2024-2025学年高一【数学(人教A版)】二次函数与一元二次方程、不等式(1)-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期QJ课题二次函数与一元二次方程、不等式（1）教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；2.理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，认识到函数的重要性，体会数学的整体性；3.能够体会归纳，概括的方法，把握三者之间的内在联系，借助二次函数，求解一元二次不等式，渗透数学建模的素养，提升数学运算素养.教学重点：从函数的观点看一元二次方程、一元二次不等式，在建立二次函数与一元二次方程、不等式的联系中，获得用二次函数求解一元二次不等式的一般性方法.教学难点：从函数的观点看一元二次方程、一元二次不等式，并归纳概括出一元二次不等式的一般性解法.教学过程时间教学环节主要师生活动51521引入给出定义探索解法练习总结与提升同学们，大家好，今天我们来一起学习第二章第三节，二次函数与一元二次方程、不等式.二次函数与一元二次方程我们已在初中学过，你还记得它们吗？我们先来复习二次函数y=ax2图象为一条抛物线，开口向上（a>0）或者向下（a<0），是轴对称图形，这条抛物线与x轴是否相交以及交点个数我们可以由判别式∆=b当∆>0时，这条抛物线与x轴有两个不同的交点；当∆=0时，这条抛物线与当∆<0时，这条抛物线与那么我们如何求解交点的横坐标呢？借助一元二次方程：a当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实根x1=−b+当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实根：当∆<0时，下面我给出一个新的定义，二次函数的零点.二次函数的零点：一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数的零点.所以，求解二次函数的零点，就是求解二次函数图象与x轴交那何为一元二次不等式呢？顾名思义，它也应该是一元二次大家族里的一个成员，同时它又属于不等式的范畴，在介绍他之前，我们先来看一个实际问题！引例：我家里有一块空地，根据它的大小我买了一段24米长的栅栏.我想用这段栅栏围成一个面积大于20平方米的矩形苗圃.设该矩形的一边长为a米，请你确定实数a可以取哪些值？我们设矩形的一边长为a米，其邻边的长度就为12−a学生活动一：同学们，你能把这道题中对于矩形面积的要求转化为一个不等式吗？对矩形面积的限制可以用不等式表示：a大家在处理实际问题时一定要注意未知数的实际意义，这往往会带给未知数一些限制：a与12−a均表示栅栏的长度，所以怎么解这个不等式呢，很多同学是不是已经跃跃欲试了？！尝试一：观察这个不等式的形式，左侧是两个因式a与12−a相乘的形式，右侧的20可以分解为20=a34612986没什么有用的规律，所以从这个特征出发不易求解，即便现在解出来了，如果把20换成非常大的数字就不好解了.尝试二：有些同学注意到a>0且12−a>0这个特征，运用不等式同解原理，两侧同时除以a12−a>虽然左侧化为了一元一次形式，但右侧是分式形式，仍然不能求解！显然这是一类我们不曾接触过的不等式，用我们已学的方法解决不了.我们先来研究一下，应该如何为它命名.我们回想一下一元一次不等式，它只含有一个未知数，所以叫做“一元”.我们再来看这个不等式（用手指着屏幕），它也只含有一个未知数a，所以它是一元的.接下来看它的次数，不等式经过去括号运算，再将左侧的12a−a2移至右侧，整理为a定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，他的一般形式是：ax2+bx+c>0当然，还包括ax2+bx+c≥0其中，a,b,c为常数，这道实际问题中涉及的一元二次不等式的一般形式：a怎么求解呢？让我们来观察它左式的特征吧，如果把未知数a换成x，你是不是会联想到二次函数y=x2−12x+20？那么这二者之间是否存在关联呢？