高考数学二轮总复习题型专项练4解答题组合练（A）

题型专项练4解答题组合练(A)1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a+b=ccosBbcosC.(1)求角C的大小;(2)设CD是△ABC的角平分线,求证:1CA2.(2023·浙江杭州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an.(1)求a2及数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为dn的等差数列,求数列{1dn}的前n项和T3.(2023·天津,17)如图,已知A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,M,N分别为BC,AB的中点.(1)求证:A1N∥平面C1MA;(2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值;(3)求点C到平面C1MA的距离.4.我市某医疗用品生产企业对原有的生产线进行技术升级,为了更好地对比技术升级前和升级后的效果,其中甲生产线继续使用技术升级前的生产模式,乙生产线采用技术升级后的生产模式,质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各200件该医疗用品,在抽取的400件产品中,根据检测结果将它们分为“A”“B”“C”三个等级,A,B等级都是合格品,C等级是次品,统计结果如表所示.表1等级ABC频数20015050表2生产线检测结果合计合格品次品甲160乙10合计在相关政策扶持下,确保该医疗用品的每件合格品都有对口销售渠道,但按照国家对该医疗用品产品质量的要求,所有的次品必须由厂家自行销毁.(1)请根据所提供的数据,完成上面的2×2列联表(表2),并依据α=0.001的独立性检验,能否认为产品的合格率与技术升级有关?(2)在抽检的所有次品中,按甲、乙生产线生产的次品比例进行分层随机抽样,抽取10件该医疗用品,然后从这10件中随机抽取5件,记其中属于甲生产线生产的有X件,求X的分布列和均值.(3)每件该医疗用品的生产成本为20元,A,B等级产品的出厂单价分别为m元、40元.已知甲生产线抽检的该医疗用品中有70件为A等级,用样本的频率估计概率,若进行技术升级后,平均生产一件该医疗用品比技术升级前多盈利不超过9元,则A等级产品的出厂单价最高为多少元?附:χ2=n(ad-α0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.8285.已知函数f(x)=ex+1+ax2+2ax(a∈R).(1)若f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2),且x2x1>ln2,求a的取值范围.6.(2023·广西桂林、崇左一模)如图,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),O为坐标原点,过点F作直线l1与双曲线的渐近线交于P,Q两点,且点P在线段FQ上,(1)求C的方程;(2)设A1,A2是C的左、右顶点,过点(12,0)的直线l与C交于M,N两点,试探究直线A1M与A2N的交点S是否在某条定直线上?若是,求出该定直线方程;若不是,请说明理由

题型专项练4解答题组合练(A)1.(1)解由a+b=ccosBbcosC及正弦定理得sinA+sinB=sinCcosBsinBcosC.又sin(B+C)=sin(πA)=sinA,所以sin(B+C)+sinB=sinCcosBsinBcosC,所以2sinBcosC+sinB=0.因为B∈(0,π),所以sinB≠0,所以cosC=1又C∈(0,π),所以C=2(2)证明因为CD是△ABC的角平分线,且C=2π所以∠ACD=∠BCD=π在△ABC中,S△ABC=S△ACD+S△BCD,则12CA·CBsin2π3=12CA·CDsinπ即CA·CB=CA·CD+CD·CB.两边同时除以CA·CB·CD得12.解(1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.当n≥2时,由Sn+2=2an,可得Sn1+2=2an1,两式相减,可得an=2an2an1,整理得an=2an1,∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2·2n1=2n,n∈N*.