北师大版八年级数学上册同步教案全册

第一章勾股定理

1探索勾股定理

第1课时勾股定理（1）

更标

【知识与技能】

।.经历测量和用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情

推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和

简单推理的意识及能力.

3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边长.

【过程与方法】

1.在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.

2.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识.

【情感态度】

1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学变化，激发学习热情.

2.在探究活动中，体现解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和

探索精神.

【教学重点】

探索勾股定理.

【教学难点】

用测量和数格子的方法探索勾股定理.

一、创设情境，导入新课

我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三

边.对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存

在着两边相等和三边相等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关

系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾

股定理.出示投影1（章前的图文P1）,介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”

联系的信号.

【教学说明】通过复习旧知识，引入新课.出示投影，介绍与勾股定理有关

的背景，激发学生的学习兴趣.

二、思考探究，获取新知

勾股定理

做一做：

1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方

之间有怎样的关系？与同伴交流.

【教学说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形

的性质.

2.观察教材图1—2,正方形A中有个小方格，即A的面积为

个面积单位.正方形B中有个小方格.即B的面积为个面积单位.

正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位.你是怎样得

出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问.教材图1—2中，A、B、

C之间的面积之间有什么关系？

【教学说明】通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步

体会探索勾股定理.

归纳得出结论：SA+SB=SC.

3.教材图1-3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？

【教学说明】通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进

一步加强对勾股定理的理解.

4.如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面

所猜想的数量关系怀成立吗？说明你的理由.

【教学说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让

学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得

到了提高.

议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？

【教学说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言

将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力和语言表达能力.

【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名

的“勾股定理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,那

么a?+b2k2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜

边为弦，这便是勾股定理的由来.

三、运用新知，深化理解

1.在直角三角形ABC中，ZC=90°,若a=5,b=12,则c=.

2.在直角三角形的ABC中，它的两边长的比是3：4,斜边长是20,则两直

角边长分别是.

【教学说明】学生的完成，加深对勾股定理的理解和检测对勾股定理的简单

运用，对学生的疑惑或出现的错误及时指导，并进行强化.

【答案】1.13；2.12,16

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有什么困惑？

【教学说明】教师引导学生回顾新知识，加强对勾股定理的理解，进一步完

善了学生对知识的梳理.

版书设计

第1课时探索勾定理

探究发现正方形C的面积的两种算法X

勾股定理［直角三角形两直角边的平方和等

于斜边的平方.如果用”5和〃分别表示直角三

角形的两直角边和斜边，那么/I{/一一.

i果后色皿

完成练习册中本课时相应练习.

苧］教芝反思

本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流.适当的练习

以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广.

第2课时勾股定理（2）

飞炉追目标

【知识与技能】

1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生

的探究意识和合作交流的习惯.

2.掌握勾股定理和它的简单应用.

【过程与方法】

1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合

的思想方法.

2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.

【情感态度】

在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应

用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增

加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.

【教学重点】

能熟练应用拼图法证明勾股定理.

【教学难点】

用面积证勾股定理.

敦与亘程

一、创设情境，导入新课

我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实

例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.

［教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通

过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.

二、思考探究，获取新知

勾股定理的验证及简单运用

做一做：

1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你

能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.

【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.

2.为了计算教材图1—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补

后，得到教材P51—5、1—6图.

(1)将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来；

(2)教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些

表示方式？与同伴进行交流.

(3)你能分别利用教材图1-5、1-6验证勾股定理吗？

【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理

的理解，又让学生体会到一题多解.

【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探

究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.

三、运用新知，深化理解

1.一块长3m,宽2.2m的薄木板能否从一个长2m,宽1m的门框内通过，

为什么？

2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，

过了2()秒，飞机距离这个男孩头顶5()0()米，飞机每小时飞行多少千米？

【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的

知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练

地将勾股定理应用到现实生活中去.

【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.

2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中AABC的/

C=90°,AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20

秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于AABC的斜边AB=5000米，

AC=4000米,这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.

解：由勾股定理得BC?二AB2-AC2=52-42=9(km2)

即BC=3千米

飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20X3=540(千米/

时)

答：飞机每小时飞行54()千米.

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？

【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相

应的数学模型.

