x2io=2iox2io=2"

6.若Xm・x2m=2,求乂..

解：x3m=2,x9m=(x3m)3=23=8.

7.已知a=3555,b=4M4,C=5333,试比较a,b,c的大小.

解：Va=3555=35X111=(35)111=2431%

4444X111inni

b=4=4=(44)=256.

C=5333=53X111=(53)ii】二125i",

又・.・256>243>125,

.'.256111>243111>125111.

即b>a>c.

8.化简・{・[(-a?)3]平

23426

解：-{-[<-a)]}=-{-[-a]4}2=.{.a24}2=.a48

【教学说明】培养学生市新知识的灵活运用能力.

四、师生互动，课堂小结

l.(am)n=am，n(m.n是正整数)，这里的底数a,可以是数、是字母，也可以

是代数式；这里的指数是指嘉指数及乘方的指数.

2.对于同底数幕的乘法、鎏的乘方、要理解它们的联系与区别.在利用法则解

题时,要正确选用法则，防止相互之间发生混淆(如：am-an=am+n,(am)n=amn).

并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯.

五、教学板书

(am)n=a,,m例1

(相，〃都是正整数)学生演示

.'调后作亚

1.布置作业:教材“习题L2”中第1、2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

J敦与反思

本节课的设计意图是让学生以“观察一归纳一概括”为主要线索，在自主探

索与合作交流中获得知识，使不同层次的学生都能有所收获与发展.从本节课的

教学反馈来看，创设的问题情境激发了学生浓厚的学习兴趣，在老师的引导下,

学生时而轻松愉快，时而在观察.计算、思考、交流、总结，思维能力和有条理的

语言表达能力得到培养.在亲身体验和探索中认识数学、解决问题，在小结中找出

两者的区别，从本质上理解事的乘方，合作精神得以培养，较好地完成了本节课

的教学目标.

第2课时积的乘方

孽L教学目标

【知识与技能】

1.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会累的意义.

2.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

【过程与方法】

在探索积的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力.

【情感态度】

在发展推理能力和有条理的语言和符号表达能力的同时，进一步体会学习数

学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.

【教学重点】

会进行积的乘方的运算.

【教学难点】

正确区别事的乘方与积的乘方的异同.

「敢与过程

一、情景导入，初步认知

1.复习前几节课学习的有关累的三个知识点：

①基的意义.

②同底数幕的乘法运算法则am•a”=am+n(m、n为正整数).

③幕的乘方运算法则(a“r=a?m、n都是正整数).

2.计算：

⑴耳•a6；(2)(-x)-(-x)3；(3)(103)3；

(4)(-p)•(-p)4；(5)(a2)3•(a3)2；(6)(a4)6-(a3)8.

【教学说明】

参与回顾旧知识为新课作准备.

二、思考探究，获取新知

1.地球可以近似的看做是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么

V=3九产.地球的半径约为6X103千米，它的体积大约是多少立方千米？根据公

3

式可知:V=£4N=一4九(6X103)3那么(6X103)3=?

33

2.仿照第(1)小题，计算(2)(3)题：

(1)23X53；

解：原式=(2X2X2)X(5X5X5)

=(2x5)x(2x5)x(2x5)

二(2x5)3

(2)28X58；

(3)212X512.

从以上的计算中，我们发现了什么？

【教学说明】

通过对以上特别的计算，学生能归纳出：an•bn=(a•b)n.

3.做一做：

(l)(3x5)4=3(>・5(

(2)(3x5)*=3<1<5<)

(3)(o6)a=«(>

4.你能根据基的意义和乘法的运算律推出公式吗？你能用自己的语言描述

该性质的特点吗？

【归纳结论】

an-bn=(a•b)n(n为正整数)积的乘方等于每一个因式乘方的积.

【教学说明】

在实践中探索新知，进一步学会总结运算中的规律.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P7例2.

2.计算下列各式，结果是x8的是(D)

A.x2,x4B.(x2)6

C.x4+x4D.x4-xA

3.下列各式中计算正确的是(C)

A.(x4)3=x

B.[(-a)2]5=-a10

•(a)=(Q)=a

D.(-Q?)3=(—a3)'=—a6

4.计算(-x?)3的结果是(C)

A.-x5B.x5C.-x6D.x6

5.下列四个算式中：

3+362

①(a3)3=a=a；②[(b)2]2=b2X2X2=b8.③[(.x)3]4=(_x)12=x12.④

(-y2)5=y10,正确的算式有(C)

A.O个B.l个C.2个D.3个

6.计算下列各式.

