2024-2025学年江苏省淮安市高二上学期期中数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省淮安市高二上学期期中数学质量检测试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（）A. B. C. D.3.已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（）A. B. C. D.4.若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（）A.3 B. C. D.5.已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为A. B. C. D.6.若等差数列的前n项和为，，．则取得最小值时n的值为（）A.3 B.4 C.5 D.67.已知，，动点C满足．则面积的最大值为（）A.2 B.3 C.4 D.58.若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于两点，设的内切圆的半径为，则的值为（）A. B.C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.设直线：，：，圆C：，则下列说法正确的有（）A.若，则或-1B.若，则C.恒过定点D.被圆C截得的弦长最小值为410.下列说法正确的有（）A.若数列为等差数列，其公差，则数列是递增数列B.若数列为等比数列，其公比，则数列递减数列C.若数列为等差数列，则数列为等比数列D.若数列的前n项和为，且，则数列是等差数列11.已知点，直线l：，曲线C上点满足到F的距离与到l的距离之积为16，则下列说法正确的有（）A曲线C关于y轴对称B.曲线C经过坐标原点C.设曲线C上动点到直线的距离为d，则的最小值为D.当点在曲线C上时，的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线l过点，且与两条坐标轴正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为______．13.设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为______．14.已知直线：，圆：，圆：，若圆与圆和直线都相切，则圆的半径为______，若圆与圆和直线都相切，且两两不同，则圆的半径为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知三点，，在圆上，点为圆心．（1）求圆的方程；（2）过点作圆两条切线，切点为，求四边形的面积．16.已知数列的前项和为，且数列是首项为，公比为的等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足条件的最大正整数的值．17.已知抛物线C：过点，直线与抛物线相交于两点，若直线过点．（1）求抛物线C的方程；（2）证明：以为直径的圆经过坐标原点；（3）若，求直线的方程．18.已知数列的前n项和为，，．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和为；（3）若对任意恒成立．求实数的取值范围．19.已知，，动点P满足直线与直线的斜率之积，动点P的轨迹形成曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设点（t为常数且），求线段PT长度的最大值；（3）经过点的两条直线，，直线与曲线C相交于A，M两点，直线与曲线C相交于B，N两点，若直线AB过定点，证明：直线MN恒过定点．2024-2025学年江苏省淮安市高二上学期期中数学质量检测试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】直接根据倾斜角与斜率的关系即可.【详解】直线的斜率为，设其倾斜角为，则，又，故其倾斜角为.故选：B2.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据椭圆和双曲线焦点相同得到方程，得到答案.【详解】双曲线的焦点在轴上，且焦点坐标为因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，解得.故选：C3.已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】设，因为点到的距离为，则，得到，故选：A.4.若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（）A.3 B. C. D.【正确答案】C【分析】根据等比数列定义知，求解即得答案.【详解】设这5个数组成的等比数列为，公比为，则，.∵，即解得故选：C.5.已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为A. B. C. D.【正确答案】D【详解】试题分析：依题意有，解得，所以方程为.考点：双曲线的概念与性质．6.若等差数列的前n项和为，，．则取得最小值时n的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【正确答案】B【分析】利用等差数列下标和的性质及前项和公式可得的通项公式，由可得等差数列的前4项为负数，从第五项开始为正数，即可得结果.【详解】因为为等差数列，，所以，，，所以，所以，所以，解得，所以等差数列的前4项为负数，从第五项开始为正数，所以取得最小值时为4.故选.7.已知，，动点C满足．则面积的最大值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】A【分析】令，利用向量数量积的坐标表示及已知求动点的轨迹，结合圆的性质求面积最大值.【详解】令，则，所以，即，由构成三角形，所以点轨迹为且，要使面积最大，只需与边最远，即为，所以最大面积为.故选：A8.若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于两点，设的内切圆的半径为，则的值为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由对称性确定的周长，再由弦长公式，点到线的距离公式求得面积，即可求出内切圆半径即可求解.【详解】由椭圆方程x24c即，所以为等边三角形，，由题意可知：，即直线l为的角平分线，倾斜角为，则点关于直线l对称，而的周长为，所以的周长为，因为直线l的方程为，椭圆方程为，设，联立方程，消去x得，则Δ=−63则，点直线l的距离为，所以的面积为，所以，解得：，所以，故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.设直线：，：，圆C：，则下列说法正确的有（）A若，则或-1B.若，则C.恒过定点D.被圆C截得的弦长最小值为4【正确答案】BCD【分析】根据直线平行与垂直的充要条件求解的值即可判断A，B；根据含参直线一般方程确定定点坐标即可判断C；根据直线与圆相的位置关系，求解相交弦长的最小值即可判断D.