2023-2024学年北京一七一中初三（上）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2023北京一七一中初三（上）期中数学（时长：120分钟总分值：100分）一、单项选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）1.下列标志中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标为（）A. B. C. D.3.下列事件中是随机事件的是（）A.明天太阳从东方升起B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯C.平面内不共线的三点确定一个圆D.任意画一个三角形，其内角和是4.已知双曲线的解析式为，则下列各点在此双曲线上的是（）A. B. C. D.5.如图，在中，是直径，弦的长为5，点D在圆上，且，则的半径为（）A. B.5 C. D.6.如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，此时点的对应点落在上时，连接，则的度数是（）A. B. C. D.7.若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是（）A. B. C. D.8.如图，小明在操场上匀速散步，某一段时间内先从点出发到点，再从点沿半圆弧到点，最后从点回到点，能近似刻画小明到出发点的距离与时间之间的关系的图像是（）A. B. C. D.二、填空题（共16分，每小题2分．）9.若关于的函数是二次函数，则的取值范围是______．10.在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是_____．11.已知是方程的一个根，则代数式等于___________．12.把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______．13.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．投篮次数50100150200300400500投中次数284978102153208255投中频率0.560.490.520.510.510.520.51根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为______．（精确到0.1）14.弦的长为，圆心O到的距离为，那么的半径为________cm．15.如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，则这个锥的底面圆的半径为______．16.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且，点F是AB边上一动点，连接FD，FE，则的长度最小值为______．三、解答题（共64分17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分．）17.解方程：．18.已知一元二次方程（1）当时，求出此方程的根；（2）求证：不论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．19.下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，．求作：等边，使得等边内接于．作法：①如图2，作半径；②以M为圆心，长为半径作弧，交于点A，B，连接；③以B为圆心，长为半径作弧，交于点C；④连接，．∴就是所求作的等边三角形．根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，，，．由作图可知，∴，是等边三角形．∴．∴．∵，∴．（）（填推理的依据）∵，∴是等边三角形．20.如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：（1）画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标；（2）计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度．21.如图，已知是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出不等式的解集．22.如图，在中，为弦的中点，连接并延长交于点，，求的半径．23.下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．（1）请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率．（2）该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．24.如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米．（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程；（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；（3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．25.如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为1，求的长，26.在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；（2）已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围．27.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．28.在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使点绕点顺时针旋转后得到点，称点为点关于图形的“旋转点”．特别地，若点与点重合，则点也是点关于图形的“旋转点”．如图1，点．（1）在点中，是点关于轴的“旋转点”的是；（2）若上存在点关于轴的“旋转点”，求的半径的取值范围．（3）如图2，的半径为时，已知点，以线段为边在x轴上方作正方形．若正方形上存在点关于的“旋转点”，直接写出符合题意的的取值范围．

参考答案一、单项选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）1.【答案】B【分析】根据旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形，进而分析及可.【详解】A.不是中心对称图形，故此选项错误；B.是中心对称图形，故此选项正确；C.不是中心对称图形，故此选项错误；D.不是中心对称图形，故此选项错误．【点睛】同学们要熟练掌握中心对称图形的概念即可解答.2.【答案】C【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标为．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．3.【答案】B【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A．明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；C．平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．4.【答案】D【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是的，就在此函数图象上．【详解】∵反比例函数中，∴，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为的点在函数图象上，四个选项中只有D选项符合．故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．5.【答案】B【分析】连接,由题意易得，在中解三角形求解．【详解】连接,在中，是直径，，在中，，，故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含直角三角形的性质是解题的关键．6.【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，即可求解．掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】解：，，，由旋转性质知，，，，故选：C．7.【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性求解．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：抛物线，开口向上，对称轴为，点，，三点在抛物线的图象上，点关于对称轴的对称点在抛物线的图象上，，．故选：A．8.【答案】C【分析】可从MA，弧AB，BM三段去考虑小明到出发点M的距离的变化情况，由此选择合适的图像.【详解】解：MA段小明距离M越来越远，到点A是距离最远，弧AB段，到M的距离始终不变，且这一段所用时间最长，BM段距离M越来越近，最终到达M点，由于小明匀速散步，MA=BM,MA段所用时间和BM段相同，综上所述，C图像符合题意.故答案为C【点睛】本题考查了函数图像，结合实际情况选择图像时，关键是理清变量间的变化情况.二、填空题（共16分，每小题2分．）9.【答案】【分析】根据二次函数的定义列不等式求解即可．【详解】∵函数是关于x的二次函数，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如（是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键．10.【答案】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行填空即可．【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．11.【答案】【分析】根据一元二次方程根的定义可得，整体代入，即可求解．