(1)(。・)9・丁：(2)1(-1)1..1]4：

(3)丁・(•>>；⑷⑺

⑸⑴―

(ejK.5)1-(a^^-Ca2)4

⑺D・D；

(8)(•

答案(2)os；(3)J；(4)«a；

(5)2«u；(6)/；(7)r。(8)-203n.

7.已知：2x+3y-4=0,求4x・8y的值.

解：因为，2x+3y-4=0,

所以2x+3y=4.

所以4、・8*=22XX23*=2^+3*=24=16.

8.已知：9n+1-32n=72,求n的值.

解：由9n+1-32n=72得

32n+2-32n=72,9X32n-32n=72,8X32n=72,32n=9,所以n=L

9.若a=255,b=344,c=433,比较a、b^c的大小.

解：因为a=(2$产=32",b=(34)11=8111,c=(43)11=6411,所以a<c<b.

【教学说明】

在练习中巩固所学知识，体现数学的具体应用.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补

充.

五、教学板书

(abY=anbn例2

（7?是正整数）学生演示

「调后作亚

1.布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

J敦与反思

通过本节课的学习，发现学生分不清各种运算.对此，没有什么好的方法，只

能多练，这是一个熟悉的过程.培养学生把解题思路应用到整个数学学习过程中，

养成检验、反思的习惯，是提高学习效果、培养能力的行之有效的方法.因此，在

不增加学生负担的前提下，要求的作业是每节课后必须进行巩固练习，利用作业

的巩固练习给老师提出问题，结合作业做一些合适的反思，对学生来说是培养思

维能力的一项有效的活动.

3同底数募的除法

第1课时同底数寨的除法

产敦与目标

【知识与技能】

会进行同底数暴的除法运算，并能解决一些实际问题，了解零指数基和负整

数指数幕的意义，能进行零指数幕和负整数指数基的乘除法运算.

【过程与方法】

经历探索同底数塞除法运算性质的过程，进一步体会幕的意义，经历观察、

归纳、猜想、解释等教学活动，体验解决问题方法的多样性，发展学生的合情推

理和演绎推理能力以及有条理的表达能力.

【情感态度】

在解决问题的过程中了解数学的价值，体会数学的抽象性、严谨性和广泛性.

【教学重点】

会进行同底数幕的除法运算.

【教学难点】

同底数嘉的除法运算法则的总结及运用.

「敦学亘相

一、情景导入，初步认知

1.前面我们学习了哪些嘉的运算?在探索法则的过程中我们用到了哪些方法?

（1）同底数累相乘，底数不变，指数相加.am•an=am+n（m,n是正整数）.

（2）哥的乘方，底数不变，指数相乘.（am）n=amn（m,n是正整数）.

（3）积的乘方等于积中各因数乘方的积.（ab）n二an-bn（n是正整数）.

【教学说明】

学习同底数事的除法要借助前面三种事的运算的活动经验和知识基础，因此

这个环节的目的是回顾前面的知识和方法，为下面自主探索.归纳法则做好铺垫.2.

一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行

了实验，发现1滴杀虫剂可以杀死109个此种细菌.

（1）要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？

（2）你是怎样计算的？

（3）你能再举几个类似的算式吗？

（4）这些算式应该叫做什么运算呢？

【教学说明】

用实际背景来引入同底数暴的除法，让学生体会数学与现实生活的紧密联系,

而这个问题学生运用有理数知识就能解决，为下面类比解决“式”的问题提供思

路，第

（3）问的目的是帮助学生抓住“同底数幕”“相除”这些本质特征，同时也

为进一步的探索提供素材.

二、思考探究，获取新知

探究L同底数曷的除法1.计算下列各式，并说明理由（m>n）

⑴1081105；（2）10m4-10n;（3）（-3尸4-（・3）n.

2.探究：am4-an=?

