2024-2025学年高一【数学(人教A版)】指数函数的应用-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题指数函数的应用教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.能利用指数函数性质比较两个同底的幂的大小，进一步体会单调性的作用；2.在实际问题的解决过程中体会指数函数的广泛作用，感受指数增长，提升数学建模的素养；3.结合指数函数的研究过程，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升数学抽象、直观想象素养.教学重点：用指数函数的单调性比较两个幂的大小.教学难点：运用指数函数解决实际问题.教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟一.复习回顾引导语：前面的两节课中，我们学习了指数函数的概念、图象和性质，现在进行一下回顾.一、指数函数的定义一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.对于指数函数的图象及性质的复习回顾，可以定位在脑中有图，利用记住的图象，整体把握指数函数的所有性质.指数函数的图象及性质：补充说明：当0<a<1时，若x>0,0<y<1；若x<0,y>1.当a>1时，若x>0,y>1；若x<0,0<y<1.对于上面这个结论，我们要深究引入y与1比的缘由，一方面是所有指数函数的图象均过（0,1）点且具有单调性，另一方面所有的ax(a>0，且a≠1)均为正数，所以1是一个重要的分界点.这节课我们主要通过具体的例子来熟悉指数函数的图象和性质的应用.设计意图：复习指数函数的定义、图象及性质，为后面应用指数函数的图象及单调性解决实际问题做铺垫.以旧引新，让学生有熟悉感并能提高学习的兴趣.12分钟二．例题讲解例1：比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5,1.73；（2），；（3）1.70.3,0.93.1.解：(1)1.72.5和1.73可以看作函数y=1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.因为底数1.7>1，所以指数函数y=1.7x是增函数.因为2.5<3，所以1.72.5<1.73.（第(1)题的基本步骤起到示范作用，要说清楚，特别是第一步：构造函数，问题的关键是把要比较的两个数看成某个函数的函数值.）和可以看作函数y=0.8x当x分别取和时所对应的两个函数值.因为底数0<0.8<1，所以指数函数y=0.8x是减函数.因为>，所以<.(3)由指数函数的性质知1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1.(对于第（3）题还是从同样的方法入手，但是发现靠一个函数解决不了问题，而1的出现，相当于就是构造两个函数来解决问题.)师生活动：教师引导学生将每一组中的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，从而利用指数函数的单调性进行比较.对于（1）、（2），可以直接利用指数函数的单调性比较；对于（3），1.70.3和0.93.1看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数y=1.7x和y=0.9x的图象特征，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来.设计意图：通过应用指数函数的单调性比较两个数的大小，根据问题的特点构造适当的函数，帮助学生进一步熟悉指数函数的性质，并促使他们形成用函数观点解决问题的意识.练习：比较下列各题中两个值的大小：0.3-3.5,0.3-2.3；（2），；（3）1.20.5，0.51.2；（4）0.251.5，0.51.2.师生活动：练习安排在例1的后面，由学生独立完成，进而教师给出评价，重点点评练习（2）、（4），在指数相同、底数不同的情况下比较两个幂的大小，可以构造两个指数函数y=6x和y=7x，比较图象中这两个函数值，所在的点的位置的高低，也可以采用作商法，商值与1比.在指数不同、底数也不同的情况下比较两个幂的大小，首先要看两个幂是否可能化为同底的情况.设计意图：通过对例1的变式，促进学生对指数函数单调性的理解,逆用指数函数的单调性，建立函数思想和分类讨论思想.例2：如图1，某城市人口呈指数增长.根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；该城市人口从80万开始，经过20年，人口会增长到多少？图1解：（1）观察图1，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.师生活动：教师引导学生对问题进行分析，根据该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系，由于倍增期是20年，因此容易得到“从80万人开始，20年后人口大约会增长到160万人”.设计意图：这个题目让学生了解指数函数的广泛应用，通过应用指数函数的图象分析和解决问题，建立函数图象与概念、性质的联系，进一步促使学生形成用函数观点解决问题的意识.5分钟三.巩固提升例3:已知函数y=()|x|+b的图象过原点.求该函数的解析式，并画出图象；判断该函数的奇偶性和单调性.解：（1）∵函数y=()|x|+b的图象过原点，∴将解析式中代入（0,0）得1+b=0，∴b=-1，∴y=()|x|-1通过描点法：=1\*GB3①列表；=2\*GB3②描点；=3\*GB3③连线.就能得到函数y=()x-1在y轴右侧的图象：进而利用函数y=()|x|-1是偶函数的性质，就能知道它的图象是关于y轴对称的，根据函数y=()x-1在y轴右侧的图象将y轴左侧补充完整，就得到了函数y=()|x|-1的图象：（2）函数y=()|x|-1是偶函数，且在（，0]上单调递增，在（0，）上单调递减.师生活动：教师引导学生对问题进行分析，根据指数函数的图象过某一点，将这一点的横纵坐标分别代入函数的解析式，求得未知数的值，从而获得函数的解析式，有了解析式，才能顺利地解决函数的图象及其性质等其他问题.设计意图：体现借助指数函数知识拓展了研究函数的类型，有了更多的工具能帮助我们解决更多的函数问题，从这个角度体现了指数函数的应用.3分钟四．课堂小结、布置作业教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：师生活动：教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，最后老师再进行总结.要强调如下几点：1.比较两个幂的大小的方法：对于底数相同，但指数不同的幂的大小比较，可以构造适当的指数函数，用指数函数的单调性来判断，如果底数不确定，需分两类讨论，根据底数>1或者0<底数<1这两种情况来确定函数单调性（对于底数不同的幂，首先考虑是否能化为同底，如果可以则也属于此类）；对于底数不同，但指数相同的幂的大小比较，可以利用指数函数的图象的变化规律来判断，也可以用作商法来判断，商与1比；对于底数不同，且指数不同的幂的大小比较，则应考虑引入第三个数（常用0和1）分别与之比较，借助中间值来比大小.2.指数函数y=ax（a>0,且a≠1）所刻画的现实问题的类型:当a>1时，函数以指数增长；当0<a<1时，函数以指数衰减.3.结合研究指数函数的经验，体会研究一个具体函数的一般思路：概念——图象——性质首先研究这个函数的概念，概念能够体现变量间对应关