专题11勾股定理的实际应用模型(原卷版+解析)

专题11勾股定理的实际应用模型勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。模型1、梯子滑动模型相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。梯子滑动模型解题步骤：1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。例1．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）风华中学八年级（2班）小明同学和他的好朋友小亮一起利用所学知识完成下面的操作，如图，梯子斜靠在墙角处，，梯子底端离墙角的距离．(1)求这个梯子顶端A距地面有多高；(2)上下移动梯子的过程中，小明发现梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变，你能说出这个点并说明其中的道理吗？(3)若梯子顶端A下滑的距离为，底端B向左滑动的距离为，小亮认为a与b的值始终相等，小明认为b可能比a的值大，也可能比a的值小，也有可能相等．你认为他们两个谁说的正确，请说明理由．

例2．（2023春·广东东莞·八年级阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（

）A．2m B． C． D．例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了厘米．

例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？模型2、轮船航行模型相关模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。航行模型解题步骤：1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。例1．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？

例2．（2023春·吉林·八年级统考期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离12海里的处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？

例3．（2023秋·山东东营·八年级校考期末）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（结果保留根号）(1)港口A与小岛C之间的距离；(2)甲船从B处行至小岛C的速度．

模型3、信号站（中转站）选择模型相关模型背景：信号塔、中转站等。解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。信号塔、中转站模型解题步骤：1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；3）根据斜边长相等建立方程求解。例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB与CD树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标E．问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根C有多远？例2．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定模型4、台风（噪音）、爆破模型相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。台风、爆破模型解题步骤：1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。例1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？例2．（2023春·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．（1）求的度数；（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？

例3．（2023·广东八年级课时练习）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是秒．例4．（2023·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时40km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心130km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？模型5、超速模型相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。超速模型解题步骤：1）根据勾股定理计算行驶的距离；2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；3）比较实际行驶速度和规定速度。例1．（2023秋·河南开封·八年级校考期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．(1)求的长．(2)这辆大巴车超速了吗？

例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B25米，结果他在水中实际划了65米，求该河流的宽度．模型6、风吹莲动模型相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。解题关键：“莲花”高度为不变量。风吹莲动模型解题步骤：1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。例1．（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？例3．（2023·广西玉林·八年级统考期中）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）

A． B． C． D．不能确定模型7、折竹抵地模型相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。解题关键：“竹子”高度为不变量。折竹抵地模型解题步骤：1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。例1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（

）A．B．C．D．例2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．(1)求旗杆距地面多高处折断（）；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（

）米．A．7 B．8 C． D．模型8、不规则图形面积模型相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。面积模型解题步骤：1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。例1．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？例2．（2022·江苏苏州中学八年级期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形．（1）求图中格点四边形ABCD的面积；（2）求四边形ABCD的周长；（3）求∠ADC的度数．例3．（2023·江苏盐城·八年级阶段练习）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上；思维拓展：(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的△ABC．并求出它的面积．探索创新：(3)若△ABC三边的长分别为a、2a、a（a＞0），请利用图③的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．(4)若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这个三角形的面积．课后专项训练21．（2022春·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．12．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（

）．A． B． C． D．3．（2023秋·浙江八年级课时练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（）A．12海里 B．16海里 C．20海里 D．24海里4．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考阶段练习）小莉在秀美安顺的某风景处划船结束后，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了米？（假设绳子是直的，结果保留根号）5．（2023秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A千米．6．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）在一棵大树距地面10米的地方有两只猴子，一只猴子往上爬到树顶后，再沿直线由树顶跳到地面的池塘边喝水，另一只猴子沿树干滑到树底，再沿地面爬到同一地方喝水，结果两只猴子经过的路程都为15米，则大树的高为．7．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是．

8．（2023春·重庆·八年级专题练习）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是

．9．（2023春·河南信阳·八年级统考期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（

）A．B．C．D．10．（2023春·吉林白山·八年级校联考期末）有一块边长为40米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，米．由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．

11．（2023春·海南海口·八年级海师附中校考期末）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东的方向，求海岛C到航线的距离．

12．（2023秋·江苏·八年级专题练习）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1)求旗杆的高度OM；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．13．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，为预防新冠疫情，某小区人口的正上方A处装有红外线激光测温仪，测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，求此时人头顶离测温仪的距离．14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．15．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．16．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是一边长为6尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度．

