广东省梅州市梅雁中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题（含答案）

梅雁中学12月月考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（

）A． B．3 C． D．53．已知四边形是平行四边形，，，记，，则（

）A．B．C．D．4．已知，则（

）A． B． C． D．5．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（

）A．30° B．60° C．90° D．120°6．已函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．7．设实数，若不等式aeax−1≥lnxe对任意A． B． C． D．8．设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.9．函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（

）A．B．C．关于对称D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数10．已知球是棱长为2的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则动点的轨迹长度为B．三棱锥的体积的最大值为C．的取值范围是D．若，则的大小为定值11．已知函数为奇函数，且，当时，，则（

）A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称C.的最小正周期为2 D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．设等差数列的前项和为,若,,则．13．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是______________．14．在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（13分）已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.（1）求与的通项公式；（2）求的前n项和16．（15分）已知函数的最小正周期为.(1)求在上的单调递增区间；(2)在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围.17.（15分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若在恒成立，求整数a的最大值.．18．（17分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，为棱BC上的点，且．(1)求证：平面PAC；(2)求点到平面PCD的距离；(3)设为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．.19．（17分）已知（其中为自然对数的底数）.(1)当时，求曲线在点处的切线方程，(2)当时，判断是否存在极值，并说明理由；(3)，求实数的取值范围.数学月考试卷答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B2．已知复数满足，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】D3．已知四边形是平行四边形，，，记，，则（

）A．B．C．D．【答案】A4．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A5．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B6．已函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C7．设实数，若不等式aeax−1≥lnxeA． B． C． D．【答案】C8．设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（

）A．B．C．关于对称D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数【答案】AC10．已知球是棱长为2的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则动点的轨迹长度为B．三棱锥的体积的最大值为C．的取值范围是D．若，则的大小为定值【答案】ACD11．已知函数为奇函数，且，当时，，则（

）A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称C.的最小正周期为2 D.【答案】ABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设等差数列的前项和为,若,,则.【答案】1013．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是______________．【答案】14．在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为．【答案】/1：8四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.（1）求与的通项公式；（2）求的前n项和.【答案】（1），；（2）.16．（15分）已知函数的最小正周期为.(1)求在上的单调递增区间；(2)在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围.【解】（1）.因为所以故.由解得当时又所以在上的单调递增区间为.（2）由得（所以.因为所以又所以又三角形为锐角三角形，则，则，所以，又，，则，所以的取值范围为.17．（15分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若在恒成立，求整数a的最大值.【解】（1）函数的定义域为.因为，………1分所以.………2分当，即时，；………3分当，即时，由得，得.………5分综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；………6分（2）因为，即，所以.所以对恒成立.令，则，……8分令，则，因为，所以，……10分所以在上单调递增，因为，，所以存在满足，即.………12分当时，，即；当时，，即.所以在上单调递减，在上单调递增，………13分所以，所以，………14分因为，，所以的最大值为.………15分18．（17分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，为棱BC上的点，且．(1)求证：平面PAC；(2)求点到平面PCD的距离；(3)设为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．【解】（1）因为平面，平面，平面所以，.因为则以A为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系．由已知可得，，，，，．所以，，．因为，所以.，所以．又，平面，平面．所以平面；（2）由（1）可知，设平面的法向量因为，．所以，即不妨设，得点到平面的距离．所以点到平面的距离为．．（3）设，即．则，即.则.由（1）可取为平面PAC法向量.因与平面夹角正弦值为，则即解得，即.19．（17分）已知（其中为自然对数的底数）.(1)当时，求曲线在点处的切线方程，(2)当时，判断是否存在极值，并说明理由；(3)，求实数的取值范围.【解】（1）解：当时，，可得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：当时，，定义域为，可得，令，则，当时，；当时，，所以在递减，在上递增，所以，又由，