如果你想不到的话，可以换成一次函数y=12x+20首先，我们会发现a2−12a+20<0就是解不等式，就是求解未知数a取哪些值能使a2−12a+20<0，转化为二次函数，就是求解自变量x取哪些值能使函数值y<0.这时右图是这个二次函数的图象，很显然，自变量x在这一范围（用手指着屏幕比划）内取值时，函数值y<0.由图可知，x的可能取值有无穷多个，不可能一一求出，要想表达x的取值范围，必须求出这个范围的边界值！如何求解边界值呢？我想这可难不倒聪明的同学们，对不对？这些边界值正是二次函数的零点值，也是对应的一元二次方程的根啊！我们用一元二次方程a2−计算判别式∆=−求根公式：a1=12−所以边界值为a1=2，所以不等式的解集为a2<a<10答：这个矩形苗圃的边长a取大于2且小于10的数时，苗圃的面积会大于20平方米.学生活动二：借助这个例题，我们认识了一种新的不等式—一元二次不等式，并且尝试利用二次函数与一元二次方程解出了它的解集.同学们，现在你们能否自己写出一个一元二次不等式并把它解出来呢？你们看，我写出了两个一元二次不等式，你能把它们解出来吗？例1.求解下列关于x的一元二次不等式（1）x2特征：这个不等式的不等号是“>”号.分析：设二次函数y=x2−5x+6，绘出其图象开口方向与零点.解一元二次方程x2−5x+6=0，得到二次函数的零点：看函数的图象，写出不等式的解集：xx>3（2）2x−x特征：一般式，−x2+2x+3<0分析：有两种解法，法一：设二次函数y=−x2+2x+3，绘出其图象解一元二次方程−x2+2x+3x1=−看函数的图象，写出不等式的解集：xx>3法二：一般式x2−2x−3>设二次函数y=x2−2x−3，绘出其图象解一元二次方程x2−2x−3=0，与x1=−看函数的图象，写出不等式的解集：xx>3学生活动三：通过这两个例子，我们发现在解一元二次不等式的过程中，二次函数与一元二次方程起到了举足轻重的作用，更确切地说，我们在二次函数的图象中看出未知数x的取值范围，利用一元二次方程解出这个范围的边界值.由此可以看出，二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，这三者是紧密联系在一起的，我们应该如何描述他们之间的关系呢？二次函数y=a一元二次方程：a一元二次不等式：ax2+bx+c>0或通过每一个二次函数，我们可以构造与之对应的一元二次方程与一元二次不等式，它们左侧的代数式与函数的解析式是完全相同的.从这个角度来说，方程本质上就是在解自变量取何值时函数值等于零，对应的就是二次函数的零点，不等式就是在解自变量取何值时函数值大于零或小于零，不等式解集的边界值就是二次函数的零点，也就是方程的解，方程与不等式合在一起解决了自变量取何值时函数值为正、为零、为负的问题！从这个角度思考，在解一元二次不等式时，我们回归到二次函数是很自然的事情啊！二次函数是本质嘛！接下来，我们就尝试初步得出一元二次不等式的通用解法：对于一元二次不等式ax2+bx+c>0或第一步，我们设二次函数y=a观察开口方向，并计算零点.其实我们可以改进这一步，通过例1（2）我们不难发现，开口向下的情形可以通过在不等式两侧同乘−1转化一元二次不等式ax2+bx+c>0的通用解法.第二步，通过解一元二次方程：ax2+bx+c=0当∆>0时，方程有两个不相等的实根，x1=−b+当∆=0时，方程有两个相等的实根，当∆<0时，方程无实根，函数无零点.那么这三种情况下，不等式的解集分别是什么呢？请各位同学完成下表：一元二次不等式ax2+bx+c>0或判别式∆=b∆∆=0∆<0二次函数y=a的图象一元二次方程a的根x1,2（不妨设x1x无实根a的解集xxa的解集x练习.求解下列关于x的一元二次不等式（1）9解：设二次函数y=9开口向上，∆=36−4×9观察函数图象，得到不等式的解集为：xx≠（2）x解：设二次函数y=开口向上，∆=4−观察函数图象，得到不等式的解集为：x回归二次函数，求解一元二次不等式的方法是不是非常神奇呢？解一个不等式的过程竟然用到了函数的图象.有些同学们肯定联想到了什么，请大家也想一想，在初中，咱们还遇到过哪三个数学概念间有类似的联系？与本节课内容非常相似，只不过不是一元二次的！正确，就是一次函数、一元一次方程、一元一次不等式这三者的关系！一次函数y=ax+b一元一次方程：ax+b一元一次