17．（2023春·安徽亳州·八年级统考期中）一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）

18．（2022春·四川成都·八年级四川师范大学附属中学校考期末）为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米．(1)求风筝的高度CE．(2)若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？19．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图，在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发．现A处需要爆破，已知点A与公路上的停靠站B，C的距离分别为400m和300m，且ACAB．为了安全起见，如果爆破点A周围半径260m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么?20．（2022春·广西玉林·八年级统考期中）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以20千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？21．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以海里/小时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，航行了两小时，甲船到达A处，并观测到乙船恰好在其正西方向的B处，求乙船的速度．22．（2022·北京市初二期中）如图，每个小正方形的边长为1．（1）直接写出四边形ABCD的面积；（2）求证：∠BCD=90°．23．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引素却行，去本八尺而索尽，问素长几何?译文：今有一整直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳子比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，求木柱的长．24．（2022秋·河南平顶山·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？25．（2023春·湖北荆州·八年级校考期中）如图，公路和公路在点P处交汇，，点A处有一所学校．．假设汽车在公路上行驶时，周围以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为/秒．）26．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽．27．（2023·广东·八年级专题练习）如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？28．（2023·江苏八年级期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．29．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，）30．（2022·山东八年级专题练习）问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积；思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．31．（2023春·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）A城市是否会受台风影响？为什么？（2）若会，将持续多长时间？（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？

专题11勾股定理的实际应用模型勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。模型1、梯子滑动模型相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。梯子滑动模型解题步骤：1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。例1．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）风华中学八年级（2班）小明同学和他的好朋友小亮一起利用所学知识完成下面的操作，如图，梯子斜靠在墙角处，，梯子底端离墙角的距离．

(1)求这个梯子顶端A距地面有多高；(2)上下移动梯子的过程中，小明发现梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变，你能说出这个点并说明其中的道理吗？(3)若梯子顶端A下滑的距离为，底端B向左滑动的距离为，小亮认为a与b的值始终相等，小明认为b可能比a的值大，也可能比a的值小，也有可能相等．你认为他们两个谁说的正确，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)小明，理由见解析【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；（2）根据直角三角形斜边中线的性质解答即可；（3）利用勾股定理在中，求出，继而得到a与b的关系式，再令，求出a值，可得a与b的值相等时的具体值，即可判断．【详解】（1）解：∵，，，∴，即这个梯子顶端A距地面有；（2）此定点为梯子的中点，道理为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）小明说的对，理由是：设梯子下滑至的位置，由题意可得：，，则，在中，，∴，则，则b可能比a的值大，也可能比a的值小，令，解得：（舍）或，∴只有当下滑的距离为时，a与b的值才相等．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，抓住直角三角形，利用好勾股定理是解题的关键．例2．（2023春·广东东莞·八年级阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（

）A．2m B． C． D．【答案】D【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长．【详解】解：在中，，∴，在中，，∴，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了厘米．

【答案】9【分析】根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离．【详解】解：依题意得：，设滑动后点A、B的对应位置是，由勾股定理得，(厘米)，当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)，∴(厘米)，∴滑块B滑动的距离为：(厘米)，故答案为：9．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键．例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？【答案】游船移动的距离AD的长是9米【分析】根据条件先计算经过10秒拉回绳子的长，然后计算出绳子CD的长，在中，在中，，即可求出最终结果．【详解】解：工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒拉回绳子米，开始时绳子AC的长为17m，拉了10秒后，绳子CD的长为17-7=10米，在中，米，在中，米，AD=15-6=9米，答：游船移动的距离AD的长是9米．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，属于综合题，难度一般，熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题的关键．模型2、轮船航行模型相关模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。航行模型解题步骤：1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。例1．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？

【答案】两船相距100海里．【分析】先证明，求解，，再利用勾股定理作答即可．【详解】解：∵甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，∴，，，，∴，∴，∴此时两船相距100海里．【点睛】本题考查的是方位角的含义，勾股定理的应用，证明，熟记勾股定理的含义是解本题的关键．例2．（2023春·吉林·八年级统考期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离12海里的处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？

【答案】海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，，∵，∴，∴，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船，∴海里，在中，海里，海里，∴海里，∴我军巡逻艇的航行速度是海里/小时，答：我军巡逻艇的航行速度是海里/小时．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键．例3．（2023秋·山东东营·八年级校考期末）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（结果保留根号）

