广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期学业水平测试（12月）数学试题 含解析

南海区2027届高一上学期学业水平测试数学试题本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，再根据交集含义即可.【详解】，则.故选：B.2.设命题：，，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据含有量词命题的否定形式，即可判断.【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，为，.故选：D3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和零点存在性定理即可得到答案.【详解】根据指数函数、对数函数单调性知，在0,+∞上的单调递增，又因为f1且函数图象连续不间断，则根据零点存在性质定理知的零点所在的区间是.故选：C4.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指对数函数的性质比较大小关系即可.【详解】由，则，所以.故选：A5.已知函数，则（）A.5 B.0 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根据分段函数性质代入计算即可.【详解】.故选：B.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数值的正负可排除选项CD；根据函数的奇偶性可排除选项A；【详解】当时，，故排除CD；而的定义域为，且，所以是奇函数，所以排除A.故选：B7.人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）A.108dB B.81dB C.72dB D.63dB【答案】D【解析】【分析】利用题中给出的函数模型，结合对数的运算性质求解即可.【详解】设一般两人小声交谈时声音强度，则，即，所以，即老师声音的等级约为63dB.故选：D.8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则满足的的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先变形不等式，构造并判断函数的单调性和奇偶性，再解抽象不等式.【详解】设，由，可知，，即，设函数，函数在上是增函数，且是奇函数，所以，是上的奇函数，因为，所以，，即，即，则.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.或【答案】ACD【解析】【分析】转化为集合之间的包含关系，再对比选项即可.【详解】设该条件所表示的集合为，因为其是“”的一个必要不充分条件，则.对比选项知ACD，符合题意，B不合题意.故选：ACD.10.已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】应用特殊值即可判断A、D；根据基本不等式及指数函数单调性判断B、C.【详解】A、D：当时，且，错；B：由，则，整理可得，对；C：由单调递增，且，故，对.故选：BC11.若存在两个不相等的实数，，使，，均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据函数新定义，利用基本不等式得判断A，根据函数新定义结合特殊值法说明存在即可判断BD，根据函数新定义，分类讨论判断C.【详解】对于A选项，定义域为R，且，对任意的、且，，即，A选项中函数不满足条件；对于B选项，的定义域为R，取，，则，而，即存在，B选项中的函数满足条件；对于C选项，假设具有性质，则存在，使得，则，即，若同号，则，即，所以，得，显然不成立；若异号，则，即，将上述方程看作关于的二次方程，解得，此时满足，C选项中的函数满足条件；对于D选项，因为，取，所以，，则存在，所以D选项中的函数满足条件.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解性质的定义，结合函数的性质即可得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.______.【答案】6【解析】【分析】根据对数运算法则即可得到答案.【详解】.故答案为：6.13.已知函数，在上单调递增，写出满足条件的实数的一个值______.【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】利用函数单调性和赋值法即可得【详解】因为函数，在0,+∞上单调递增，所以2m−3>0m当时，此时，满足题意故答案为：314.已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则______.【答案】##【解析】【分析】根据以及的对称性，求得的值.【详解】由于函数满足，所以函数的图象关于对称，设，则，则函数的图象关于对称，故和的交点关于对称，则，设.两式加，可得，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据两函数的对称性再进行求和即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），;（2）【解析】【分析】（1）分别求两个集合，再根据集合的运算，即可求解；（2）根据，分和两种情况，列式求得到取值范围.【小问1详解】当时，，，得，则，或所以，;【小问2详解】若，则，当时，，得，当时，，解得：，综上可知，.16.给定函数，.（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；（2），用表示，中最大者，记为，求不等式的解集.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据对数函数与分段函数的图像得出答案；（2）根据图像求出的解析式，然后分类讨论求解即可【小问1详解】【小问2详解】因为，所以Mx当时，，即，所以，当时，，即，所以，当时，，即，所以，所以不等式的解集为17.已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明;（3）解不等式.【答案】（1）；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由偶函数的性质有恒成立，即可得参数值；（2）令，应用作差比较大小证明单调性；（3）根据已知（2）有，结合对数函数单调性求解集.【小问1详解】由题设，即恒成立，所以.【小问2详解】在上的单调递增，证明如下：由（1）知，令，则，由，故，故在上的单调递增，得证.【小问3详解】由题设及（2）知：，则或，所以或，解集为.18.学校和学校相距20km，现计划在学校外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造一家污水处理厂.其对学校的影响度与所选地点到学校的距离有关，对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为1；对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为.对学校和学校的总影响度为学校和学校的影响度之和.记点到学校的距离为km，建在处的污水处理厂对学校和学校的总影响度为.统计调查表明：当在的中点时，对学校和学校的总影响度为0.085.（1）将表示成的函数；（2）判断半圆弧（不含，两点）上是否存在一点，使得建在此处的污水处理厂对学校和学校的总影响度最小？若存在，求出该点到学校的距离，以及总影响度的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂直关系可知，，再根据题意，转化为，再代入数据，即可求解；（2）根据（1）的结果，利用换元法，基本不等式求函数的最值.【小问1详解】由为直径，得，所以，由已知得，又当垃圾处理厂是的中点时，对城和城的总影响度为，即时，，代入上式得，解得，所以表示成的函数为：；【小问2详解】，令，，则，又，当且仅当时，即时，等号成立，所以，当时，等号成立，所以弧上存在一点，该点到城的距离为km时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总影响度最小为.19.已知正实数集，定义称为的商集，用来表示集合中元素的个数.（1）若，求集合；（2）若，求的最小值；（3）试判断与的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）15；（3），证明见解析.【解析】【分析】（1）根据新定义写出集合；（2）令，根据定义描述分析得到，结合已知求的最小值；（3）依次分析、得到，再讨论，结合及重复元素最多的情况，得到，即可证.【小问1详解】由，结合商集的定义有；小问2详解】设，当时，，当时，有个，所以的个数最多为.但是，在这些比值中，有的可能相等，如时，中存在，也可能互不相等，如时，中没有相同的元素