版书设计

第2课时监证勾股定理及其计算

匚、拼图验证勾股定理例一三、练习

Il.(a+6)z=-T-a//X4+vza2+b2=c2.

j2.c2="T"a6X44-(6一即a24~b2=c2.

‘孕_课后住业

完成练习册中本课时相应练习.

苧【教生反思

了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需

要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数

学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.

2一定是直角三角形吗

更标

【知识与技能】

掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用.

【过程与方法】

通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的

应用.

【情感态度】

敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功

经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极

参与数学活动的意识.

【教学重点】

探索并掌握直角三角形的判别条件.

【教学难点】

运用直角三角形判别条件解题.

谷：教翅程

一、创设情境，导入新课

展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，

按老师的要求操作.

甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结.

乙：握住第四个结.

丙：握住第八个结.

拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角.发现这人角

是多少度？古埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的

三角形才能成为直角三角形呢？这就是我们今天要研究的内容.

【教学说明】利用古埃及人得到直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实

际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题.既进行了数学史的教育，又

锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力.

二、思考探究，获取新知

直角三角形的判别

做一做：

下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c.

5、12、137、24、258、15、17

1.这三组数都满足a2+b2=c2nq?

2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形

吗？

3.如果三角形的三边长为a、b、c,并满足a?+b2=c2.

那么这个三角形是直角三角形吗？

【教学说明】鼓励学生大胆发言，让他们体验通过实际的计算和探究得到结

论的乐趣，增强了他们勇于探索的精神.

【归纳结论】如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形

是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾股

数是很多的.今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足a2+b?=c2时，三角形为

直角三角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方

法.

三、运用新知，深化理解

1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.

(1)9,12,15;

(2)15,36,39;

(3)12,35,36;

(4)12,18,22.

2.已知AABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为三角形，是最大角.

3.四边形ABCD中已知AB=3,BC=12,CD=13,DA=4,且/DAB=90°,

求这个四边形的面积.

【教学说明】学生独立完成，能够加深判断一个三角形是直角三如形的条件

的理解，帮助学生答疑解惑，及时指导，矫正强化.在完成上述题目后，引导学

生完成《创优作业》中本课时的“课堂自主演练”部分.

【答案】

1.(1)(2)两组能作为直角三角形的三边长.

V92+I22=152,152+362=392.

・・・这两个三角形都是直角三角形.

2.直角，ZA

3.解：连结BD,在4ABD中，ZDBA=90°,BD2=AB2+AD2=32+42,BD=5.

在△DBC中，V52+122=132,B|JDB2+BC2=DC2,•・•△DBC为直角三角形,Z

DBC=90。，・・・SiBCDSDAB+SgBc=；x3x4+；x5xl2=36.

J1

四、师生互动，课堂小结

1.判断一个三角形是直角三角形的条件.

2.今天的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？与同学交流.

【教学说明】及时反馈教与学双边活动的结果，查漏补缺，让学生养成系统

整理知识的好习惯.

版书设计

2一定是直角三角形吗

直角三角形的判定:例

如果三角形的三边长”.从『满足/十廿=J•那

么这个三角形是直角三角形.

穹I课后住业

1.教材P10-11习题1.3第2、3、4题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

亨］教色反思

这是勾股定理的逆向应用.大部分同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不

难理解.当然勾股定理的理解是关键.

3勾股定理的应用

【知识与技能】

1.能运用勾股定理及直角二角形的判别条件解决简单的实际问题.

2.学生观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.

3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力

及渗透数学建模的思想.

【过程与方法】

在不同条件，不同环境中反复运用勾股定理及直角三角形的判定条件，使学

生达到熟练、灵活运用的程度.在解决问题的过程中，培养学生的空间观念，提

高学生建立数学模型的能力.

【情感态度】

通过解决实际问题，提高了学生应用数学的意识和锻炼了学生与他人交流合

作的意识，再次感悟勾股定理和直角三角形判定的应用价值.

【教学重点】

探索发现给定事物中隐含的勾股定理及直角三角表判定条件，并用它们解决

生活中的实际问题.

【教学难点】

利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的

判定，解决实际问题.

