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文档简介

2025届广西南宁三中、柳铁一中等重点中学高考数学一模试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出属于()A. B. C. D.2.记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间,设函数,则不等式的解集为()A.2阶区间 B.3阶区间 C.4阶区间 D.5阶区间3.已知函数,满足对任意的实数,都有成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.4.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么()A. B. C. D.5.设函数,则,的大致图象大致是的()A. B.C. D.6.已知向量,,且与的夹角为,则x=()A.-2 B.2 C.1 D.-17.设向量,满足,,,则的取值范围是A. B.C. D.8.已知集合,集合,则()A. B. C. D.9.函数的部分图象如图中实线所示,图中圆与的图象交于两点,且在轴上,则下列说法中正确的是A.函数的最小正周期是B.函数的图象关于点成中心对称C.函数在单调递增D.函数的图象向右平移后关于原点成中心对称10.在中,为中点,且,若,则()A. B. C. D.11.已知函数,将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变;再把所得图象向上平移个单位长度,得到函数的图象,若,则的值可能为()A. B. C. D.12.网格纸上小正方形边长为1单位长度,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.1 B. C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知集合,.若,则实数a的值是______.14.在平面直角坐标系中,已知圆,圆.直线与圆相切,且与圆相交于,两点,则弦的长为_________15.某地区连续5天的最低气温(单位:℃)依次为8,,,0,2,则该组数据的标准差为_______.16.设为数列的前项和,若,,且,,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数和的图象关于原点对称,且.(1)解关于的不等式;(2)如果对,不等式恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)已知定点,,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线。(1)求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在,求出坐标;若不存在,请说明理由。19.(12分)“绿水青山就是金山银山”,为推广生态环境保护意识,高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组,讨论学习.甲组一共有人,其中男生人,女生人,乙组一共有人,其中男生人,女生人,现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.(1)设事件为“选出的这个人中要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,求事件发生的概率;(2)用表示抽取的人中乙组女生的人数,求随机变量的分布列和期望20.(12分)已知函数.(1)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;(2)若,求的最大值.21.(12分)已知椭圆的短轴长为,左右焦点分别为,,点是椭圆上位于第一象限的任一点,且当时,.(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆上点与点关于原点对称,过点作垂直于轴,垂足为,连接并延长交于另一点,交轴于点.(ⅰ)求面积最大值;(ⅱ)证明:直线与斜率之积为定值.22.(10分)已知椭圆:(),与轴负半轴交于,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设直线:与椭圆交于,两点,连接,并延长交直线于,两点,已知,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意,框图的作用是求分段函数的值域,求解即得解.【详解】由题意可知,框图的作用是求分段函数的值域,当;当综上:.故选:B【点睛】本题考查了条件分支的程序框图,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.2、D【解析】

可判断函数为奇函数,先讨论当且时的导数情况,再画出函数大致图形,将所求区间端点值分别看作对应常函数,再由图形确定具体自变量范围即可求解【详解】当且时,.令得.可得和的变化情况如下表:令,则原不等式变为,由图像知的解集为,再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成,所以解集为5阶区间.故选:D【点睛】本题考查由函数的奇偶性,单调性求解对应自变量范围,导数法研究函数增减性,数形结合思想,转化与化归思想,属于难题3、B【解析】

由题意可知函数为上为减函数,可知函数为减函数,且,由此可解得实数的取值范围.【详解】由题意知函数是上的减函数,于是有,解得,因此,实数的取值范围是.故选:B.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数,一般要分析每支函数的单调性,同时还要考虑分段点处函数值的大小关系,考查运算求解能力,属于中等题.4、D【解析】

由得,分别算出和的值,从而得到的值.【详解】∵,∴,∴,当时,,∴,当时,,∴,∴,故选:D.【点睛】本小题主要考查对数运算,属于基础题.5、B【解析】

采用排除法:通过判断函数的奇偶性排除选项A;通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.【详解】对于选项A:由题意知,函数的定义域为,其关于原点对称,因为,所以函数为奇函数,其图象关于原点对称,故选A排除;对于选项D:因为,故选项D排除;对于选项C:因为,故选项C排除;故选:B【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6、B【解析】

由题意,代入解方程即可得解.【详解】由题意,所以,且,解得.故选:B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角,属于基础题.7、B【解析】

由模长公式求解即可.【详解】,当时取等号,所以本题答案为B.【点睛】本题考查向量的数量积,考查模长公式,准确计算是关键,是基础题.8、D【解析】

可求出集合,,然后进行并集的运算即可.【详解】解:,;.故选.【点睛】考查描述法、区间的定义,对数函数的单调性,以及并集的运算.9、B【解析】

根据函数的图象,求得函数,再根据正弦型函数的性质,即可求解,得到答案.【详解】根据给定函数的图象,可得点的横坐标为,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,当时,,即函数的一个对称中心为,即函数的图象关于点成中心对称.故选B.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式,以及三角函数的图象与性质,其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式,再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及运算与求解能力,属于基础题.10、B【解析】