(1)港口A与小岛C之间的距离；(2)甲船从B处行至小岛C的速度．【答案】(1)海里(2)海里/时【分析】（1）自B作，垂足为M，根据题意知，可推知，，分别在与中依据已知的特殊角、已知边，可逐一求出的长，于是的长度可求出．（2）先依据的距离与乙船航行的速度可求得乙船航行的时间，然后求出甲船从B处行至小岛C的时间，最后求得甲船此段航行的速度．【详解】（1）如图，过点B作，垂足为M，

由题意得，，°，设指示南北方向，点N在线段上，则，∴．由题意知，，∴在中，海里，∴海里，海里，在中，，∴海里，∴海里，答：港口A与小岛C之间的距离为海里；（2）在中，海里，∴（海里），∴乙船行驶的时间为小时，∴甲船从B处行至小岛C的时间为（小时）．∴甲船从B处行至小岛C的速度为（海里/时），答：甲船从B处行至小岛C的速度为海里/时．【点睛】本题主要考查了与方向角有关的计算题，涉及勾股定理的应用、含30°角的直角三角形等知识点，解题的关键是准确理解“方向角”．模型3、信号站（中转站）选择模型相关模型背景：信号塔、中转站等。解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。信号塔、中转站模型解题步骤：1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；3）根据斜边长相等建立方程求解。例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB与CD树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标E．问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根C有多远？【答案】4米【分析】设EC为x米，BE为（10﹣x）米，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．【详解】解：∵AB=4，DC=6，BC=10，设EC为x米，则BE为（10﹣x）米，在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2=AB2+BE2=42+（10﹣x）2，DE2=DC2+EC2=62+x2，又∵AE=DE，∴x2+62=（10﹣x）2+42，x=4，答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根4米．【点睛】本题考查了勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．例2．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？【答案】20cm【分析】由题意知：BC=AC，设BC=xcm，则OC=（36-x）cm．在Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意BC=AC是解题的关键．例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定【答案】B【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可．【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，∴，∴，∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键．模型4、台风（噪音）、爆破模型相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。台风、爆破模型解题步骤：1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。例1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？【答案】（1）着火点C受洒水影响，理由见解析；（2）能，理由见解析【分析】（1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案；（2）以点为圆心，500m为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下，如图，过点作，垂足为，，是直角三角形着火点C受洒水影响（2）如图，以点为圆心，500m为半径作圆，交于点则在中，着火点C能被扑灭．【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．例2．（2023春·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．（1）求的度数；（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？

【答案】（1）135°；（2）被监控到的道路长度为米.【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，则∠CAD=90°，即可得到答案；（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得到DF=DA=100，则只要求出AF的长度，即可得到答案.【详解】解：（1）∵，，∴△ABC是等腰直角三角形，∴，∠CAB=45°，∵，在△ACD中，有，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴；（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图：

由轴对称的性质，得DF=DA=100，AE=EF，由（1）知，∠BAD=135°，∴∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，在Rt△ADE中，有，解得：，∴；∴被监控到的道路长度为米.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用轴对称的性质和勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算.例3．（2023·广东八年级课时练习）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是秒．【答案】18【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失．【详解】如图，过点A作AC⊥ON于N，∵∠MON＝30°，OA＝80米，∴AC＝40米，当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50米，由勾股定理得：（米），第一台拖拉机到D点时噪音消失，所以CD＝30米，由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．所以影响时间应是：90÷5＝18（秒）．答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒．故答案为：18．【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．例4．（2023·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时40km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心130km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？【答案】（1）A城受到这次台风的影响，见解析；（2）2.5小时．【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向OB作垂线，垂足为H，若AH＞130则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线OB的长为200千米的点有两点，分别设为R、T，则△ART是等腰三角形，由于AH⊥OB，则H是RT的中点，在Rt△ARH中，解出RH的长，则可求RT长，在RT长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．【详解】（1）如图，作AH⊥OB于H．在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，OA=240km，∠AOH=30°，∴AH=OA=120km，∵120＜130，∴A城受到这次台风的影响．（2）如图，设AR=AT=130km，则易知：RH=HT==50（km），∴RT=100km，∴受台风影响的时间有=2.5小时．【点睛】此题考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂.模型5、超速模型相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。超速模型解题步骤：1）根据勾股定理计算行驶的距离；2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；3）比较实际行驶速度和规定速度。例1．（2023秋·河南开封·八年级校考期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．(1)求的长．(2)这辆大巴车超速了吗？

