2025届广东省佛山市顺德区高考冲刺数学模拟试题含解析

2025届广东省佛山市顺德区高考冲刺数学模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A． B． C． D．2．双曲线：（），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．3．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）A． B． C． D．4．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交5．复数(i为虚数单位)的共轭复数是A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i6．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（）A． B． C． D．7．若复数是纯虚数，则()A．3 B．5 C． D．8．若是定义域为的奇函数，且，则A．的值域为 B．为周期函数，且6为其一个周期C．的图像关于对称 D．函数的零点有无穷多个9．已知函数，，若总有恒成立.记的最小值为，则的最大值为（）A．1 B． C． D．10．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（）A． B． C． D．11．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若，则实数的取值范围为__________．14．在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．15．函数的最大值与最小正周期相同，则在上的单调递增区间为______.16．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.18．（12分）如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（12分）设函数.（1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围；（2）若，证明：.21．（12分）已知函数.（1）若，，求函数的单调区间；（2）时，若对一切恒成立，求a的取值范围.22．（10分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．（1）求物理原始成绩在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．（附：若随机变量，则，，）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题.、、都是假命题.故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.2、B【解析】

首先求得双曲线的一条渐近线方程，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出，进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为，一条渐近线的方程为，由左焦点到渐近线的距离为2，可得，所以渐近线方程为，即为,故选：B【点睛】本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.3、C【解析】

根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以，解得所以相交的概率,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.4、D【解析】

通过条件判断直线l与平面α相交，于是可以判断ABCD的正误.【详解】根据直线l不平行于平面α，且l⊄α可知直线l与平面α相交，于是ABC错误，故选D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.5、B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．6、D【解析】

根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解.【详解】设，所以，因为当时，，即，所以，在上是增函数，在中，因为，所以，，因为，且，所以，即，所以，即故选：D【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7、C【解析】

先由已知，求出，进一步可得，再利用复数模的运算即可【详解】由z是纯虚数，得且，所以，.因此，.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.8、D【解析】

运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.【详解】是定义域为的奇函数，则，，又，，即是以4为周期的函数，，所以函数的零点有无穷多个；因为，，令，则，即，所以的图象关于对称，由题意无法求出的值域，所以本题答案为D.【点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.9、C【解析】

根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题,总有即恒成立.设,则的最大值小于等于0.又,若则,在上单调递增,无最大值.若,则当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增.故在处取得最大值.故,化简得.故,令,可令,故,当时,,在递减；当时,,在递增.故在处取得极大值,为.故的最大值为.故选：C【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.10、D【解析】

利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可.【详解】在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为，矩形中位于曲线上方区域的面积为，矩形的面积为，由几何概型的概率公式得，所以，.故选：D.【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.11、C【解析】

根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.【详解】若，根据线面平行的性质定理，可得；若，根据线面平行的判定定理，可得.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.12、A【解析】

由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，则，，，.因此，随机变量的数学期望为.故选：A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

画图分析可得函数是偶函数，且在上单调递减，利用偶函数性质和单调性可解.【详解】作出函数的图如下所示，观察可知，函数为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，故，故实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式.函数奇偶性的常用结论：(1)如果函数是偶函数，那么．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．14、【解析】

由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得，即，解得，故的面积.故答案为：【点睛】本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.15、【解析】

利用三角函数的辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．【详解】∵，则函数的最大值为2，周期，的最大值与最小正周期相同，，得，则，当时，，则当时，得，即函数在，上的单调递增区间为，故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的性质、单调区间，利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键，同时要注意单调区间为定义域的一个子区间．16、161【解析】

由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果．【详解】某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为，，解得，第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：16，1．【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理，证得底面，由此证得，结合证得平面，由此证得：平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴∵平面底面，平面底面，∴底面平面，∴又由题意可知为正方形，又，∴平面平面，∴平面平面（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，由已知，得，设平面的法向量为，则令，则，∴由（1）知平面的法向量可取为∴∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即；（2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取的中点，连接.∵，∴为的中点.又为的中点，∴.依题意可知，则四边形为平行四边形，∴，从而.又平面，平面，∴平面.（2），且，平面，平面，，，且，平面，以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，得.设平面的法向量为，则，即，令，得.从而，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.19、（1）；（2）见解析【解析】

（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.【详解】（1）面积的最大值为，则：又，，解得：，椭圆的方程为：（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形设，，线段的中点为由，消去可得：，解得：∴，，依题意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化简可得：则：，解得：当时，点满足题意；当时，点满足题意故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.20、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）求出导函数，由在上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数，不等式凑配后知，利用时可证结论．【详解】（1）因为在上单调递减，所以，即在上恒成立因为在上是单调递减的，所以，所以（2）因为，所以由（1）知，当时，在上单调递减所以即所以.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．21、（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【解析】

（1）求导，根据导数与函数单调性关系即可求出.（2）解法一：分类讨论：当时，观察式子可得恒成立；当时，利用导数判断函数为单调递增，可知；当时，令，由，，根据零点存在性定理可得，进而可得在上，单调递减，即不满足题意；解法二：通过分离参数可知条件等价于恒成立，进而记，问题转化为求在上的最小值问题，通过二次求导，结合洛比达法则计算可得结论.【详解】（1）当，，，，令，解得，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增.（2）解法一：当时，函数，若时，此时对任意