选取向量,为基底,由向量线性运算,求出,即可求得结果.【详解】,,,,,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,平面向量基本定理,属于基础题.11、C【解析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简,然后利用图象变换规律得出函数的解析式为,可得函数的值域为,结合条件,可得出、均为函数的最大值,于是得出为函数最小正周期的整数倍,由此可得出正确选项.【详解】函数,将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍,得的图象;再把所得图象向上平移个单位,得函数的图象,易知函数的值域为.若,则且,均为函数的最大值,由,解得;其中、是三角函数最高点的横坐标,的值为函数的最小正周期的整数倍,且.故选C.【点睛】本题考查三角函数图象变换,同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题,解题的关键在于确定、均为函数的最大值,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.12、A【解析】

采用数形结合,根据三视图可知该几何体为三棱锥,然后根据锥体体积公式,可得结果.【详解】根据三视图可知:该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥,长度如上图所以所以所以故选:A【点睛】本题考查根据三视图求直观图的体积,熟悉常见图形的三视图:比如圆柱,圆锥,球,三棱锥等;对本题可以利用长方体,根据三视图删掉没有的点与线,属中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、9【解析】

根据集合交集的定义即得.【详解】集合,,,,则a的值是9.故答案为:9【点睛】本题考查集合的交集,是基础题.14、【解析】

利用直线与圆相切求出斜率,得到直线的方程,几何法求出【详解】解:直线与圆相切,圆心为由,得或,当时,到直线的距离,不成立,当时,与圆相交于,两点,到直线的距离,故答案为.【点睛】考查直线与圆的位置关系,相切和相交问题,属于中档题.15、【解析】

先求出这组数据的平均数,再求出这组数据的方差,由此能求出该组数据的标准差.【详解】解:某地区连续5天的最低气温(单位:依次为8,,,0,2,平均数为:,该组数据的方差为:,该组数据的标准差为1.故答案为:1.【点睛】本题考查一组数据据的标准差的求法,考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.16、【解析】

由题可得,解得,所以,,上述两式相减可得,即,因为,所以,即,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】试题分析:(1)由函数和的图象关于原点对称可得的表达式,再去掉绝对值即可解不等式;(2)对,不等式成立等价于,去绝对值得不等式组,即可求得实数的取值范围.试题解析:(1)∵函数和的图象关于原点对称,∴,∴原不等式可化为,即或,解得不等式的解集为;(2)不等式可化为:,即,即,则只需,解得,的取值范围是.18、(1);(2)存在定点,见解析【解析】

(1)设动点,则,利用,求出曲线的方程.(2)由已知直线过点,设的方程为,则联立方程组,消去得,设,,,利用韦达定理求解直线的斜率,然后求解指向性方程,推出结果.【详解】解:(1)设动点,则,,,即,化简得:。由已知,故曲线的方程为。(2)由已知直线过点,设的方程为,则联立方程组,消去得,设,,则又直线与斜率分别为,,则。当时,,;当时,,。所以存在定点,使得直线与斜率之积为定值。【点睛】本题考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查计算能力,属于中档题.19、(Ⅰ);(Ⅱ)分布列见解析,.【解析】

(Ⅰ)直接利用古典概型概率公式求.(Ⅱ)先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.【详解】(Ⅰ)(Ⅱ)可能取值为,,,,,的分布列为0123.【点睛】本题主要考查古典概型的计算,考查随机变量的分布列和期望的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、(1)(2)【解析】

(1)根据单调递减可知导函数恒小于等于,采用参变分离的方法分离出,并将的部分构造成新函数,分析与最值之间的关系;(2)通过对的导函数分析,确定有唯一零点,则就是的极大值点也是最大值点,计算的值并利用进行化简,从而确定.【详解】(1)由题意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,则,所以在上单调递增,所以,所以.(2)当时,.则,令,则,所以在上单调递减.由于,,所以存在满足,即.当时,,;当时,,.所以在上单调递增,在上单调递减.所以,因为,所以,所以,所以.【点睛】(1)求函数中字母的范围时,常用的方法有两种:参变分离法、分类讨论法;(2)当导函数不易求零点时,需要将导函数中某些部分拿出作单独分析,以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间,再分析整个函数的单调性,最后确定出函数的最值.21、(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)证明见解析.【解析】

(1)由,解方程组即可得到答案;(2)(ⅰ)设,,则,,易得,注意到,利用基本不等式得到的最大值即可得到答案;(ⅱ)设直线斜率为,直线方程为,联立椭圆方程得到的坐标,再利用两点的斜率公式计算即可.【详解】(1)设,由,得.将代入,得,即,由,解得,所以椭圆的标准方程为.(2)设,,则,(ⅰ)易知为的中位线,所以,所以,又满足,所以,得,故,当且仅当,即,时取等号,所以面积最大值为.(ⅱ)记直线斜率为,则直线斜率为,所以直线方程为.由,得,由韦达定理得,所以,代入直线方程,得,

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