【答案】(1)(2)超速了【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）用路程除以时间求出速度，与限速进行比较即可．【详解】（1）解：由题意知，是直角三角形，，，，即长为；（2）解：大巴车的速度为：，，这辆大巴车超速了．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型．例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？【答案】不会【分析】根据题意可分别求出出发3秒钟时小王和小林的赛车行驶的路程，从而可分别求出他们的赛车距离终点的距离，再结合勾股定理即可求出出发3秒钟时他们赛车的距离，和遥控信号会产生相互干扰的距离小于或等于25米作比较即可得出答案．【详解】解：如图，出发3秒钟时，米，米，∵AC=40米，AB=30米，∴AC1=28米，AB1=21米，∴在中，米＞25米，∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解答本题的关键．例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B25米，结果他在水中实际划了65米，求该河流的宽度．【答案】该河流的宽度为60米【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：AB60（米）．∴该河流的宽度为60米．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．模型6、风吹莲动模型相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。解题关键：“莲花”高度为不变量。风吹莲动模型解题步骤：1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。例1．（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺【答案】B【分析】设水深为h尺，则芦苇高为尺，根据勾股定理列方程，求出h即可．【详解】解:设水深为h尺，则芦苇高为尺，由题意知芦苇距离水池一边的距离为尺，根据勾股定理得：，解得，即水深为12尺，故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？【答案】【分析】设秋千的绳索长为，则，在中，由勾股定理，即可求解．【详解】解：设秋千的绳索长为，则，在中，，∴，解得：，答：绳索的长度是．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．例3．（2023·广西玉林·八年级统考期中）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）

A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶，，露出杯口外的长度为．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．模型7、折竹抵地模型相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。解题关键：“竹子”高度为不变量。折竹抵地模型解题步骤：1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。例1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理列出方程即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．例2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．(1)求旗杆距地面多高处折断（）；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？【答案】(1)旗杆距地面3m处折断(2)距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险【分析】（1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可；（2）先画好图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案．【详解】（1）解：由题意，知．因为，设长为，则长，则，解得．故旗杆距地面3m处折断；（2）如图．因为点D距地面，所以，所以，所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险．【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键．例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（

）米．A．7 B．8 C． D．【答案】A【分析】设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解．【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴在中，，∴，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键．模型8、不规则图形面积模型相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。面积模型解题步骤：1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。例1．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？【答案】绿化这片空地共需花费17100元【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案．【详解】解：连接AC，如图∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），答：绿化这片空地共需花费17100元．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．例2．（2022·江苏苏州中学八年级期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形．（1）求图中格点四边形ABCD的面积；（2）求四边形ABCD的周长；（3）求∠ADC的度数．【答案】（1）12.5；（2）；（3）90°【分析】（1）四边形ABCD的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积；（2）由勾股定理求出AD、AB、BC、CD，即可得出四边形ABCD的周长；（3）求出AD2+CD2=AC2，由勾股定理的逆定理即可求出结果．【详解】解：（1）根据题意得：四边形ABCD的面积=5×5-×3×3-×2×3-×2×4-×2×1=12.5；（2）由勾股定理得：AD=，AB=，BC=，CD=，∴四边形ABCD的周长==；（3）∵AD2+CD2=5+20=25，AC2=52=25，∴AD2+CD2=AC2，∴三角形ADC为直角三角形，∠ADC=90°．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形和四边形面积的计算；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．例3．（2023·江苏盐城·八年级阶段练习）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上；思维拓展：(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的△ABC．并求出它的面积．探索创新：(3)若△ABC三边的长分别为a、2a、a（a＞0），请利用图③的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．(4)若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这个三角形的面积．【答案】(1)(2)，图见解析(3)，图见解析(4)，图见解析【分析】（1）利用分割法求三角形的面积即可；（2）利用网格图，构造三角形，利用分割法求解即可；（3）利用网格图，构造三角形，利用分割法求解即可；（4）构造长方形，利用分割法求解即可．（1）解：S△ABC＝3×31×22×33．故答案为：；（2）解∶如图，△ABC如图所示．S△ABC＝2×42×34×11×1．（3）解∶如图，△ABC即为所求．S△ABC＝2a×4a2a×2a2a×a4a×a＝3a2．（4）解∶根据题意，构造长为2n，宽为3m的长方形，作出边长为为、、2的三角形，如图，△ABC即为所求．S△ABC＝3m×4n3m×2n2m×2n4n×m＝5mn．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．课后专项训练21．（2022春·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1【答案】A【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，∴，∵AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC===2米．∵Rt△ECD中，CE⊥CD，∴，∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，∴EC===1.5米，∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题时注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长是解题的关键．2．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意可知，是直角三角形，在中，，，∴，，在中，，，则，∴，∴小巷的宽为，故选：．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．3．（2023秋·浙江八年级课时练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（）A．12海里 B．16海里 C．20海里 D．24海里【答案】C【分析】先求出，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：由题意得，，，∴．∵海里，海里，∴海里．故选C．【点睛】本题考查了方向角，勾股定理，求出是解答本题的关键．4．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考阶段练习）小莉在秀美安顺的某风景处划船结束后，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【答案】【分析】先利用勾股定理求出的长度，然后根据题意求出的长度，进而即可求出的长，进一步计算即可求解．【详解】解：∵在中，，∴，∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，∴，∴，，答：此时船向岸边移动了米．故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．5．（2023秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A千米．【答案】10【分析】根据使得B，C两村到P站的距离相等，需要证明，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：设千米，则千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，又∵，，∴，∴，故答案为10．6．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）在一棵大树距地面10米的地方有两只猴子，一只猴子往上爬到树顶后，再沿直线由树顶跳到地面的池塘边喝水，另一只猴子沿树干滑到树底，再沿地面爬到同一地方喝水，结果两只猴子经过的路程都为15米，则大树的高为．【答案】12米/12m【分析】设树高为x米，则可用x分别表示出，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得x的值．【详解】解：如图，