【详解】对于A，若，则，所以，故A不正确；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，直线：，整理得，令得，故直线恒过定点，故C正确；对于D，圆C：的圆心，半径，设点为，则在圆内，则当时，直线被圆截得的弦长最小，因为，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，又，所以，此时解得，故存在使得被圆C截得的弦长最小值为4，故D正确．故选：BCD10.下列说法正确的有（）A.若数列为等差数列，其公差，则数列是递增数列B.若数列为等比数列，其公比，则数列是递减数列C.若数列为等差数列，则数列为等比数列D.若数列的前n项和为，且，则数列是等差数列【正确答案】ACD【分析】由等差、等比数列的概念及性质逐个判断即可.【详解】对于A，由，可得，故单调递增，正确；对于B，取，此时，由于，此时数列是递增数列，错误；对于C：等差数列公差为，由，为常数，故数列为等比数列，正确；对于D：由，令，可得：，可得：即：，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，正确，故选：ACD11.已知点，直线l：，曲线C上的点满足到F的距离与到l的距离之积为16，则下列说法正确的有（）A.曲线C关于y轴对称B.曲线C经过坐标原点C.设曲线C上动点到直线的距离为d，则的最小值为D.当点在曲线C上时，的最小值为【正确答案】BCD【分析】先写出曲线C的方程，根据特殊点可判断A的真假，令求曲线C与轴的交点，可判断AD的真假，【详解】设曲线C上的点，则曲线的方程为.对A：令可得，所以点在曲线上，但点不在曲线上，故曲线不关于轴对称，所以A错误；对B：令得或，故曲线过原点，所以B正确；对C：若，则x−42+y2⋅x+4>4所以，又，所以（当且仅当时取“”），所以C正确；对D：若，则x−42+所以曲线上最左边的点为，所以，故D正确.故选：BCD关键点点睛：在列出曲线的方程后，确定的取值范围是判断D选项的关键.判断出后，结合的几何意义：表示曲线上的点到的距离，可求该式的最小值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线l过点，且与两条坐标轴正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为______．【正确答案】【分析】设出截距式方程，代入已知点坐标求解．【详解】由题意设直线方程为，且，又直线过点，则，，所以直线方程为，即．故．13.设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为______．【正确答案】##【分析】由双曲线定义和，求出，由余弦定理得到，求出离心率.【详解】由双曲线定义知，又，所以，又，由余弦定理得，解得，故离心率为故14.已知直线：，圆：，圆：，若圆与圆和直线都相切，则圆的半径为______，若圆与圆和直线都相切，且两两不同，则圆的半径为______．【正确答案】①##②.【分析】利用题目条件证明，再根据这一递推关系确定答案即可.【详解】由题可知位于由圆和构成的曲边三角形内，这些圆之间的相切均为外切，且都位于直线上方.设的圆心为，半径为，则根据和相切，有，再由圆的位置关系，有.由和相切有.故，则.根据和相切，同理有，.而，故，所以.这就得到，而，故，数列是斐波那契数列.而，，所以，.故；.关键点点睛：本题的关键在于对相切性质的运用.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知三点，，在圆上，点为圆心．（1）求圆的方程；（2）过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据圆的对称性可确定圆心为线段垂直平分线的交点，由此可求得圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程；（2）根据垂直关系可求得切线长，根据四边形面积可求得结果.【小问1详解】由圆的对称性可知：圆心为线段垂直平分线的交点，，线段中点为，线段垂直平分线方程为：，即，又线段的垂直平分线为，，圆的半径，圆的方程为.【小问2详解】，，，，，四边形的面积.16.已知数列的前项和为，且数列是首项为，公比为的等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足条件的最大正整数的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据等比数列的通项公式可得，再利用退一相减法可得；（2）由，可得，即可得，解不等式，结合的单调性可得解.【小问1详解】由已知数列是首项为，公比为的等比数列，则，即，当时，，当时，，综上所述；【小问2详解】由（1）得，则，所以，所以，即，又函数，，单调递增，且，，即满足的最大正整数为，综上所述满足的最大正整数为.17.已知抛物线C：过点，直线与抛物线相交于两点，若直线过点．（1）求抛物线C的方程；（2）证明：以为直径的圆经过坐标原点；（3）若，求直线的方程．【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）或.【分析】（1）将点代入方程求出，即可求得抛物线C的方程；（2）直线l过点，所以设直线的方程为：，联立方程组，要证以为直径的圆经过坐标原点只需证明即可；（3）由（2）可知，，由，所以，然后求解即可.【小问1详解】抛物线C：过点，所以，，故抛物线C的方程为.【小问2详解】直线l过点，所以设直线的方程为：，联立方程组得：，所以，，设，，所以，，，，所以，所以，故以AB为直径的圆经过坐标原点.【小问3详解】由（2）可知，，因为，所以，所以，所以解得，所以直线的方程为或.18.已知数列的前n项和为，，．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和为；（3）若对任意恒成立．求实数的取值范围．【正确答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式；（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求；（3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围.【小问1详解】由，则，又，所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，所以【小问2详解】由，则，所以，所以.【小问3详解】由（1）（2），则，整理得恒成立，令，则，当时，当时，当时，所以，即的最小值为，综上，.19.已知，，动点P满足直线与直线的斜率之积，动点P的轨迹形成曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设点（t为常数且），求线段PT长度的最大值；（3）经过点的两条直线，，直线与曲线C相交于A，M两点，直线与曲线