洛）教与耳程

一、创设情境，导入新课

勾股定理的应用

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，

至少需要多长的梯子？

日常生活当中，我们还会遇到下面的问题.

【教学说明】回忆勾股定理，巩固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡,

为学生学习新知识又一次打下了坚实的基础.

二、思考探究，获取新知

蚂蚁怎么走最近？

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱

的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要

爬行的最短路程是多少？（门的取值3）.

(1)同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条

路线，你觉得哪条路线最短呢？

(2)如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线

是什么？你画对了吗？

(3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短

路程是多少？

【教学说明】让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线

段最短更为直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的

知识得到充分运用.

【归纳结论】我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就

(1)4-4'—6；(2)4一9一区；

(3)A—；(4).4->R

哪条路线是最短呢？你画对了吗？

第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.

三、运用新知，深化理解

1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8：0()甲先出发，他以6

千米/时的速度向东行走.1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北进行，上午

10：00,甲、乙两人相距多远？

2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一

小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有

多长？

【教学说明】学生独立解决，把生活中的实际问题转化为解直角三角形，对

学生所学的知识进行强化，以利于教师及时纠正.

【答案】1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.

解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10：00时甲到达B点，

fflAB=2X6=12（千米）；乙到达C点,MAC=1X5=5（千米）.

在RtZ\ABC中，BC12=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.即甲、

乙两人相距13千米.

2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一

个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁

棒最短时是垂直于底面时.

解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.

（1）X2=1.52+22,X2=6.25,X=2.5

所以最长是2.5+05=3（米）.

（2）x=1.5,最短是1.5+0.5=2（米）.

答：这根铁棒的长应在2〜3米之间（包含2米、3米）.

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？

【教学说明】学生梳理知识，加强教与学的互通，进一步提高课堂教学的效

果.

翻版书设计

3勾股定理的应用

创设情境，导入新课例学生展示3

合作探究•交S［展示变式调练

■

专'课后住业

1.教材P14-15第1、2、3、4题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

亶教学反思

这节课的内容综合性比较强，可能有些同学掌握得不是太好，今后要继续加

强这方面的训练.

本章归纳总结

「教与目标

【知识与技能】

掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，能灵活运用它们解决实

际问题.

【过程与方法】

通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形合的思想和逆向思

维思考问题，以便能熟练灵活运用.

【情感态度】

让学生养成把已有的知识建立联系的思维习性，积极参与数学活动，在活动

中学会思考、讨论、交流和合作，激发他们的求知欲望.

【教学重点】

用勾股定理和如何判断一个二角形是百角二箱形解决简单问题.

【教学难点】

能理解运用勾股定理解题的基本过程；掌握在复杂图形中确定相应的直角三

角形，根据勾股定理建立方程.

敦翅造

一、知识框图，整体把握

「勾股定理

「直接运用

勾解决简单

勾股定理勾股定理及如何判断

股实际问题

的应用一个三角形是直角三

定解决较综

角形的综合运用

理、合的问题

如何判断一个三角形

是直角三角形及应用,

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系

统地了解本章知识及它们之间的相互联系.

二、释疑解惑，加深理解

1.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法有多种，一般是采用剪拼的方法，它把“数与形”巧妙

地联系起来，是几何与代数沟通的桥梁，同时也为后面的四边形、圆、圆形变换、

三角函数等知识的学习提供了方法和依据.

说明：利用面积相等是证明勾股定理的关键所在.

2.勾股定理中的分类讨论

在勾股定理的实际运用中.如果不明给出直角二角形中有两条边的长.要求

第三条边的长就需要分两种情况讨论，即第一种情况是告诉两条直角边长求斜

边，第二种情况是告诉一条直角边和斜边长求另一条直角边.

3.曲面两点间的距离问题

在解决曲面中两点间的距离时，往往是要将曲面问题转化为同一平面内两点

之间的距离，这是解决问题的关键.

三、典例精析，复习新知

例1一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,将aABC折叠,

使点B与点A重合，折痕是DE（如图所示），求CD的长.

A(B)EB

【分析】设CD为x,「AD=BD,・・・AD=8-x..••在4ACD中,根据勾股定

理列出关于x的方程即可求解.