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，得出是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．12.【答案】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．【详解】解：抛物线，向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到即故答案为：．【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．13.【答案】0.5【分析】本题考查了求概率，根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．【详解】由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.51附近，∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.51，精确到0.1为0.5，故答案为：0.5．14.【答案】5【分析】过点作于点，连接，构造直角三角形，根据垂径定理和弦心距得到直角三角形直角边长，利用勾股定理直接求圆的半径即可．【详解】解：如图，过点作于点，连接，则，在中，即的半径是．故答案为：5【点睛】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、弦心距的计算的问题，常把半弦长，半径，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形中的勾股定理求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线或连接半径．15.【答案】【分析】根据弧长公式求出这个圆锥的底面圆的周长，进而即可求解；【详解】解：这个锥的底面圆的周长为：；∴这个锥的底面圆的半径为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，正确计算是解题的关键．16.【答案】【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形APGB，则点D的对应点是P，连接PO交AB于F交圆O于E，则线段EP的长即为FD+FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，正方形ABCD关于直线AB对称的正方形APGB，则点D的对应点是P，连接PO交AB于F，交半圆O于E，线段EP的长即为FD+FE的长度最小值，OE=4，∵∠G=90°，PG=BG=AB=4，∴OG=6，∴ОP=，∴EP=，∴FD+FE的长度最小值为，故答案为．【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键．三、解答题（共64分17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分．）17.【答案】,【分析】根据一元二次方程的系数的意义，利用公式法求解即可．【详解】解：，∵，，，∴>0，∴，∴,．【点睛】主要考查了方程的系数的意义和一元二次方程的解法，要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．18.【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）利用因式分解法即可求解；（2）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．【小问1详解】解：当时，方程为即：【小问2详解】解：∴此方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查一元二次方程的求解和根的判别式．熟记相关结论即可．19.【答案】（1）见解析（2），同弧所对的圆周角等于圆心角的一半【分析】（1）按照作图方法补全图形即可；（2）连接，，，，证明，是等边三角形．得到．由圆周角定理得到，由即可得到结论．【小问1详解】如图所示，【小问2详解】证明：连接，，，．由作图可知，∴，是等边三角形．∴．∴．∵，∴．（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）∵，∴是等边三角形．故答案为：，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半【点睛】此题考查了基本作图、等边三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，准确作图和证明是解题的关键．20.【答案】（1）图见解析，，，（2）【分析】（1）分别作出点、绕点顺时针旋转所得对应点，再与点首尾顺次连接即可得；（2）利用弧长的公式求解可得．【小问1详解】解：如图所示，即为所求，其中，；【小问2详解】解：，，弧的长度．【点睛】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式．21.【答案】（1），（2）或【分析】（1）先把代入得到，再把代入可求出，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象下方，即使．【小问1详解】把代入得到，所以反比例函数解析式为，把代入得，解得，把和代入得，解得．所以一次函数的解析式为；【小问2详解】与函数图象如图，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象下方，此时，故答案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．22.【答案】5【分析】连接，根据垂径定理推论得出，由勾股定理可得出的长．【详解】解：连接，如图所示：∵为中点，，∴，，设的半径为，则，∵，∴，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即的半径为．【点睛】题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理推论判断出OC垂直平分AB是解答此题的关键．23.【答案】（1）（2）不公平，公平的游戏规则见详解【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出小颖获胜的概率即可；（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平；然后设计出公平的游戏规则（答案不唯一）．【小问1详解】解：根据题意，画树状图如下所示：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中指针所指区域内的两数字之和小于10的有6种，∴小颖获胜的概率为；【小问2详解】该游戏规则不公平．由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，∴小亮获胜的概率为，而小颖获胜的概率为，故该游戏规则不公平．游戏规则可修改为以下两种：①当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜；②当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和为偶数时，小颖获胜．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了列举法求概率以及概率的应用，理解题意，正确作出树状图或列表是解题关键．24.【答案】（1）喷出水的最大射程为米（2）（3）不能【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移米得到的，可得点B的坐标；（3）根据米，米，米，可求得点F的坐标为，当时，求出y的值，再与0.9比较，从而得出答案．【小问1详解】如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，设，又∵抛物线过点，∴，∴，∴上边缘抛物线的函数解析式为，当时，，解得（舍去），∴∴喷出水的最大射程为米；【小问2详解】∵对称轴为直线，∴点的对称点为，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移米得到的，∵向左平移米得到点B∴点B的坐标为；【小问3详解】由题意得米，米，米，∴点F的坐标为，当时，，当时，y随x的增大而减小，∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．故答案为：不能．25.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）连接，易得，，，根据等量代换可得，证明可得结论；（2）根据，，得出，，根据，，求出，得出，根据勾股定理得出．【小问1详解】证明：连接，如图所示：，，，，∵，∴，，，∵为半径，∴是的切线；【小问2详解】解：∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．26.【答案】（1）x=3（2）【分析】（1）根据函数值相同的两个点关于对称轴对称求解即可；（2）根据题意列出相应不等式，然后将不等式化简为对称轴的形式得出相应不等式解集，根据不等式解集的确定方法求解即可．【小问1详解】解：当m=n时，对称轴为；【小问2详解】解：根据题意可得：m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b，∵m<p<n，mn<0，∴m<0，n>0，∴4a+2b<0，16a+4b>0，化简得：①，②，∵m<p<n，∴化简③得，化简④得，∵t=∴综合①②③④可得：1<t．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及利用不等式确定解集，理解题意，掌握不等式的性质及二次函数的基本性质是解题的关键．27.【答案】（1）；（2）AD﹣DC=BD；（3）BD=AD=+1．【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC，AD，BD之间的数量关系（2）过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O，证明，得到，，根据为等腰直角三角形，得到，再根据，