由募的定义可知

=。•a•••••a

=a

你能从中归纳出同底数累除法的法则吗？

【教学说明】

让学生从有理数的运算出发，由特殊逐渐过渡到一般，得到同底数窑的运算

法则，再运用幕的意义加以说明.在此过程中，提高学生类比、归纳、符号演算、

推理能力和有条理的表达能力.

【归纳结论】

am4-an=am-n（a^0,m,n是正整数，且m>n）

同底数塞相除，底数不变，指数相减.

探究2：负整数指数累

1.做一做：

104=10000,24=16

100=1000,20=8

100=100,20=4

100=10,2°=2

2.猜一猜：下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴交流:

10,\I

IO(>=0LI2:

W)=OLOI24)=¥

4

10，>=0.0012《

3.你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？

4.你认为这个规定合理吗？为什么？

【教学说明】

让学生完整的经历观察、归纳、猜想、解释的过程，从而感悟到先由具体问

题概括出结论，再通过一般性证明来说明结论的合理性这样一个解决问题的方法,

数学合情推理和演绎推理能力的培养就蕴含在这样的思维过程之中.同时，不同

的解释思路可以帮助学生从不同的角度，更好地理解零指数暴、负整数指数幕的

意义.

【归纳结论】

a0=l(a^0)

a(aW0,p是正整数)

ap

三、运用新知，深化理解

L见教材P10例1、例22.计算：

⑴(2)(一。)6.(一)3；

(3)(-8尸+(-8)5；(4)62m+3.6，

角翠：(1)一加9+机3=-lxm9c二一66；

(2)(-a)64-(-a)3=(-a)6-3=(-a)3=-

(3)(-8)6+(-8)5=(-8产5=(-8)]=-8；

(4)62m*3=6<2m+3)・m=6E，3.

3.若式子(2x-l)。有意义，求x的取值范围.

分析：由零指数幕的意义可知，只要底数不等于零即可.

解：由2X-1W0,得X#,,即，当>(之■!■时，(2x-l)。有意义.

22

4.计算：

3(一)'•』-(』)、(

解：3(?>•，_(/)、(­)，・/春？

=3/

5.计算：

(1)(a8)24-a8；

(2)(a-b)2(b-a)2n^(a-b)^1.

解：(1)(a8)2a8=a164-a8=a16'8=a8；

(2)(a-b)2(b-a)2n-r(a-b)2n-1

=(a-b)2(a-b)2n4-(a-b)2n4

=(a-b)2+2n-<2n-l)

=(a-b)3

6.计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幕的形式.

⑴(-3W)、

(2)[・2(*”产・(名7)]々・[(”♦>)”•

力,.

分析：(1)正整数指数幕的相关运算对负整数指数帚和零指数塞同样适用.对

于第(2)题，在运算过程中要把(x+y).(x-y)看成一个整体进行运算.

解：(1)原式=(一3一1)-2(/)-2(〃-2)-2=(一

3)2裙6〃4=空，

m

(X-211

或者：原式=——=7—r\2=/3X2=

I)(m6Y(m)

(京J(377

(3〃2)2_9刀4

3布)2一标・

(2)原式=(-2)-2-[(x+y)2]-2­(x-

“2・[(%+>)一]-3.[(..),)-2「3

---7ZT3•(V+T)-4•(x-y)c•(x+y)2•

(一2)

(•■》)6

二(・)•)“

4(x+y),

7.已知<T=3,o・=4,求产,的值.

解:==3,<r=4,

二aj=J”

=3、4

9

:—

4

&若(x•子+丁•'与4y为同类项，且2m

♦5»=7,求4m—25/的直

解：(/+

=了》4号广―

Qi

因它与4/为同类项，

所以2m-5n=2,又2m+5n=7,

所以4/712-25n2=(2m)~-(5n)2

=(2m+5n)(2/n-5n)

=7x2=14

9.已知+3。二借了,求〃的值.

解:•.•32r,+2=(32)m+1=9n+1,

n=2.

【教学说明】

在教学时应重视对算理的理解，每一小题都应先让学生判断是不是同底数幕

的除法运算，再说出每一步运算的道理，有意识地培养他们有条理的思考和语言

表达能力

四、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了哪些知识？

2.现在你一共学习了哪几种鬲的运算？它们有什么联系与区别？谈谈你的

理解.