解：由折叠知，DA=DB.在RtZXACD中，由勾股定理得ACN+CD?=AD?,若

设CD=xcm,则AD二DB=（8-x）cm,代入上式得6?+x2=（8-x）2,解得

x=7/4=1.75（cm）,即CD的长为1.75cm.

例2有一个立方体礼盒如图所示，在底部A处有一只壁虎，C'处有一只蚊

子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.

（1）试确定壁虎所走的最短路线；

（2）若立方体礼盒的棱长为20cm,则壁虎如果想在半分钟内捕捉到蚊子，

每分钟至少要爬行多少厘米？（保留整数）

【分析】求几何表面的最短距离时，通常可以将几何体表而展开，把立体图

形转化为平面图形.

解：（1）若把礼盒上的底面A'B'C'D’竖起来，如图所示，使它与立方

体的正面（ABB'A'）在同一平面内，然后连接AC根据“两点间线段最

短”知线段AC'就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.

（2）由（1）得，△ABC'是直角三角形，且AB=20,BC'=40.根据勾股

定理，得AC'2=AB?+BC'2=202+4（）2,AC'^44.7（cm）,44.74-0.5^90（cm/min）.

所以壁虎要想在半分钟内捕捉到蚊子，它每分钟至少爬行90厘米（只入不

舍）.

【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，对于例题中需要注意的事项教师

可以适当点评，便于学生熟练加以运用.

四、复习训练，巩固提高

1.已知在aABC中，ZB=90°,一直角边为a,斜边为b,则另一条直角边

c满足c2=.

2.在RtZ\ABC中，ZC=90°,若a=12,c-b=8,则b=,c=.

3.如图所示，在aABC中，ZACB=90°,CD1AB,D为垂足，AC=2.I,

BC=2.8.

求：（1）AABC的面积;

（2）斜边AB的长；

（3）斜边AB上的高CD的长；

（4）斜边被分成的两部分AD和BD的长.

【答案】l.b2-a2；2.5,13；

3.解：(1)SAABC=-ACXBC=1X2.1X2.8=2.94.

22

(2)AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.5,/.AB=3.5.

(3)由三角形的面积公式得LACXBC=，ABXCD,所以1X2.1X2.8=L

2222

X3.5XCD,解得CD=1.68.

(4)在RtAACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2,

:.AD2=AC2-CD2=2.12-1.682

=（2.1+1.68）（2.1-1.68）

=3.78x0.42=2x1.89x2x0.21

=22x9x0.214x0.21.

・・・AD=2X3X0.21=1.26.

・•・BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.

五、师生互动，课堂小结

本节复习课你能灵活运用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形的

解决问题吗？还有哪些不足？

【教学说明】教师引导学生归纳本章主要的知识点，对于遗漏或需要强调的

地方，教师应及时补充和点拨.

专）产后住业

1.复习题4.5第11、12题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

/教与反思

勾股定理是解决线段计算问题的主要依据，它单独命题比较少见，更多时候

是与其他知识综合应用，在综合题中如何找到适当的直角三角形是解题的关键.

第二章实数

1认识无理数

更标

【知识与技能】

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的必要性.

2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数.

3.会判断一个数是有理数还是无理数.

【过程与方法】

让学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和合作精神，通过辨别一

个数是有理数还是无理数，训练大家的思维判断能力.

【情感态度】

1.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗

的献身精神.

2.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.

【教学重点】

1.无理数的探索过程.

2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.

【教学难点】

把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

尧敦与亘程

一、创设情境，导入新课

同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪

些数呢？

在小学我们学过自然数、小数、分数.

在初一我们还学过负数.

对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从

小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范

围是否能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.

【教学说明】随着学习的深入，知识层次的提高，有理数的范围不能适应现

代生活的需要，这就要对数进行扩充，为学生学习新知识作准备.

二、思考探究，获取新知

无理数的概念

拼一拼：

请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认

真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

【教学说明】通过小组合作交流，动手操作得到一个大的正方形，学生非常

高兴地投入到活动中，调动了学生的积极性.

同学们展示，拼图的结果.

下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a,则a应满足什

么条件呢？

［教学说明】探索拼图的过程，对于学生理解大正方形的边长是a是不是有

理数很有帮助.

