邵东一中2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷(详解版)

邵东一中2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知复数，则z的虚部为()A. B. C. D.1、【答案】B【解析】依题意，，所以z的虚部为.故选：B.2、已知直线，，则“”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2、【答案】A【解析】当时，直线的斜率为，的斜率为，又，所以，充分性成立；直线，，若，则有，解得或，必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.（选择性必修第一册课时P1403改编）3、在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，则S16＝()A．288B．144C．572D．72【答案】B4、已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．4、【答案】D【详解】根据题意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有，据此有：，综上可得2<a<3.故选：D（选择性必修第二册学法课时P8811）5、一动圆P过定点M（﹣3，0），且与已知圆N：（x﹣3）2+y2＝16外切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．（x≥2） B．（x≥2） C．（x≤﹣2） D．（x≤﹣2）5、【答案】C【解析】解：∵圆P与圆C外切，如图，∴|PN|＝|PM|+4，即|PN|﹣|PM|＝4，∵0＜|PN|﹣|PM|＜|MN|＝6，∴由双曲线的定义，点P的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中a＝2，c＝3，∴b2＝c2﹣a2＝9﹣4＝5．故所求轨方程为：（x≤﹣2）．故选：C．6、设函数与直线的交点的横坐标构成以为公差的等差数列，且是图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是（）A． B． C． D．6、【答案】D【解析】根据题意可得，函数的周期为，求得，再由解得，由题意，可得：；所以，令，解得：，故函数的单调递减区间为，故区间是函数的单调递减区间，故选：D.7、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，，，平面平面，则球的体积为A． B． C． D．7、【答案】C【解析】解：因为，，可知，又，，所以，故，取的中点，则，，又平面平面，且平面平面，所以平面，设的外接圆的圆心为，则在的延长线上，因为，，所以，所以，设为的外接圆的圆心，则为的中点，，连结，，由球的性质可知，平面，所以，，同理可得，，，所以四边形为正方形，所以球的半径为，所以，则球的体积为．故选：．（期中考试第7题改编）8、已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（

）A． B． C． D．38、【答案】B【解析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，因为点为线段的中点，所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故.所以的最大值为.故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得，，再求最值.选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9、已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．数列是递增数列C．数列中的最小项为D．，，成等差数列9、【答案】AB【解析】：因为，所以数列为等差数列，公差为3，因为，所以，；对于A，因为，所以是递增数列，A正确；对于B，因为，所以数列是递增数列，B正确；对于C，因为，所以数列中的最小项为，C不正确；对于D，当时，，显然不是等差数列，D不正确.故选：AB10、已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（