五、教学板书

正都是正整数，且m>n)

例1例2

学生演示学生演示

二,调后作亚

1.布置作业:教材“习题1.4”中第1、2题.

2,完成同步练习册中本课时的练习.

J敦与反思

在同底数事的除法这节教学活动中，通过组织学生从具体到一般，从生活到

课堂，从未知到已知，一步步的探索，学生的化归、符号演算等代数推理能力和

有条理的表达能力得到进一步的发展，同时，也加深了我对新教材的理解，从而

更好的完善新的教学模式.

第2课时用科学记数法表示绝对值较小的

数

产敦与目标

【知识与技能】

会用科学记数法表示小于1的正数，能进行它们的乘除运算，并将结果用科

学记数法表示出来.

【过程与方法】

借助自己熟悉的事物感受绝对值较小的数据，进一步培养学生的数感.

【情感态度】

了解数学的价值，体会数学在生活中的广泛应用.

【教学重点】

用科学记数法表示小于1的正数.

【教学难点】

用科学记数法表示小于1的正数.

「低孚i3相

一、情景导入，初步认知

1.纳米是一种长度单位，1米=1,000,000,000纳米，你能用科学记数法表示

1,000,000,000吗？

2.在用科学记数法表示数据时，我们要注意哪些问题？

【教学说明】

引导学生回顾如何用科学记数法表示大于10的数以及应注意的问题，为下

面类比表示小于1的正数奠定基础.

二、思考探究，获取新知

1.1纳米=()米这个结果还能用科学记数法表示吗？

2.你知道生物课中接触的洋葱表皮细胞的直径是多少吗？照相机的快门时

间是多长呢？中彩票头奖的可能性是多大？头发的直径又是多少呢？生活中你

还见到过哪些较小的数？请把你找到的资料和数据与同伴交流.

无论在生活还是在学习中，都会遇到一些较小的数，例如：

细胞的直径只有1微米，即0.000001米.

某种计算机完成一次运算的时间为1纳秒，即0.000000001s.

一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657

千克.那么为了书写方便，能不能用科学记数法来表示这些较小的数呢？

0.000001=^=1X1Q-6,

0.000000001=4?=1X10-9,

109

0.00000000000000000000000002657=2.657x

需=2.657x10-26

【教学说明】

让学生从最熟悉的生活场景中查找绝对值较小的数据，符合他们的认知和年

龄特点，目的是让学生体会这些数据在生活中的广泛存在，同时在记录数据的过

程中学生会感受到书写的复杂性，从而激发他们的学习欲望，借助前面的经验来

自主探索更为简便的表示方法.

【归纳结论】

一般地，一个小于1的正数可以表示为aXlOn,其中lWaVlO,n是负整

数.

三、运用新知，深化理解

1.2040X105表示的原数为（A）

A.-204000B.-0.000204C,-204.000D.-20400

2.用科学记数法表示下列各数.

(1)30920000

(2)0.00003092

(3)-309200

(4)-0.000003092

分析：用科学记数法表示数时，关键是确定a和n的值.

解：

(1)原式=3.092X107

(2)原式=3.092X10-5

(3)原式=3092X105

(4)原式=-3.092X10-6

3.用小数表示下列各数.

(1)-6.23X105；(2)(-2)3X10-8

分析：本题对科学记数法进行了逆向考查，同样，关键是弄清楚n的值与小

数点之间的变化关系.

解：(1)原式=-0.0000623；

(2)原式=-8X10-8=000000008.

4.(1)原子弹的原料一一铀，每克含有2.56X1021个原子核，一个原子核裂

变时能放出3.2X10」iJ的热量，那么每克铀全部裂变时能放出多少热量？

(2)1块900mm2的芯片上能集成10亿个元件，每一个这样的元件约占多

少平方毫米？约多少平方米？(用科学记数法表示)

分析：第(1)题直接列式计算；第(2)题要弄清m2和mm?之间的换算关

系，即lm=1000mm=103mm,lm2=106mm2,再根据题意计算.

解：(1)由题意得2.56X1021X3.2X10n=2.56X3.2X1021X10n=8.192X

1010J

答：每克铀全部裂变时能放出的热量为8.192XlO】oj的热量.