【归纳结论】因为22=4,32=9,……整数的平方越来越大，所以a应

在1和2之间，故a不可能是整数,又(1/2)2二1/4,

(1/3)2=19(2/3)2=4/9,…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是

分数.

做一做:

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.

【教学说明】结合图形，让学生讲一步理解面积为2的正方形边长不是有理

数，而是一种新数.

同学们能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？

请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下.

边长a面积S

1<a<21<S<4

1.4<a<1.51.96<S<2.25

1.41<a<1.421.9881<S<2.0164

1.414<a<1.4151.999396<S<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449

还可以进行下去吗？a是有限小数吗？

【教学说明】教师引导学生探索，让学生对这种不是有理数的新数有了初步

的认识，为下面引出无理数的概念打下了基础.

【归纳结论】像这种无限不循环小数就叫做无理数.

如:圆周率兀=3.14159265…也是一个无限不循环小数,0.5858858885…（相

邻两个5之间8的个数逐次加1）也是一个无限无循环小数，它们都是无理数.

而3,45,0.38,0.17，它们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数.

三、运用新知，深化理解

1.判断题

(1)有理数与无理数的差都是有理数.

(2)无限小数都是无理数.

(3)无理数都是无限小数.

(4)两个无理数的和不一定是无理数.

2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

0.351,-23,4.9•6•,3.14159,-5.2323332-,123456789101112-(由相继

的正整数组成).

在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.

有理数集合无理数集合

【教学说明】学生自主完成，加深了对无理数的理解以及有理数与无理数的

区别所在，让学生的疑难及时得到矫正与强化.

【答案】1.(1)；(2)；(3)V；(4)V；

2.0.351,-2/3,4.96,3.14159；-5.2323332…，123456789101112…(由

相继的正整数组成).

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你是如何判断一个数是有理数还是无理数？还有哪些困

难？

【教学说明】引导学生寻找知识点间的区别和联系，加深对易错点的理解，

有助于学生正确解题.

篁版书设计

1认识无理效

探究展示=2

右理数：转数和分数

想一想：亡,0一

(1)一个整数的平方◎区唯投

一定是整数吗？影

做一做：y=5

(2》一个分数的平方K

一定是分数吗？

；学生板演区!

,》［课后住业

1.习题2.2第1、2、3题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

营教学反思

这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有理数还是无理数.是数的

范围的又一次扩充，是很重要的一节.培养了学生分类归纳的思想.但对概念的理

解掌握一些同学还不是很好，只能在以后的教学过程中不断的完善.

2平方根

第1课时算术平方根

更标

【知识与技能】

1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.

2.根据求一个数的算术平方根与平方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系

求某些非正负数的算术平方根.

【过程与方法】

经历求一个数的算术平方根与平方的互逆关系，提高学生逆向思维方法.

【情感态度】

学生动脑、动口，积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.

【教学重点】

了解算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.

【教学难点】

理解算术平方根的概念、性质.

尧敦与亘程

一、创设情境，导入新课

上节课我们学习了无理数、了解到无理数产牛的实际背景和引入的必要性.

掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限

循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a?=2中，2是有理数，而a是无理

数.在前面我们学过若x2=a,则a叫x的平方,反过来x叫a的什么呢?本节课

我们就来一起研究这个问题.

【教学说明】从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他

们对算术平方根的求法与开平方这种互逆的关系形成了初步认识.

二、思考探究，获取新知

算术平方根的概念和求法.

下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：

X2=，y2=，Z2=，W2=

请大家分析一下，X、y、z、W中哪些是有理数？哪些是无理数？

【教学说明】回忆勾股定理得到一个数的平方是一个正数，为下面给出算术

平方根的概念作了开端.

【归纳结论】因为没有任何整数或分数的平方等于2,3,5,所以x、y、w

不是有理数，而是无理数，即,y=G,w二石.因为22=4.所以z=2,是

有理数.

若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则这个正数x就叫做a的算术平方根.

记为“返”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定。的算术平

方根是o,即C=o.

下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.

例1求下列各数的算术平方根：

(1)900；(2)1；(3)49/64；(4)14.

