备战2025年高考二轮复习数学专题突破练9　三角函数与解三角形解答题(提升篇)

专题突破练(分值:52分)学生用书P1551.(13分)(2024陕西西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且cosAa(1)证明:b2=ac;(2)若b=2,sinB=74,求a+c的值(1)证明因为cosA所以由余弦定理可得b2整理得到b2=ac.(2)解由(1)得b2=ac=4,sinB=74又因为a>b>c,所以B∈0,π2,则cosB=1-在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即4=a2+c2-6,由a2+c2=10,ac=4,得(a+c)所以a+c=32(负值舍去).2.(13分)(2024北京,16)在△ABC中,a=7,A为钝角,sin2B=37bcos(1)求∠A;(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知,求△ABC的面积.①b=3;②cosB=1314;③csinA=5注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.解(1)∵sin2B=37bcosB∴2sinB·cosB=37bcos又A为钝角,∴B∈0,π2,∴cosB≠0,∴2sinB=37b∴bsin由正弦定理得asinA=b∴sinA=32,∴A=2(2)若选①.由(1)知A=2π3,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即49=9+c2-2×3×c×cos2π3,即c2+3c-40=0,解得c=5或∴S△ABC=12bcsinA=12×3×5×若选②.由cosB=1314,得sinB=3又2sinB=37b,∴b=3由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即49=9+c2-2×3×c×cos2π即c2+3c-40=0,解得c=5或c=-8(舍去),∴S△ABC=12bcsinA=12×3×5×若选③.由csinA=532,得32c=532由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即49=b2+25-2×b×5×cos2π3,即b2+5b-24=0,解得b=3或b=-8(舍去),∴S△ABC=12bcsinA=13.(13分)(2024河北衡水一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积为S,若D为AC边上一点,满足AB⊥BD,BD=2,且a2=-233S+ab(1)求∠ABC;(2)求2AD+解(1)∵a2=-233S+abcos∴a2=-33absinC+abcosC即a=-33bsinC+bcosC由正弦定理得,sinA=-33sin∠ABCsinC+sin∠ABCcosC∴sin(∠ABC+C)=-33sin∠ABCsinC+sin∠ABCcosC∴cos∠ABCsinC=-33sin∠ABCsin∵sinC≠0,∴tan∠ABC=-3.由0<∠ABC<π,得∠ABC=2π(2)如图,由(1)知,∠ABC=2π3,因为AB⊥BD,所以∠ABD=π2,∠在△BCD中,由正弦定理得DCsin∠即DC=2sinπ在Rt△ABD中,AD=BDsin∴2AD+1CD=22∵∠ABC=2π∴A+C=π3∴2AD+1CD=sinA+sinC=sinπ3-C+sinC=sinπ3cosC-cosπ3sinC+sinC=sin∵0<C<π3∴C+π3∈π3,∴sinC+π3∈32,1,所以2AD+1CD的取值范围是34.(13分)(2024新高考Ⅱ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=2.(1)求A;(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周长.解(1)由题得212sin即sinA+π3=1又A+π3所以A+π3=π2,(2)因为2bsinC=csin2B,所以由正弦定理可得2sinBsinC=sinC·2sinBcosB,又si