(2)由(1)可得an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为dn的等差数列,则有an+1an=(n+1)dn,∴dn=an∴1∴Tn=1d1+1d2+…+12Tn=2×(12)2+3×(12)3+…+n·(12)n+(n+1)·(1两式相减,可得12Tn=221+122+1∴Tn=3n3.(1)证明连接MN,由已知M,N分别为BC,AB的中点,得MN12AC又由题意可知,A1C112AC∴MNA1C1.∴四边形A1NMC1是平行四边形.∴A1N∥C1M.又A1N⊄平面C1MA,C1M⊂平面C1MA,∴A1N∥平面C1MA.(2)解由已知AA1,AB,AC两两垂直,以A为原点,AB,AC,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0),C1(0,1,2).∴AB=(2,0,0),AM=(1,1,0),AC1=(0,1,2),由已知AB⊥AC,AB⊥AA1,∴AB是平面ACC1A1的一个法向量设平面C1MA的一个法向量为n=(x,y,z),则n解得x令z=1,得平面C1MA的一个法向量为n=(2,2,1).设平面C1MA与平面ACC1A1所成的角的大小为θ,则cosθ=|故平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值为2(3)解设点C到平面C1MA的距离为d.解法一(法向量法):d=|解法二(等积法):∵V∴13S△C1AM·d=1易得C1A=AAC1M=A1N=AAAM=12BC=12AB2+AC∴点C1到直线AM的距离d1=C∴S△C1AM易知S△ACM=12S△ABC=12×(12×∴d=A4.解(1)根据所提供的数据,可得2×2列联表如下.生产线检测结果合计合格品次品甲16040200乙19010200合计35050400零假设为H0:产品的合格率与技术升级无关.根据列联表中的数据,计算可得,χ2=400×(160×10-190×40)2200×200×350×50≈20.571>(2)由于抽检的所有次品中,甲、乙生产线生产的次品数的比为4∶1,故抽取的10件中有8件是甲生产线生产的,2件是乙生产线生产的,所以X的所有可能取值为3,4,5,所以P(X=3)=C83C22C105=29,P(X=所以X的分布列为X345P252所以E(X)=3×29+4×59+5(3)甲生产线抽检的产品中有70件A等级,90件B等级,40件C等级,乙生产线抽检的产品中有130件A等级,60件B等级,10件C等级.用样本的频率估计概率,则技术升级前,单件产品的利润(单位:元)为m·70200+40×9020020技术升级后,单件产品的利润(单位:元)为m·130200+40×6020020=由1320m8720m-故A等级产品的出厂单价最高为50元.5.解(1)由题意知f'(x)=ex+1+2ax+2a≥0在区间(1,+∞)内恒成立,即2a≥ex+1x+1在区间(1,令h(x)=ex+1x+1(x>1),则h'(x由h'(x)>0,得1<x<0;由h'(x)<0,得x>0,所以h(x)在区间(1,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减,所以h(x)≤h(0)=e,所以2a≥e,即a≥e(2)由题意知,x1,x2是方程f'(x)=0的两根,又f'(1)=1≠0,故x1,x2是ex+1x+1=2a的两根,令h(x由(1)知h(x)在区间(∞,1)和(1,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减,当x<1时,h(x)的图象在x轴上方,当x>1时,h(x)的图象在x轴下方,此时当x=0时,h(x)取得最大值h(0)=e,所以当2a<e,即a<e2时,方程h(x)=2a有两根x1,x2,其中1<x1<0<x2若x1+ln2≤0,即1<x1≤ln2,则x2x1>ln2一定成立;若x1+ln2>0,即x1>ln2,则x2x1>ln2⇔x2>x1+ln2⇔h(x2)<h(x1+ln2),而h(x2)=h(x1)=2a,所以h(x1)<h(x1+ln2)⇔ex1+1x1+1<所以ln2<x1<ln21.所以当x2x1>ln2时,1<x1<ln21.所以2a=h(x1)<h(ln21)=2ln2,所以a<6.解(1)因为双曲线右焦点为F(2,0),所以c=2.因为渐近线方程为y=±bax所以tan∠POF=b因为OP⊥PQ,所以|OQ|2|OP|2=|PQ|2,即(|OQ|+|OP|)(|OQ||OP|)=|PQ|2,又|OP|+|OQ|=3|PQ|,所以|OQ||OP|=33|PQ|解得|OQ|=233|PQ|,|OP|=3所以∠POQ=π3,所以∠POF=π所以tan∠POF=ba=3,c=2,a2+b2=c解得a=1,b=3所以双曲线C的方程为x2y