通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运

算来求的？

【教学说明】学生很容易看出一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运

算，有利于对算术平方根概念的理解.

【答案】解：(1)因为3()2=900,所以900的算术平方根是30,即5^而=30；

(2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即1=1；(3)因为(7/8)2=49/64,

所以49/64的算术平方根是7/8,即J4964=7/8；(4)14的算术平方根是J.

【归纳结论】在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤买取

语言叙述和符号表示相互补充的做法，目的是让大家在计算中进一步体会一个正

数的平方与求算术平方根是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化.

三、运用新知，深化理解

1.填空题.

(1)若一个数的算术平方根是石，则这个数是.

(2)49的算术平方根是.

(3)正数的平方为144/25,匕的算术平方根为.

(4)(-1.44)2的算术平方根为.

(5)病的算术平方根为,7004=

2.求下列各数的算术平方根，并用符号表示已来：

(1)(7.4)2；(2)(-3.9)2；(3)2.25；(4)2；.

3.自由下落的物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h=4.%2.有一

铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？

【教学说明】学生独立完成，加深对算术平方根概念的理解，强化了算术平

方根的求法和表示方法.

【答案】1.(1)5；(2)2/3；(3)12/5,4/3；(4)1.44；(5)3,0.2.

2.(1)>/(7.4)2=7.4；(2)_3.91=3.9；(3)7125=1.5；(4)旧=3/2.

3.解：将h=19.6代入公式h=4.%2得t?=4,所以t="=2(秒)

即铁球到达地面需要2秒.

四、师生互动，课堂小结

本节课你学习了哪些新知识？还有什么困难？请与同学们交流.

【教学说明】教师引导学生回顾所学知识，加深印象.找出不足，共同提高.

版书设计

第1课时算术平方根

投

影1.概念例1例2y=

区2.性质解：解：

域zu=

学生活动区

,孕_课后作业

1.习题2.3第1、2、3题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

第教学反思

本节课从一个数的平方入手，用逆向思维求一个数的算术平方根，学生容易

接受，解决问题起来应该说是得心应手，但要注意算术平方根的符号表示方法.

第2课时平方根

【知识与技能】

1.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算.

2.会求一个数的平方根，明确算术平方根与立方根的区别与联系.

【过程与方法】

经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养学生求同和求异的思

维方法，能从相似的事件中找到它们的共同点和不同点.

【情感态度】

通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大

家的团队精神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走向社会而做准备，使他

们能在工作中保持严谨的态度，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者.

【教学重点】

1.了解平方根、开平方的概念，会利用互逆运算关系求某些非负数的算术平

方根与平方根.

2.平方根与算术平方根的区别和联系.

【教学难点】

1.平方根与算术平方根的区别和联系.

2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算.

专［敦翅程

一、创设情境，导入新课

上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a,

即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作x=&i,而且a也是非负数，比如正数22=4,

则2叫4的算术平方根,4叫2的平方，但是(-2)2=4,则-2叫4的什么根呢？

下面我们就来讨论这个问题.

【教学说明】通过回顾算术平方根是一个正数正的平方根，从而顺其自然引

出还有一个负数的平方等于这个正数，为下面学习平方根做了心理准备.

二、思考探究，获取新知

1.平方根、开平方的概念

请大家思考两个问题.

(1)9的算术平方根是3,也就是说，3的上方是9,还有其他的数，它的

平方也是9吗？

(2)平方等于4/25的数有几个？平方等于0.64的数呢？

【教学说明】学生很容易看出有正负两个数的平方为一个正数，让他们对平

方根的概念有了初步认识.

【归纳结论】3的平方等于9,-3的平方也等于9,3是9的算术平方根，-3

是9的平方根.平方等于4/25的数有两个,即2/5和-2/5,平方等于0.64的数也

有两个，即0.8和・0.8・

一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个x就叫a的平方根

（squareroot）,也叫二次方根，3和-3的平方都等于9,由定义可知3和-3都是

9的平方根，即9的平方根有两个3和-3,9的算术平方根只有一个是3.

由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处

呢？

【教学说明】让学生找出平方根和算术平方根的相同点与不同点，对于正确

理解两个不同的概念和学生准确解题很有帮助.