(2)—————=900X10-9=9X102X109=9XIO-7(mm2);

1000000000

9X10-74-106=9X10f9x1013(m2)

答：每一个这样的元件约占9X10-7mm2；约gXlO^m?.

【教学说明】2、3两题通过正反两个方面的运用来巩固学生对科学记数法

的理解.

四、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了哪些知识？

2.用科学记数法表示小于1的正数与表示大于10的数有什么相同之处？有

什么不同之处？

3.用科学记数法表示容易出现哪些错误？你有哪些经验？与同伴交流.

五、教学板书

一般地，一个小于1的正数可以表示为aX10”,

其中〃是负整数.

「调后作亚

1.布置作业:教材“习题1.5中第1、2、3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

J敦与反思

在这节课中，课前先布置了预习作业让学生在自己熟悉的生活场景中查找绝

对值较小的数据，在记录的时候学生会充分感受到这些数据书写的复杂性，从而

自己产生寻求简便表示方法的强烈愿望，这时课上再引入科学记数法就顺理成章

了.这样的设计巧妙地把科学记数法这一数学知识的学习与学生自己的需求紧密

的结合起来，提高了他们的学习兴趣，使学生了解了数学的价值，体会了数学与

生活之间的密切联系.

4整式的乘法

第1课时单项式与单项式相乘

产敦与目标

【知识与技能】

使学生理解并掌握单项式与单项式相乘的法则，能够熟练地进行单项式的乘

法计算.

【过程与方法】

通过探究单项式与单项式相乘的法则，培养了学生归纳、概括能力，以及运

算能力.

【情感态度】

通过单项式的乘法法则在生活中的应用培养学生的应用意识.

【教学重点】

掌握单项式与单项式相乘的法则.

【教学难点】

分清单项式与单项式相乘中，塞的运算法则.

.‘敦皇H程

一、情景导入，初步认知

京京用同样大小的纸精心制作的两幅画，如图所示，第一幅画的画面大小与

纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有18x米的空白，你能表示

出两幅画的面积吗？

教师提出以下问题，引导学生对两个代数式进行分析：

a

问题1：以上求矩形的面积时，会遇到x・mx,(mx)--x,这是什么运算呢？

4

问题2：什么是单项式？我们知道，整式包括单项式和多项式，从这节课起

我们就来研究整式的乘法，先学习单项式乘以单项式.

【教学说明】以上设计从实际问题出发，引出了单项式乘法，使学生体会到

数学知识来源于生活，并能解决生活中的问题.

二、思考探究，获取新知

继续引导学生分析实例中出现的算式，教师提出以下三个问题：

问题1：对于实际问题的结果x•mx,(mx)♦—mx可以表达得更简单些吗？

4

说说你的理由？

问题2：类似地，3a2b・2ab3和(xyz)•y?z可以表达的更简单一些吗？

问题3：如何进行单项式与单项式相乘的运算？

【教学说明】

组织学生先独立思考，再以四人为小组讨论，鼓励学生大胆发表自己的见解，

全班共同交流，得出单项式乘法的法则.得出法则后，教师再提出有思维价值的问

题，引导学生对探究的过程进行反思，明确算理，体会数学知识之间的联系.

【归纳结论】

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的哥分别相乘，其余字母连

同它的指数不变，作为积的因式.

问题4：在你探索单项式乘法运算法则的过程中，运用了哪些运算律和运算

法则？

学生回答：运用了乘法的交换律、结合律和同底数幕乘法的运算性质.

【教学说明】实际教学中，视学生情况而定，以上四个问题可同时给出，也

可以逐一给出.教师通过问题1和问题2,让学生独立思考，自主探究，经历知识

形成的过程，在探究中发现和总结出规律，获得体验.教师应鼓励学生灵活运用乘

法交换律、结合律和同底数幕的运算性质等知识探索单项式乘单项式的运算法则,

并理解算理，在探究的基础上运用自己的语言描述单项式乘法的法则.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P14例1.

2.下列运算正确的是(D)

A.a*+a2

B.5a-3a=2

C.2a1x3a2=6«6

D.(-2O)T*

3.下列计算：(!)《0・d=2<I；②!•+/=0；

③3力・4/=126。④(-标)2*3=4/；

⑤2x,其中正确的个数为(A)

A.lB.2C.3D.4

4.若(。»•ab-)s则3m(n-1)=

(C)

A.13B.8C.12D.10

5.计算下列各式

⑴3/・2?；

(2)(-3M)•(-⑹；

(3)(Z5xl04)x(1.6xl03)；

(4)5a36•(-2O61)；

(5)-2c2y•(-2x/)2+(2xy)5•(x/).