）A．直线的斜率为B．直线是的一条渐近线C．若，则的离心率为D．若，则的渐近线方程为10、【答案】ABD【分析】根据给定条件，计算斜率判断A；由计算直线斜率判断B；求出点的坐标计算判断C，D.【解析】对于A，根据题意，，设直线，又因为直线与圆相切于点，所以，A正确；对于B，根据题意可知，可得，所以直线是的一条渐近线，B正确；对于C，若，根据题意，联立，解得，同理联立，解得，由于，故，即，化简得，则的离心率为，C错误；对于D，设，依题意知，则，故，得，故，代入，得，所以，则，得，则的渐近线方程为，D正确；故选：ABD11、在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，则下列说法正确的是()A．当λ=时，三棱锥P-EFD的体积为定值B．当µ=时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是C．的最小值为D．存在唯一的实数对，使得EP⊥平面PDF11、【答案】ACD【解析】对于A选项，当时，，只需要证明点到平面的距离恒定，就能说明三棱锥的体积为定值；对于B选项，当时，点为正方体的中心，只需求出四棱锥的外接球的半径即可算出表面积；对于C选项，把问题转化为在平面内求点使得最小即可求解；对于D选项，建立空间直角坐标系，利用向量方法来证明即可.【详解】对于A选项，当时，点为线段的中点，又为线段的中点，故为三角形的中位线，，点在线段运动时，点到平面的距离恒定，故三棱锥的体积为定值；对于B选项，当时，点为正方体的中心，设四棱锥的外接球的半径为，由，解得，故四棱锥的外接球的表面积为对于C选项，把问题转化为在平面内求点使得最小，如图，作点关于线段的对称点，过点作的垂线，垂足分别为和，则，设，则，故，故对于D选项，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，易求得，，故，若平面，则解得（舍）或故存在唯一的实数对，使得平面.故选：ACD.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12、已知数列是正项等比数列，且成等差数列，则数列的公比为______.12、【答案】2【解析】由题设，令公比为，则，所以，即，则.（选择性必修第二册学法P25训练3（2）改编）13、数列满足,若，,，则＝_________．13、【答案】－6【详解】解：因为，，所以，，，，所以数列的周期为4，又因为，∴14、过点的直线与椭圆交于点和，且．点满足，若为坐标原点，则的最小值为___14、【答案】【解析】解：设，，，，，由，，，则，，即为，，相乘可得，①同理可得，②可得，即，化简可得，即，即的轨迹方程，可得的最小值为．故答案为：．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(13分)已知在数列中a1=1，且，记.(1)证明：数列是等差数列；(2)记求数列的前n项和15、【答案】（1）略（学法P13训练2（1））（2）（学法P43例3改编）【解析】解：（1）∵∴又∴∴且∴数列是首项为1，公差为1的等差数列…………6分由（1）知则∴…………13分16、（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2a﹣b＝2ccosB．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为33，点D为AB中点，且CD=13，求16、【答案】（1）C=π3；（2）【解析】解：（1）由2a﹣b＝2ccosB得2sinA﹣sinB＝2sinCcosB∵A+B+C=π则有sinA=sin（B+C）∴2sin（B+C）﹣sinB＝2sinCcosB即2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinB＝2sinCcosB⇒2sinBcosC＝sinB，∵B∈（0，π）则sinB≠0，∴cosC=1∵C∈（0，π）∴C=π3（2）由已知得CD→=12(∴13=14(b2+a2+2ab×1因为△ABC的面积为33，所以12ab⋅32=33，即ab由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab＝40﹣12＝28，∴c=2717、（15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，.（1）求证：平行四边形为矩形；（2）若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.17.【解答】（1）取中点，连接，如图所示：∵为正三角形，则.面面，面面，面，则面.∵面∴又，，面，，所以面，面，故∴平行四边形为矩形.………6分（2）如下图所示：以为原点，为轴，为轴建立坐标系，设，则，，，，，所以，，，，设面的法向量为，则，令，则设点到平面的距离为，则，解得.所以.设面的法向量为，则，令，则，则.∵平面与平面所成角为锐角，∴平面与平面所成角的余弦值为.…………15分18、(17分)已知椭圆C：x2a2+(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右两个顶点分别为A1，A2，T为直线l：x=4上的动点，且T不在x轴上，直线TA1与C的另一个交点为M，直线TA2与C的另一个交点为N，18、【答案】(1)解：有题意可知ca=1∴椭圆C的标准方程为x24)证明：由题意可知A1(−2,0)，A2设M(x1,直线TA1的方程为y=t6(x+2)联立方程y=t6(x+2)x2∴−2⋅x1=则y1=联立方程y=t2(x−2)x2∴2x2=则y2

∴k∴直线MN的方程为y+6t即y=−6tt故直线MN过定点(1,0)，

所以△FMN的周长为定值8，当t=±3时，M(1,32)，N(1,−3∴MN过焦点(1,0)，此时△FMN的周长为定值4a=8，

综上所述，△FMN的周长为定值8.………17分19、（17分）若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”．(1)若，，判断，是否是“数列”；(2)已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围；(3)已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式．19．【答案】(1)数列an是“数列”；数列bn不是“数列”；(2)(3)或【解析】（1）对于数列而言，若，则,所以数列是“数列”；对于数列而言，若，则，则数列不是“数列”；.………3分（2）因为等差数列是“数列”，所以其公差．因为，所以，由题意，得对任意的恒成立，即对任意的恒成立．当时，恒成立，故；当时，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，因为，所以．所以的取值范围是..………9分（3）设等比数列的公比为，因为，所以，因为“数列”的每一项均为正整数，由得，所以且，因为，所以，所以单调递增，所以在数列中，“”为最小项，而，从而