【归纳结论】联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方

根是平方根的一种.

（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.

（3）0的平方根、算术平方根都是0.

区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方

根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.

（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一

个.

（3）表示法不同：正数a的平方根表示为士右，正数a的算术平方根表示

为.

（4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平

方根只有一个.

什么叫开平方呢？我们共学了几种运算？这几种运算之间有怎样的联系？

【教学说明】使学生明白加与减、乘与除、平方与开平方都是互为逆运算.

2.平方根的性质

请大家思考下面的问题：

（1）一个正数有几个平方根？

（2）0有几个平方根？

（3）负数呢？

【教学说明】通过前面的学习，学生不难得出一个正数有两个平方根，且它

们互为相反数；（）有一个平方根是0；负数没有平方根，加深对平方根概念的理

解.

1.求下列各数的平方根.

49、

(l)64；(2)^；(3)0.0004；(4)(-25)2；

(5)11.

2.想一想：

(1)(灰尸等于多少？j等于多少？

I7121J

(2)(等于多少？

(3)对于正数明(一产等于多少?

【教学说明】由平方根的定义，学生不难得出结果，对于平方根的求法再次

加深，以达到熟练运用.

三、运用新知，深化理解

1.求下列各数的平方根.

1.44,0,8,100/49,441,196,10-4

2.填空

(1)25的平方根是；

(2)(-5)2=；

(3)(5)2=.

3.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.

(1)(-3)2；(2)0；(3)-0.01；(4)-52；(5)-a2；(6)a2-2a+2

【教学说明】学生自主完成，加深对平方根概念的理解和检测学生对平方根

求法的掌握情况，及时点拨，得以强化.

【答案】1.±1.2,0,±2夜,±—，±21,±14,±—

7100

2.(1)±5,(2)5,(3)5

3.有平方根的是:(-3)2,0,a2-2a+2,因为它们都是非负数；-0.01,・5?没

有平方根，因为它们都是负数；川2,只有当a=0时它才有平方根.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾平方根和开平方的概念以及只有非负数才有平方根.

2.本节课你有哪些收获？还存在哪些不足？

【教学说明】引导学生回顾知识点，找出它们之间的联系与区别以及学习过

程中存在的不足，便于进一步深化和查漏补缺.

’汽板书设计_

第2课时平方根

至习旧知引入新如例题而新知巩固巩固练习

新课练习，______________

合作探究，______________

思考提升，_______________

课后作业:|

专：课后住业

1.习题2.4第1、2、3、4题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

专）教至反思

这节主要是算术平方根与平方根的区别与联系，其中表示方法，求式子的值

都是很容易混淆的.大部分的学生还是能勉强的掌握.但还是要在以后的教学过程

中再多让学生分清他们.

3立方根

「教宇目标

【知识与技能】

1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.

2.能用立方运算求某些数的立方根，明白开立方与立方互为逆运算.

3.正确区分立方根与平方根的不同.

【过程弓方法】

在学习平方根的基础上，用类比的方法学习立方根的有关知识.

【情感态度】

结合本节课的特点，训练学生类比思想的养成，发展他们求同求异思维，使

他们能在复杂的环境中明辨是非.

【教学重点】

1.立方根的概念.

2.会求一个数的立方根.

【教学难点】

区分立方根与平方根的不同之处.

尧敦与亘程

一、创设情境，导入新课

上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a,则x叫a的平方根，即x=±47i.

正方体的棱长为a,体积为8,根据正方体体积的公式得a3=8,那么a叫8的什

么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x?二a,则x叫a

的什么呢？

【教学说明】学生比较容易由平方根的定义类推得出立方根的定义，他们心

目中已经对立方根有了初步认识.

二、思考探究，获取新知

1.立方根的概念及求法

下面大家能不能根据平方根的定义和记法来类推立方根的定义和记法呢？

【教学说明】由于学生在前面对于立方根的由来有了初步接触，应该来说学

生接受比较快，容易掌握.

【归纳结论】若一个数x的立方等于a,B|Jx3=a,那么这个数x就叫做a的

立方根（cuberoot；也叫三次方根）.记为x=%,读作x等于三次根号a,如2

是8的立方根，-2/3是-8/27的立方根，0是0的立方根.