设树高为x米，则，则题意可知，∴，∵为直角三角形，∴，即，解得，即树高为12米，故答案为：12米．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键．7．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是．

【答案】/【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，，当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，，的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度是解题的关键．8．（2023春·重庆·八年级专题练习）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是

．【答案】【分析】设绳子长为，再根据直角三角形的勾股定理列方程，解方程即可．【详解】解：设绳子长为，在中，，，，，根据题意列出方程：，解得：，绳索的长是．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问题．9．（2023春·河南信阳·八年级统考期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则，，在中，，即．故选C．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．10．（2023春·吉林白山·八年级校联考期末）有一块边长为40米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，米．由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．

【答案】8【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，比较即可得到结果．【详解】解：，米，答：标牌的■处应填8．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，同时也增强了学生们要爱护草地的意识．11．（2023春·海南海口·八年级海师附中校考期末）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东的方向，求海岛C到航线的距离．

【答案】海岛C到航线的距离长为海里【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出，再由三角形外角的性质得到，根据等角对等边得出，然后解，求出的长即可．【详解】解：根据题意可知，，，∴，∴海里在中，，，∴∴海里，∴，即答：海岛C到航线的距离长为海里【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，利用锐角三角函数的定义求解．12．（2023秋·江苏·八年级专题练习）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1)求旗杆的高度OM；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．【答案】(1)米(2)2米【分析】（1）作，，可证，可得，，则，且可求，，即可求的长．（2）根据勾股定理可求，即可求的长．【详解】（1）如图：作，，在和中，，，，即，，则，所以，，所以（2）由勾股定理得，．答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．13．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，为预防新冠疫情，某小区人口的正上方A处装有红外线激光测温仪，测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，求此时人头顶离测温仪的距离．【答案】1米【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．【详解】解：如图，过点D作于点E，∵米，米，米，∴（米）．在中，由勾股定理得到：（米），故此时人头顶离测温仪的距离为1米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．【答案】60m【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：AB＝（m）．∴该河流的宽度为60m．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．15．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．【答案】能通过，理由见解析.【分析】首先画出卡车的横截面图，OE的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出CE的长度．如果BC的长度大于2.5货车可以通过，否则不能通过．【详解】能通过．如图中的长方形是卡车横截面的示意图：当桥洞中心线两边各为0.8米时，设米，在中，由勾股定理得，解得，∵，∴卡车能通过．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意化出图形.16．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是一边长为6尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度．

【答案】这根芦苇的长度为5尺．【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺），答：这根芦苇的长度为5尺．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．从实际问题抽象出勾股定理是解题的关键．17．（2023春·安徽亳州·八年级统考期中）一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）

【答案】储藏仓库到A站点的距离约为【分析】根据题意得到，结合勾股定理得到，设，则代入求解即可得到答案；【详解】两村到储藏仓库的直线距离相等，∴，，，，在和中，由勾股定理得：，，，设，则，，解得：，答：储藏仓库到站点的距离约为．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是得到．18．（2022春·四川成都·八年级四川师范大学附属中学校考期末）为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米．(1)求风筝的高度CE．(2)若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【答案】(1)风筝的高度CE为16.6米(2)他应该往回收线7米．【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【详解