解：(1)3『・2r'=3x2f•/=6x5；

(2)(-3a6)•(-a6)«3o2i2；

(3)(Z5xl.6)x(10*xl03)=4x10'；

(4)5ab•(-2aN)=-10a%，

(5)-2s2y-(-*)、(％)'・E)

=-2x2y-4«2/4-8XV-

■-8/丁.Lry

=0.

6已知"与7父'y・'-。的根与fy是

同类明求的值.

解:・・・-2r与7”1厂一的根与小是同

料，

3m41♦n-6=4

(2IB-3-HI=1

(a=3

/.m'♦n=7.

7.巳知长方体的长为8xWcm,宽为6x

10%m,高为5xlOZm.求长力体的体阻

18:(8x10')x(6xlO5)x(5x109)

=240x10—

na^xIO2'(立方摩米).

答:长方体的体积是2.4x10口立方厘米

8.已知(2r'/)•(-纷/)•(5?/)=

-30x,/,求m4n的信

2

解：(2?/)・(一3L/)•(5Xf)=

,=

-30x-*y*-30xyt

/.m>5=4tn+5=2,HPm=-1=-3f

Mm4n=-4.

9.巳知=3,求1+(2^)(-"1")的值

解:Jjr*=3t

・•・原式=广-10卢

=(小>-10(萨)‘

=9-270

>-261.

10.阅读F曲的解答过程，回答问鼠

(-2a%)'♦(/r).(-2>・

上述过程中有无错误？如果有，请写出正确的解答过程.

解：有错误；

(-2a26)3-(o>2)

=4a462•(a5fc2)

=4a764.

【教学说明】在学习了单项式乘法法则后，及时通过一组习题和练习帮助学

生熟悉法则的应用及每一步的算理，教师引导学生总结出运用单项式相乘的乘法

法则时，应注意以下几点：

(1)进行单项式乘法，应先确定结果的符号，再把同底数暴分别相乘，这时容

易出现的错误是将系数相乘与相同字母指数相加混淆；

(2)不要遗漏只在一个单项式中出现的字母，要将其连同它的指数作为积的

一个因式;

⑶单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用:

（4）单项式乘以单项式，结果仍为单项式.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.

五、教学板书

单项式与单项式相乘.把它们的系数、相同字母

的幕分别相柔，其余字母连同它的指数不变,作

为枳的因式.

m|学生演示

「图后作叫

1.布置作业:教材“习题1.6”中第1、2题。

2.完成同步练习册中本课时的练习。

:'教字反思

新课程标准下，数学教育的根本任务是发展学生的思维，教材中的难点往往

是数学思维迅速丰富、过程大步跳跃的地方，所以在本节课难点教学中既注意了

化难为易的效果，又注意了化难为易的过程，在探究法则的过程中设置循序渐进

的问题，不断启迪学生思考，发展学生的思维能力，在应用法则的过程中，又引

导学生进行解题后的反思，这些将促使学生知识水平和能力水平同时提高.

第2课时单项式与多项式相乘

孽L教学目标

【知识与技能】

在具体情境中了解单项式与多项式乘法的意义，会进行单项式与多项式的乘

法运算.

【过程与方法】

经历探索单项式与多项式乘法法则的过程，理解单项式与多项式相乘的算理,

体会乘法分配律的重要作用及转化的数学思想，发展学生有条理的思考和语言表

达能力.

【情感态度】

在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中，获得成就感，激发学习数学

的兴趣.

【教学重点】

会进行单项式与多项式的乘法运算.

【教学难点】

灵活运用单项式乘以多项式的运算法则.

13字13史

一、情景导入，初步认知

1.如何进行单项式乘单项式的运算？你能举例说明吗？

2.计算：

(1)3a~b•2abe•—abc~；

(2)(-.(-2m2n)4.

3.写一个多项式，并说明它的次数和项数.