大家能否由开平方的定义，再类推开立方的定义呢？

【教学说明】学生在己学的开平方的基础上不难得出开立方的定义，有利于

加深立方根概念的理解.

【归纳结论】求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方

数.

2.立方根的性质

（1）2的立方等二多少？是否有其他的数，它的立方也是8?

（2）-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是-27?

（3）0的立方等亍多少？。有几个立方根？

【教学说明】从立方入手，让学生对立方根的求法再次得到加深.

【归纳结论】正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根

有一个，是0.

3.平方根与立方根的区别与联系

我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，

下面请大家说说它们的联系与区别.

【教学说明】让学生找出平方根与立方根的联系与区别.对于正确理解两个

不同而又容易混淆的概念和准确解题有很大帮助.

【归纳结论】联系：（1）0的平方根、立方根都有一个是0.

（2）平方根、立方根都是开方的结果.

区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方

根”；“如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根”.

（2）个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负

数没有平方根，一个负数有一个立方根.

（3）表示法不同

正数a的平方根表示为土右，a的立方根表示为指.

（4）被开方数的取值范围不同

土右中的被开方数a是非负数：族中的被开方数可以是任何数.

例1求下列各数的立方根：

（1）-27,（2）8/125；（3）0.216；（4）-5.

请大家思考下列问题：

我表示a的立方艰，则（汽）3等于什么？疗等于什么？

例2求下列各式的值：

（1）口;（2）g画;⑶一七；

\125

【教学说明】由立方根的定义，学生不难得出结果，对于立方根的求法再次

加深，以达到熟练运用.

三、运用新知，深化理解

1.求下列各数的立方根；

27125

°，1，一方6，-血，。・。。1

2.求下列各式的值：

E；一店

8Y

27.1

3.下列说法对不对？

①-4没有立方根;②1的立方根是土1;③

上的立方根是《；④-5的立方根是-瓦⑤64

JOO

的算术平方根是±8.

【教学说明】学生独立完成，加深对立方根概念的理解和检测学生对于立方

根求法的掌握情况，及时指导、点拨，得以强化提高.

【答案】等河-亮,0.1；

11-2,-2,)

2.0.3,-1,-

54，

3.正确的有:④.错误的有:①②③⑤.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾立方根和开立方的概念以及立方根的性质.

2.本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？

【教学说明】引导学生回顾所学知识，找出它们的相同点和不同点以及学习

过程中存在的疑惑，便于进一步深化提高.

'瓢版书设计

课后作业

1.习题2.5第1、2、3题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

教与反思

本节的内容最好在学生熟练掌握平方根的内容的前提下进行.这样就能让学

生用类推的方法得出立方根的相关结论.很容易理解与掌握.从学生上课的反映来

看，这节课应该是比较成功的.

4估算

【知识与技能】

।.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能

通过估算比较两个数的大小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感.

【过程与方法】

通过一系列实际问题的解决让学生逐步掌握估算的基本方法.

【情感态度】

培养学生把数学应用于日常生活中的能力，对结果合理性的觉察能力，近似

估算能力.

【教学重点】

掌握估算的方法，能通过估算检验计算结果的合理性.

【教学难点】

掌握估算的方法，形成估算的意识.

谷：教翅程

一、创设情境，导入新课

在前面我们己经了解了估算一个根号表示的无理数一般是采用夹逼的方法.

例如要估算而的大小，首先要找出20邻近的完全平方数.在日常生活中，往

往要遇到估算一个比较大的数的平方根或立方根,我们怎么办呢？通过下面的学

习你就明白了.

【教学说明】由于第二章第一节内容已经初步接触到估算，为他们后面学习

估算比较大的数作好了铺垫.

二、思考探究，获取新知

估算和数的大小比较

某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒

地的长足宽的2倍，它的面积为400000米2

1.公园的宽大约是多少？它有1000米吗？

2.如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？与同伴交流.

3.该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是80（）米2,你能估计它的半径吗？

（误差小于1米）

【教学说明】从实际问题出发，关注学生能否主动从事估算等活动.对于较

复杂的计算可用计算器.

议一议：

（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流.

^