【教学说明】

首先引导学生回忆单项式乘单项式的运算法则，目的是为探索单项式乘以多

项式法则做好铺垫，因为最终我们要将它转化为单项式乘以单项式，所以这里通

过活动1、2来进行回顾十分必要.

问题3的设置为今天的新课学习奠定基础.

二、思考探究，获取新知

探究：宁宁作了一幅画，所用纸的大小加图所示，她在纸的左、右两边各留

了』xm的空白，这幅画的画面面积是多少？

先让学生独立思考，之后全班交流.交流时引导学生呈现出自己的思考过程.

同学之中主要有两种做法：

法一：先表示出画面的长和宽，由此得到画面的面积为x(mx-：x)；

法二：先求出纸的面积，再减去两块空白处的面积，由此得到画面的面积为

、1)

mx--x^.

4

教师启发学生：两种方法得到的答案不一样，到底哪种方法对？短暂的思考

之后，学生回答都对，由此引出x(mx-Lx)=mx2-'x2这个等式.

44

引导学生观察这个算式，并思考两个问题：

式子的左边是什么运算？能不能用学过的法则说明这个等式成立的原因？

学生不难总结出：式子的左边是一个单项式与一个多项式相乘，利用乘法分

配律可得x(mx--x)=x・mx-x•—x,再根据单项式乘单项式法则或同底数幕的

44

乘法性质得到x•mx-x•—x=mx2-—x2,即x(mx--x)=mx2--x2.

4444

【教学说明】

从实际问题出发，学生通过对同一面积的不同表达，引出x(mx-'x)=mx2-

4

Lx?这个等式.

想一想：

问题1：ab•(abc+2x)及c2(m+n-p)等于什么？你是怎样计算的？

问题2：如何进行单项式与多项式相乘的运算？

【教学说明】

设置问题1是让学生获得更充分的休验，为下面顺利归纳单项式与多项式的

乘法法则铺平道路.

【归纳结论】

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把

所得的积相加.

三、运用新知，深化理解

L见教材P16例2.

2.计算：

(I)-6a•(-卜，

-<5o•(—ya5)―-<ii•2

•^la2*-12a

⑵…2?t.4)；

解：=-3«•4-3*«(-<)-3x-4

=/3——I2x

(3)(3«26-4oA2-5a6-l)・(-2o62)；

解：•(—2ab')_4<iA2,(—)

-5a6•(_")-1•(-lab1)

=-6o)'♦8n:64♦IOa*AJ>2o62

(4)(-曾)(我-卜用

矫&=卜/)•我{-}%)(4)

368

1计算：(■铝)‘(邮-4町2.1)

33SIt.4

■甲y“♦铲》

5.一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a+2b)米，坝高

米.

2

(1)求防洪堤坝的横断面积；

(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？

解：(1)防洪堤坝的横断面积

S=—[a+(a+2b)]Xla=—a2+—ab.

2222

故防洪堤坝的横断面积为La2+1ab平方米；

22

(2)堤坝的体积V=Sh=(-a2+iab)X100=50a2+50ab.

22

故这段防洪堤坝的体积是(50a2+50ab)立方米.

6.某同学在计算一个多项式乘以-3x2时，因抄错运算符号，算成了加上.3X2,

得到的结果是x2-4x+l,那么正确的计算结果是多少？

解：这个多项式是(x2-4x+l)-(-3x2)=4x2-4x+l

正确的计算结果是：(4x2-4x+l)•(-3x2)=-12X4+12X3-3X2.

]7.对任意有理数x、y定义运算如下：xAy=ax+by+cxy,这里a、b、c是给定

的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当b=2,c=3时，

1+2X3+3X1X3=16,现已知所定义的新运算满足条件，1Z\2=3,2A3=4,并旦

有一个不为零的数d使得对任意有理数xZ\d二x,求a、b、c、d的值.

解：VxAd=x,/.ax+bd+cdx=x,

(a+cd-1)x+bd=0,

•・•有一个不为零的数d使得对任意有理数xAd=x,

(a+cd-1=0

则有Ld=0

V1A2=3,・・・a+2b+2c=3②，

V2A3=4,，2a+3b+6c=4③，

又/.b=0,

a+cd-1=0cz=5

Q+2c=3c=-1.

・••有方程组［2。+60=4解得

J=4

故a的值为5,b的值为0,c的值为